工程力学第4章 弯曲内力_final.ppt

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1、材料力学第五章第五章 弯曲内力弯曲内力材料力学(一一)、平面弯曲的概念、平面弯曲的概念q弯曲弯曲杆件受到垂直于杆的轴线的外力即横向力或杆件受到垂直于杆的轴线的外力即横向力或受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线由直受到位于杆轴平面内的外力偶作用时，杆的轴线由直线弯成曲线。线弯成曲线。轴线轴线梁梁以弯曲为主要变形的杆件。以弯曲为主要变形的杆件。弯曲内力弯曲内力/引引 言言一、引一、引 言言材料力学工程中常见的梁，其横截面均有工程中常见的梁，其横截面均有对称轴对称轴，例如：，例如：对称轴对称轴对称轴对称轴弯曲内力弯曲内力/引引 言言材料力学轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线弯曲后

2、梁的轴线（挠曲线）（挠曲线）对称弯曲对称弯曲杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力 在同一平面内。在同一平面内。弯曲内力弯曲内力/引引 言言纵向对称面纵向对称面通过梁轴线和截面对称轴的平面。通过梁轴线和截面对称轴的平面。材料力学车床主轴示意图车床主轴示意图车床主轴示意图车床主轴示意图1 1、支座的几种基本形式、支座的几种基本形式（二）、梁的支座和梁的种类（二）、梁的支座和梁的种类向心推向心推力轴承力轴承滚珠轴承滚珠轴承材料力学材料力学2、静定梁静定梁支座反力可由静力平衡方程确定的梁。支座反力可由静力平衡方程确定的梁。（a）简支梁）简支梁（b）悬臂梁）悬臂梁（c）外伸梁

3、）外伸梁（d）静定组合梁）静定组合梁中间铰中间铰弯曲内力弯曲内力/引引 言言材料力学3、静不定梁静不定梁支座反力不能由静力平衡方程完全支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。确定的梁。弯曲内力弯曲内力/引引 言言9 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型

4、：集中力、集中力偶和分布载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。3.支座简化支座简化受弯杆件的简化受弯杆件的简化10固定铰支座固定铰支座 2个约束，个约束，1个自由度。个自由度。如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，个约束，2个自由度。个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。珠轴承等。11固定端固定端 3个约束，个约束，0个自由度。个自由度。如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。XAYAMA材料力学弯曲内力弯曲内力/引引 言言材料力学PaAB阳台梁阳台梁栏杆

5、栏杆PABq弯曲内力弯曲内力/引引 言言材料力学二、剪力和弯矩二、剪力和弯矩求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法截面法截面法弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学 设有一简支梁设有一简支梁AB，受集中力，受集中力F作用。现分析距作用。现分析距A端端为为x处的横截面处的横截面m-m上的内力。上的内力。x解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力2、截取、截取m-m截面左段。截面左段。AxmmM剪力剪力 使截面不产生移动使截面不产生移动弯矩弯矩M 使截面不产生转动使截面不产生转动得到：得到：oALBFabmm弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和

6、弯矩材料力学得到：得到：如截取如截取m-m截面右段梁截面右段梁:L-xBFbmmM由作用力与反作用力，得由作用力与反作用力，得3、根据变形规定内力符号：、根据变形规定内力符号：同同一一位位置置处处左左、右右侧侧截截面面上上内内力力分分量量必必须须具具有有相相同同的的正负号。正负号。内力正负号规则：内力正负号规则：AxmmMo弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学剪力剪力 ：梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪梁的左侧截面上向上的剪力为正，梁的右侧截面上向下的剪力为正，反之则为负。概括为力为正，反之则为负。概括为“左上或右下，剪力为正左上或右下，剪力为正”。弯曲内力弯曲内

7、力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学弯矩弯矩M：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。：使梁弯曲呈凹形的弯矩为正，反之则为负。压压拉拉或者或者梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时梁的左侧截面上顺时针方向转动的弯矩或梁的右侧截面上逆时针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为针方向转动的弯矩为正，反之则为负。概括为“左顺或右逆，左顺或右逆，弯矩为正弯矩为正”。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩19 例例2：求图求图（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。xy解：解：截面法求内力。截面法求内力。1 1-1 1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b

8、 b）示。示。图（图（a）二、例题二、例题qqLab1122qLQ1AM1图（图（b）x1202-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c）xy图（图（a）qqLab1122qLQ2BM2x2图（图（c）21课堂练习题课堂练习题1用截面法将梁分成两部分，计算梁截面上的内力时，下用截面法将梁分成两部分，计算梁截面上的内力时，下列说法是否正确？如不正确应如何改正？列说法是否正确？如不正确应如何改正？（1）在截面的任一侧，向上的集中力产生正的剪力，）在截面的任一侧，向上的集中力产生正的剪力，向下的集中力产生负的剪力。向下的集中力产生负的剪力。（2）在截面的任一侧，顺时针转向的集中力偶产生

9、正）在截面的任一侧，顺时针转向的集中力偶产生正弯矩，逆时针的产生负弯矩。弯矩，逆时针的产生负弯矩。22课堂练习题课堂练习题2求图示简支梁求图示简支梁1-1,2-2,3-3截面的内力截面的内力材料力学例例 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）截面（跨中截面）上的内力。上的内力。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力qAB4aaaC弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学2、求、求C截面（跨中截面）上的内力截面（跨中截面）上的内力qAaC得到：得到：（剪力（剪力 的实际方向与假设方的实际方向与假设方向相反，为负剪力）向相反，为负剪力）得到

10、：得到：（弯矩（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学qBaC如以右侧梁作为研究对象，则：如以右侧梁作为研究对象，则：为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学qAB4aaaC取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主矢。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力

11、和弯矩材料力学截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的到的主矩主矩。qAB4aaaC取左段梁为研究对象取左段梁为研究对象:取右段梁为研究对象取右段梁为研究对象:弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力向截面形心简化所得到的向截面形心简化所得到的主矢主矢。截面左侧（或右侧）梁上的所有外力截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和力偶）向截面形心简化所得（力和力偶）向截面形心简化所得到的到的主矩主矩。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学

12、AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力例例5-2 一外伸梁受力如图所示。试求一外伸梁受力如图所示。试求C截面、截面、截面和截面和 上上的内力。的内力。弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学2、求指定横截面上的剪力和弯矩、求指定横截面上的剪力和弯矩C截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学截面：截面：AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学截面：截面：与与 截面相比，该截面的内力

13、只增加了约束反力截面相比，该截面的内力只增加了约束反力 ，故有：，故有：亦可取梁的右侧的外力简化，但必须亦可取梁的右侧的外力简化，但必须注意外力的符号变化。注意外力的符号变化。AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF弯曲内力弯曲内力/剪力和弯矩剪力和弯矩材料力学三、剪力方程和弯矩方程三、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面的位置而变化。面的位置而变化。因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即的函数，即称为称为剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯

14、矩方程弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNECDF材料力学 *在载荷无突变的一段杆的各截面在载荷无突变的一段杆的各截面 上内力按相同的规律变化。上内力按相同的规律变化。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学AB1m1m1m1m2mq=2KN/mP=2KNEDF因此，必须因此，必须分段分段列出梁的剪力方程和弯矩方程，列出梁的剪力方程和弯矩方程，各段的各段的分界点分界点为各段梁的为各段梁的控制截面控制截面。*控制截面的概念：控制截面的概念：外力规律发

15、生变化的截面外力规律发生变化的截面集中集中力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截力、集中力偶作用点、分布载荷的起点和终点处的横截面。面。弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学xx(+)(+)(-)(-)剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿用图示方法形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。梁轴线的变化情况。注意：注意：必须标明控制必须标明控制截面上的内力值截面上的内力值弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图38 例例3 3 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。求

16、下列各图示梁的内力方程并画出内力图。解：解：求支反力求支反力写出内力方程写出内力方程PYOL根据方程画内力图根据方程画内力图M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxPPLMO 39解：解：写出内力方程写出内力方程根据方程画内力图根据方程画内力图LqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x qL材料力学例例5-3悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，悬臂梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的作出梁的剪力图和弯矩图，并求出梁的 和和 及其所及其所在截面位置。在截面位置。Pm=PaACBaa取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：xy1、列出梁的剪力

17、方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程AB段段:弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx材料力学BC段段:Pm=PaACBaaxx2、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-PPa(+)(-)3、求、求 和和（在（在BC段的各截面）段的各截面）（在（在AB段的各截面）段的各截面）弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学注意：注意：1、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数、在列梁的剪力方程和弯矩方程时，参数x可以从坐标原点算可以从坐标原点算 起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围

18、起，也可从另外的点算起，仅需要写清楚方程的适用范围 （x的区间）即可。的区间）即可。2、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作、剪力、弯矩方程的适用范围，在集中力（包括支座反力）作 用处，用处，应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中应为开区间，因在该处剪力图有突变；而在集中 力偶作用处，力偶作用处，M(x)应为开区间，因在该处弯矩图有突变。应为开区间，因在该处弯矩图有突变。3、若所得方程为、若所得方程为x的二次或二次以上方程时，则在作图时除计的二次或二次以上方程时，则在作图时除计 算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。算控制截面的值外，应注意曲线的凹凸向及其极值。弯曲

19、内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学例例5-4外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩外伸简支梁受力如图所示。试列出梁的剪力方程和弯矩方程，作出梁的剪力图和弯矩图。方程，作出梁的剪力图和弯矩图。ABqF=qaCa2a解：解：xy1、取参考坐标系、取参考坐标系Cxy。根据平衡条件求支座反力。根据平衡条件求支座反力弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图xx材料力学2、列出梁的剪力方程和弯矩方程、列出梁的剪力方程和弯矩方程yABqF=qaCa2axCA段段:xAB段段:x弯曲内力弯曲内力/剪力方

20、程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图材料力学yABqF=qaCa2ax3、作梁的剪力图和弯矩图、作梁的剪力图和弯矩图-qa(-)(-)(+)(-)E(+)弯曲内力弯曲内力/剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图46按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图一、叠加原理一、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满 足线性

21、关系。即在弹性限度内满足虎克定律。足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。47二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理 叠加方法叠加方法步骤：步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。拼凑）。48 例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力，力P作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。qqPP=+AAABBBxM2xM1xM+=+材料力学四、弯矩、剪力和分布荷四、弯矩、剪力和分布荷载集

22、度之间的关系载集度之间的关系材料力学q(x)考察受任意载荷作用的梁。建立考察受任意载荷作用的梁。建立xy坐标系。坐标系。规定向上的规定向上的q(x)为正。为正。xy xdx弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学 考察考察dx微段的受力与平衡微段的受力与平衡弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学（4-4）由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于梁上相 应点处的载荷集度应点处的载荷集度q。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、

23、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学由此式知：剪力图曲由此式知：剪力图曲线上一点处的斜率等于线上一点处的斜率等于梁上相应点处的载荷集梁上相应点处的载荷集度度q。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)材料力学略去二阶微量略去二阶微量 ，得：，得：（4-5）由此式知：由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应截面处的剪力于梁上相应截面处的剪力 。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学 由此式知：由此式知：弯矩图弯矩图曲线上一点的斜率等于曲线上一点的斜率等于梁上相应截面处的剪力梁上相应截面处的剪

24、力FQ。ABqF=qaCa2a(-)-qa(-)(-)(+)E(+)材料力学由此式知：由此式知：弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁弯矩图曲线上某点处的凹凸方向由梁上相应点处的载荷集度上相应点处的载荷集度q的符号决定。的符号决定。弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学内力内力FQ、M 的变化规律的变化规律,归纳如下：归纳如下：载荷载荷F水平直线水平直线+-oror上斜直线上斜直线上凸上凸抛物线抛物线下凸下凸抛物线抛物线下斜直线下斜直线F(剪力图剪力图无突变无突变)F处有尖角处有尖角弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力

25、和分布荷载集度之间的关系斜直线斜直线材料力学例例5-5一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。一外伸梁受力如图所示。试作梁的剪力图、弯矩图。解：解：1、根据平衡条件求支座反力、根据平衡条件求支座反力AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学AB1m1m4mF=3KNCDq=2KN/m2、由微分关系判断各段的、由微分关系判断各段的 形状。形状。载荷载荷CADBAD斜直线斜直线斜直线斜直线弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系材料力学AB1m1m4m

26、F=3KNCDq=2KN/m3、作、作 -图。图。4、作、作M-图。图。CA段：段：(-)DA段：段：-3KN4.2KN-3.8KN(+)(-)DB段：段：-3KN.m(-)Ex-2.2KN.m(-)3.8KN.m(+)(+)弯曲内力弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系61例例8 改内力图之错。改内力图之错。a2aaqqa2ABQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/462作业作业习题习题4-1 (a),(b),(d),(f)习题习题4-2 (a),(b),(e),(h)习题习题4-3(a),(f)习题习题4-7