多元统计分析(1).ppt

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1、多元统计分析多元统计分析黄本春石家庄经济学院经贸学院统计教研室石家庄经济学院经贸学院统计教研室多元分析概述多元方法的应用1、数据缩减或简化2、分类与分组3、变量间依赖性的研究4、预测5、假设检验多元分析概述数据的组织阵列描述统计量样本协方差图解法矩阵代数与随机向量一、矩阵代数基础（一）定义个实数排列成的一个有将行、列的矩阵列称为矩阵，常记作，其中是第行、第列的元素。若q=1，则称A为p维列向量，记作若p=1，则称A为q维行向量，记作若矩阵的所有元素全为零，则称为零矩阵。若，则称为阶方阵。转置矩阵：将矩阵的行与列互换，记作对角线元素非对角线元素对角矩阵：对角线所有非对角线元素均为零。简记为或p阶

2、单位矩阵：所有p个对角线元素均为1，记作上三角矩阵：方阵的对角线下方的元素全为。下三角矩阵：方阵的对角线上方的元素全为。则对称矩阵：若A是方阵，且斜对称矩阵：若A是方阵，且例：如果（二）运算二）运算1、和的运算（相同维数的两个矩阵可以相加）若，则A与B的和定义为则2、积的运算若c为一常数，则它与A的积定义为若，则A与B的积定义为注意注意：当A的列元素个数与B的行元素个数相同时，才能进行矩阵的乘积运算。例若则3、矩阵运算规律、矩阵运算规律（1）（2）（3）（4）（5）正交矩阵：若方阵满足。即矩阵的每一行均具有单位长度且行与行之间互相垂直（正交）。投影矩阵：对称的幂等矩阵。幂等矩阵：若方阵满足。如

3、果存在矩阵，使得则称为的逆矩阵，并记作。（三）（三）矩阵的逆矩阵的逆1、定义如果，就存在一个倒数，能使，这个基本的数量关系在矩阵代数中有如下推广：的个列向量线性无关。即的存在等价于仅当时。即是非退化方阵。存在逆矩阵的条件是：逆矩阵具有如下的基本性质：(1)（2）(3)若 和 均为 阶非退化方阵，则（4）(5)若 是正交矩阵，则则（6）若非退化（即）（7）若和为非退化方阵，则于是：故 的逆矩阵为：例：设例：设（1），当且仅当。（2）若 为矩阵 ,且 ，则 。2、矩阵的秩的基本性质：（四）矩阵的秩（四）矩阵的秩1、定义：设为矩阵，如果中不为零的子方阵最高阶数为，而任何阶子方阵皆为零，则称为矩阵的秩

4、，记作（4）。（5）。（3）。（7）阶方阵是非退化的，当且仅当（称作是满秩的）。（8）。（6）若 和 为非退化方阵，则例：设，由于，所以的秩是2。的秩是1。1阶子方阵的行列式是和，而故矩阵例：设一定义设是阶方阵，若对于一个数，存在一个维非零向量，使得，则称为的一个特征值或特征根，而称为的属于特征值的一个特征向量。由该定义有，而，故必有。特征值和特征向量是的次多项式，称为特征多项式。上式有个根（可能有重根），记作，它们可能为实数，也可能为复数。若是的一个根，则为退化矩阵，故存在一个维非零向量，使得即是的一个特征值，而是相应的特征向量，一般都取为单位向量，即满足故的特征值是和，相应的单位特征向量为

5、例：设于是二二 特征值和特征向量的基本性质特征值和特征向量的基本性质：（1）和有相同的特征值。(2)若和分别是和矩阵，则和有相同的非零特征值。证明：因为所以又故有和关于的方程和有着完全相同的非零根（若有重根，则它们的重数也相同），故而和有相同的非零特征值。（3）若为实对称矩阵，则的特征值全为实数，个特征值按大小依次表示为。若，则相应的特征向量和必正交，即。证明（1）设是的任一特征值，是相应的特征向量，于是两边取共轭复数，并注意为实数矩阵，得两边左乘得又因此由于，从而，故而，即为实数。（2）因为所以而故由于，因而有（4）若，则为的个特征值，相应的特征向量分别为。（5）若为阶对称矩阵，则存在正交矩

6、阵及对角矩阵，使得上式两边右乘，得将按列向量分块，并记作，于是有故这表明是的个特征值，而为相应的特征向量。由于是正交矩阵，所以可以更确切地说，它们是正交单位特征向量。上述矩阵可作如下分解：称之为的谱分解。三方阵的迹（一）定义设为阶方阵，则它的对角线元素之和称为的迹，记作，即（二）方阵的迹的性质：（1）若为的特征值，则（2）（3）（4）（5）（6）若为投影矩阵，则正定矩阵和非负定矩阵一定义设是阶对称矩阵，是一维向量，则称为的二次型。若对一切，有，则称为正定矩阵，记作；若对一切，有，则称为非负定矩阵，记作。表示；表示。二、正定矩阵和非负定矩阵的性质：（1）设是对称矩阵，则是正定（或非负定）矩阵，当

7、且仅当的所有特征值均为正（或非负）。（2）若，则。（3）设，则，当且仅当。（4）对一切矩阵成立。证明（5）若（或），则存在（或），使得，称为的平方根。证明因为是对称矩阵，所以存在正交矩阵和对角矩阵，使得。由（或）可知，。令则有由于的特征值，所以（或）（6）设是阶秩为的矩阵，则存在一个秩为的矩阵，使得。证明因为，所以存在正交矩阵和对角矩阵，使得，且。又。令，显然，是秩为的矩阵，因此特征值的极值问题若是阶对称矩阵，其特征值依次为则证明由于是对称矩阵，故存在正交矩阵和对角矩阵，使得。令，于是，即，可得故而（2）若是阶对称矩阵，是阶正定矩阵，是的个特征值，则证明存在，使得，令，于是为对称矩阵。因为所以的特征值与的特征值相同，即为故而（3）（柯西许瓦兹不等式）若，则附：证明只须对和都是非零向量情况进行证明。因为只有一个非零特征值，即为所以故而