有限单元法 第3章 弹性力学平面问题的有限元分析.ppt

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1、 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法第3章弹性力学平面问题的有限元分析 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.1概述在有限元法中，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为结点。一般用号码1、2、进行结点编号。结点可为铰接、固接或其它形式的连接。结点的设置、性质及数目等均视所研究问题的性质、描绘变形状态的需要和计算精度的要求等而定。在有限元法中引进结点概念是至关重要的。有了结点，才可将实际连续体看成是仅在结点处相互连接的单元集合组成的离散型结构，从而可使研究的对象转化成可以使用电子计算机计算的教学模型。由单元、结点、结点连线构成的集合称为有限元模型。它是有限元分析与计算的对象。有限单元

2、法有限单元法有限单元法有限单元法3.1.1单元划分类型单元类型：三角形、四边形单元数目：根据计算精度要求来确定结点设置：使单元的的结点编号尽量靠近有限元模型：由单元、结点、结点连线构成的集合 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.1.2位移函数在选择多项式时，为了使有限单元法的计算精度和收敛性得到保障，还需要满足完备性和连续性的要求。为了使位移模式尽可能地反映物体中的真实位移形态，它应满足下列条件：（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移；（2）位移模式必须能反映单元的常量应变；（3）位移模式应尽可能地反映位移的连续性。弹性力学平面问题一般选择多项式函数作为位移函数。有限单元法有限单元法有

3、限单元法有限单元法3.2平面三角形单元三角形单元是一种简单方便、对边界适应性强的单元，由于以三角形的三个顶点作为结点，因此又成为三结点三角形单元。这种单元的计算精度较低，使用的时候必须进行精细的网格划分，但他仍然是一种常用的单元 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.1位移函数的选取如图3.4所示的3结点平面三角形单元，结点的坐标分别为、，结点位移分别为、。记单元的结点位移向量和结点力向量为：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法根据完备性和连续性的要求，选取3结点三角形单元的位移场函数如下：（3-4）将3个结点上的坐标和位移分别代入式（3-4）就可以将六个待定系数用结点坐标和结点

4、位移分量表示出来。将水平位移分量和结点坐标分别代入（3-4）中的第一式，得到：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法写成矩阵形式，有：（3-6）其中，为三角形单元的面积。为了避免出现的情况，三个结点按逆时针顺序排列。由（3-6）得到：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将竖向位移和结点坐标代入（3-4）中的第二式，可以得到：（3-8）将（3-7）、（3-8）代回（3-4）整理后可得：（3-9）（3-10）其中系数，（下标轮换）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法令（3-11）可得：（3-12）单元内的位移场函数可以简写成：（3-13）把称为形函数矩阵，称为形函数。根据形函数的定义，具

5、有以下性质：（1）在单元结点上形函数的值为1或为0。（2）在单元中的任意一点上，三个形函数之和等于1。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.2单元的应变场根据单元的位移场函数式（3-12），由几何方程可以得到单元的应变场表达式：（3-14）记为：（3-15）其中，矩阵称为几何矩阵。矩阵可以表示为分块矩阵的形式 （3-16）这里，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.3单元的应力场由物理方程及式（3-15），可以得到单元的应力场表达式：（3-18）其中为应力矩阵，称为弹性矩阵，对于平面应力问题，(3-19)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将应力矩阵表示为分块矩阵的形式

6、，有：（3-20）其中：对于平面应变问题，只需将换为，换为，则（3-21）变为：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.4单元刚度矩阵（1）单元的应变能 （3-23）（2）单元上外力的势能（3-24）式中、分别表示单位体积的体积力、单元上的表面力、单元结点上的结点荷载。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将式（3-13）、（3-15）、（3-18）代入（3-23）、（3-24）后相加，得到单元的总势能为：利用最小势能原理，取结点位移的变分，得到：由的任意性，有：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法考虑到的对称性，对式（3-25）求偏导得到：记：则式（3-28）可写为：有限单元法

7、有限单元法有限单元法有限单元法这就是描述单元结点力和结点位移向量之间关系的平衡方程。其中称为单元刚度矩阵。在3结点等厚三角形单元中和的分量均为常量，则单元刚度矩阵可以表示为：其中t、分别为单元的厚度和面积。单元刚度矩阵可以表示为分块矩阵的形式：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中：对于平面应力问题，其刚度矩阵的显式：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.5等效结点荷载在式（3-28）中括号中的前两个量分别为体积力、表面力移置到结点上的等效结点力，依次定义为、，即：、那么（3-30）中的荷载列阵就等于体积力、表面力和单元结点荷载叠加。因此作用在弹性体上的外力，需要移置到相应的结

8、点上成为结点荷载。荷载移置要满足静力等效原则。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.6整体刚度矩阵得到了单元刚度矩阵后，需要将一系列的将单元组成一个整体结构，然后根据结点载荷平衡的原则进行分析，得到整体刚度矩阵。整体分析包括以下4个步骤：（1）建立整体刚度矩阵，（2）根据支承条件修改整体刚度矩阵，（3）解方程组，求出结点的位移，（4）根据结点位移，求出单元的应变和应力。由单元刚度矩阵得到整体刚度矩阵的基本方法是刚度集成法，即整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法单元编号单元编号单元结点局部编号单元结点局部编号单元结点整体编号单元结点整体编号（1）3

9、12（2）524（3）532（4）356 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法整体整体编号123456局部编号000100000020003000000400050006000000 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法由上表可以看出，整体刚度矩阵也具有对称性。同时它是一个稀疏矩阵，即其中有大量的零元素，并且非零元素都集中于主对角线附近呈带状。和单元刚度矩阵一样，由于位移函数中包含刚体位移，所以整体刚度矩阵也是一个奇异矩阵。必须要排除刚体位移后，才能变为正定矩阵。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.2.7约束条件的处理（1）将方程分组（

10、2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0（3）对角线元素乘以一个大数 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（2）对角线元素改1，同行同列其他元素改0若第r个位移分量 为已知值 则将整体刚度矩阵中主对角线元素 改为 1，第r行、第r列的其他元素改为 0，荷载矩阵中第r行的元素改为 ，其他元素都减去结点位移的已知值和原中这行相应列元素的乘积。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（3）对角线元素乘以一个大数若第r个位移分量 为已知值 则将整体刚度矩阵中主对角线元素 乘以一个大数（如 ），第r行、第r列的其他元素不变，荷载矩阵中第r行的元素改为 ，其他元素不变。有限单元法有限单元法有限单元法有

11、限单元法3.3平面矩形单元矩形单元也是常用的单元之一，由于采用了比常应变三角形单元更高次数的位移模式，故可以更好地反映弹性体的位移状态和应力状态。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法如图3.10所示四结点矩形单元，记单元的结点位移向量 和结点力向量为：为了能推导出简洁的结果，在这里引入无量纲坐标：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.3.1单元位移场从图3.10可以看出，结点条件共有8个，因此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，可以取以下多项式作为单元的位移场模式：它们是具有完全一次项的非完全二次项，其中以上两式中右端的第四项是考虑到x和y方向的对称性而取的。(3-43)有限单

12、元法有限单元法有限单元法有限单元法由结点条件，在处，有 将(3-44)代入(3-43)中，可以求解出待定系数，然后再代回(3-43)中经整理后，有(3-44)(3-45)其中，N为单元的形函数矩阵，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法如以无量纲坐标系来表达，则(3-46)式可以写成其中：(3-46)(3-47)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.3.2单元应变场根据单元的位移场函数式（3-45）、(3-47)，由几何方程可以得到单元的应变场表达式，记为：(3-48)(3-49)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法这里，B矩阵称为几何矩阵。B矩阵可以表示为分块矩阵的形式其中(3-

13、51)(3-50)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.3.3单元应力场由物理方程及式（3-49），可以得到单元的应力场表达式，其中为应力矩阵，D称为弹性矩阵，对于平面应力问题，(3-52)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将应力矩阵表示为分块矩阵的形式其中：对于平面应变问题，只需将E换为，换为。（3-54）（3-53）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.3.4单元刚度矩阵和三角形单元一样，可以根据最小势能原理导出结点位移向量和结点力向量之间关系，即单元的刚度矩阵，可以将其写成分块的形式。其中（3-56）（3-55）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法对于平面应力问题，

14、如果单元厚度t为常数，则得到（3-56）的显式形式：（3-57）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法3.4平面问题程序设计有限元方法在分析工程问题时的优越性，在于与计算机的结合。通过编写的计算程序，确定所研究问题的信息和数据，问题就可以得到解决。前面两节讲述了平面问题的有限元计算原理。本节主要介绍采用三角形单元，计算在给定荷载作用下的弹性力学平面静力问题时，有限元法的程序编制与框图设计。通常有限元法的程序设计和编写分为以下几步：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（1）问题分析使用计算机解决具体问题时，首先要根据所要求解的问题，找出已知的数据和条件，建立数学力学模型，选择计算方案，准备

15、所需要的原始数据。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（2）框图设计计算方案选定以后，需先画出总框图。平面问题的有限元法的总框图如图3.11所示。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（3）设计程序根据总框图的规划和有限元法的基本原理，用自己所使用的程序语言把这个解决方案严格地描述出来，也就是编写出程序代码。它就是用于求解问题的源程序。（4）程序的编译和调试将编写好的源程序输入计算机，进行编译，改正其中的语法等错误。并用实际的输入数据对编好的程序进行调试，分析所得到的运行结果，进行程序的测试和调整，直至获得预期的结果。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法第4章空间轴对称问题的有限元分

16、析 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法教学提示：空间轴对称结构是工程中一类特殊的结构。对于这类结构，由于其几何形状、约束情况、所受荷载都对称于某一根轴（如图4.1所示），因此，通常是在柱坐标系中进行分析。本章以三角形单元为例介绍了这一类结构的有限元分析过程。教学要求：本章要求学生了解柱坐标系中三角形单元的建立方法，熟悉轴对称结构有限元分析的基本方法。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法4.1概述在工程中有许多结构，如活塞、厚壁容器等，他们的几何形状、约束情况及所受的荷载都对称于空间的某一根轴，因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面，所有应力、应变和位移也对称于该轴，这类问题称为空间

17、轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系，以轴为对称轴。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒，通过z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性，轴对问题共有4个应力分量：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中表示沿半径方向的正应力，称为径向应力；表示沿方向的正应力，称为环向应力或切向应力；表示沿方向的正应力，称为轴向应力；表示在圆柱面上沿方向作用的剪应力。同样，轴对称问题共有4个应变分量：其中表示沿半径方向的正应变，称为径向正应变；表示沿方向的正应变，称为环向正应变或切向正应变；表示沿方向的正应变，称为轴向正应变；表示沿和方向的剪应变。有限单元法

18、有限单元法有限单元法有限单元法在轴对称问题中，弹性体内任意一点上，不存在切向位移，只存在径向位移 u 和轴向位移 w，两个位移分量表示为，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法4.2三角形单元轴对称问题分析中所使用的三结点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环，各单元中圆环形铰相联接。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法4.2.1位移函数的选取参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法按照平面问题三角形单元的分析过程，将结点坐标和结点位移代入（4-4）得到，其中：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法

19、定义形函数为：用矩阵表示的单元位移为：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法4.2.2单元刚度矩阵轴对称问题的几何方程：由（4-9）式得，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中，用几何矩阵表示单元的应变，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法由于在是坐标 r、z 的函数，分量在单元中不为常量，其它三个应变分量在单元中仍为常量。由轴对称问题的物理方程，得到弹性矩阵 D，有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法由弹性矩阵 D 和几何矩阵 B 可以得到应力矩阵 S，并计算出单元内的应力分量，其中：式中：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法有了单元应力场和应变场，可以利用虚位移原理或最小

20、势能原理建立单元刚度矩阵单元刚度矩阵的分块矩阵为，由于几何矩阵中的元素不是常量，单元刚度矩阵需要通过积分得到，为简化计算，可以用三角形单元形心位置的坐标代替 B 矩阵中的变量。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法应变矩阵（4-13）变成，其中：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法单元刚度矩阵的近似表达式为：单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为，这里：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法4.2.3等效结点荷载（1）集中力集中力的处理很简单，一般直接把集中力作用点取为结点，不需要作特殊处理，就可以直接把集中力加入到结点荷载列阵中去。（2）体积力设单元内单位体积上作用的体积力为，则移置到单

21、元各结点的等效结点力为 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（3）表面力设单元某边上作用的表面力为，则移置到单元各结点的等效结点力为轴对称问题分析中，如果直接定义结点荷载，则荷载值是实际弹性体上绕对称轴一周的荷载的累计结果。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法第6章平板弯曲问题的有限元分析 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法教学提示：对于工程中经常遇到的不规则薄板，经典理论通常显得无能为力，此时必须运用数值方法进行分析。本章就平板弯曲问题的有限元分析进行了介绍，分别运用三角形单元、矩形单元、八结点四边形等参单元等单元划分形式对平板弯曲问题进行介绍，包括位移模式、单元分析、整体分析

22、、等效结点荷载计算等方面。教学要求：本章要求学生重点掌握运用三角形单元进行薄板的有限元分析，包括位移模式、单元分析、整体分析、等效结点荷载计算等。同时要熟悉矩形单元的运用，了解八结点四边形等参单元的分析过程。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1薄板受弯分析的基本方程当薄板上受有一般载荷时，总可以把个荷载分解为两个分量：一个是作用在薄板中面内的中面荷载（也称纵向荷载）；另一个是垂直于中面的法向荷载（也称横向荷载）。对于中面荷载，可以认为它们沿薄板的厚度均匀分布，因而它们所引起的位移、应变和应力，可以按平面应力问题进行分析。横向荷载将使薄板发生弯曲和翘曲，它们所引起的位移、应变和应力，应

23、按薄板弯曲问题进行计算。当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面称为弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移称为挠度。本节只介绍薄板弯曲的小挠度理论，即薄板虽然很薄，但仍具有相当的弯曲刚度，因而它的挠度远小于其厚度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1.1基本假设分析薄板弯曲的挠度问题时，和材料力学中分析直梁的弯曲问题时相似（薄板的中面相当于直梁的轴线，薄板的弹性曲面相当于直梁的挠曲线），也采用一些由实践经验得到的基本假设，使问题大大简化，但同时又能在一定程度上反映实际情况。这些基本假设是：（1）薄板的法线变形后没有伸缩。（2）变形前的中面法线在变形后仍是弹性曲面的法线。（3）薄板中面内各

24、点，没有平等于中面的位称。（4）忽略挤压应力所引起的变形。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1.2几何方程取薄板的中面为xy面，z轴垂直于中面，如图6.1所示。由假设（1）可知，再由 ，可得 。也就是说，中面法线上的所有各点具有相同的位移，即弹性曲面的挠度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法根据假设（2），可以推知：薄板的法线（z方向线段）与x方向或y方向的线段保持垂直，即没有剪应变，也就是：上式也可写成：对式（6-1）进行积分，注意到只是x和y的函数，不随z而变，因而得：（6-2）（6-1）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法假设（3）可以表示为，代入到式（6-2）得：于

25、是式（6-2）就简化为：（6-3）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法现用挠度来表示应变，不难得到：这就是弯曲薄板的应变与挠度之间的几何方程。（6-4）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法在小变形情况下，和分别为弹性曲面在x和y方向的曲率和，而为弹性曲面在x和y方向的扭率。这三个参数称作弹性曲面的弯扭变形分量，它们完全确定了薄板内各点的应变分量。用矩阵可表示为：（6-5）将上式代入到式（6-4），得到：（6-6）从上式中可以看出，薄板内所有各点的应变分量都可由弹性曲面的弯扭变形求出。因此，有时也把式（6-5）称作薄板弯曲问题的几何方程。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.1.3

26、物理方程假设（4）说明：可以忽略挤压应力引起的变形。因此薄板内各点的应变分量可用应力分量来表示，即：这和薄板平面应力问题中的物理方程相同，由式（6-7）解出应力，可得：（6-7）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将式（6-4）代入上式，得到用挠度表示的应力分量，用矩阵来表示可写成：（6-8）（6-8）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：（6-9）在薄板的弯曲问题中，由于大多数情况下，都很难使得应力分量在薄板的侧面上（板边上）精确地满足应力边界条件，而只能使这些应力分量所组成的内力整体地满足边界条件，因此，有必要考察薄板横截面上的内力。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从薄

27、板内取出一个平行六面体，它在x和y方向上具有单位宽度，在z方向的高度为t（图6.3）。在x为常量的横截面上，作用有和。由于和都和z成正比，所以它们在薄板全厚度上的代数和分别等于零。只可能分别合成弯矩和扭矩。用表示由所合成的单位宽度上的弯矩，则得：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法将式（6-8）中的的表达式代入上式，并对z积分，得到与此相似，应力分量将合成扭矩将式（6-8）中的表达式代入上式，并对z积分，得到 （6-11）（6-10）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法同样，在y为常量的横截面上，每单位宽度上的和也分别合成如下的弯矩和扭矩在这里可以看到，由剪应力和的互等关系，得到扭矩和

28、的互等关系。将式（6-10）、（6-11）和（6-12）中的第一式合并起来，用矩阵表示，则有（6-12）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中是薄板弯曲问题的弹性矩阵，它等于平面应力问题中的弹性矩阵乘以。式（6-13）表示了薄板的内力与应变两者之间的关系，因而是薄板弯曲问题中的物理方程。（6-13）（6-14）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法弯矩和扭矩、的方向及其作用面的位置示于图6.4a中。按右手螺旋法则用双箭头矢量来表示力偶，如图6.4b所示（图中所示各力偶的方向均为正）。从式（6-13）中解出、，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。图6.4（a）（b）有

29、限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从式（6-13）中解出、，再代入式（6-8），就得到各应力分量与内力之间的关系式。（6-15）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2三角形单元 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2.1位移模式问题为保证挠度 w 为坐标的全三次多项式，从帕斯卡三角形可知必须要有10项，但三角形3个结点只能有9个自由度，若舍去三次项中的任一项，显然都无法保证对坐标的不变性，为此Tocher提出了一种解决方案如下：但是当三角形的二边分别平行坐标x轴、y轴时，从式（6-16）无法通过结点的位移条件来确定广义坐标参数，为此必须在离散化时设法避免边界（内部）单元不出

30、现上述现象，分析结果表明此位移模式对应的单元能得到很好的结果。（6-16）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法另一解决方案是Adini提出的此方案由于舍去了二次项xy，故常扭率无法得到保证，从而位移偏小，精度很差。这也可以从挠曲函数的Taylor级数展开来说明，由于不包含完全二次项，故只能有一阶精确度。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法还有一种Bell提出的解决方案，他对三角形单元除了3个角点作为结点外，取形心点挠度作为位移参数，从而取位移模式为全三次多项式利用10个位移参数条件确定广义坐标参数，通过分析建立起单元刚度、等效结点荷载矩阵，在整体分析之前采取如下措施消去内点自由度。有限

31、单元法有限单元法有限单元法有限单元法单元刚度方程 （6-19）式中 从式（6-19）的第二个方程可解出：（a）将式（a）代回式（6-19）第一个方程并进行整理，可得：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法设单元刚度矩阵：等效结点荷载：（6-20）则单元刚度方程为 （6-21）通过静力凝聚最后获得了9自由度的三角形单元。但是Zienkiowicz曾指出这样所得到的单元不能保证收敛性，因此，通常采用另外一种位移模式，即下面介绍的面积坐标面积坐标下的位移模式。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2.2面积坐标下的位移模式 设面积坐标变量为。其定义如下：如图6.6所示，三角形单元中任意一点P

32、的位置可以由如下三个比值来确定：A为三角形单元的面积，为小三角形面积 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法根据三角形面积公式，可以得到面积坐标与直角坐标的关系为：式中 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法Zienkiowicz等采用面积坐标解决了直角坐标下所产生的困难，提出了如下的位移模式利用结点的位移参数条件可以确定广义坐标参数，从而建立形函数（当然也可象前面介绍的那样由形函数性质来确定）如下（a）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中脚标轮换规则为1231，如果注意到：则式（a）可改写成：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法从式（c）出发，可按如下两步法确定形函数：（1）

33、以、作为结点自由度（位移参数），求对应它们的形函数；（2）利用关系式 将（1）中的、变换成、，然后进行合并整理即可得到对于（、）结点位移参数的形函数。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法下面具体推导如下：（1）由、的位移条件可得、(e)（2）由式（c）求导可得(f)有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（3）建立如下位移条件（g）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法并由此求得式：（h）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（4）将式（e）和式（h）代回式（b）并整理，可得：式中：（j）（i）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法（5）将式（d）代入式（i）并再整理即可得：其中：（

34、第二脚标轮换）1231不难验证所得形函数与式（6-22）完全相同。但这种推求方法显然比普通广义坐标法直接求而后得形函数要方便得多。（6-23）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法6.2.3单元分析无论是以式（6-16）还是用式（6-22）、（6-23）建立单元的挠度场，有了w就可用常规方法来进行单元列式。下面以面积坐标的形函数和式（6-23）来推导并给出三角形单元的显式单元刚度矩阵等等。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法注意到面积坐标，设取、为独立坐标，则：由此不难得到：式中A是三角形单元中面面积。（6-24）（6-25）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法因此，可得形变矩阵为：

35、设：（6-27）（6-26）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：因为是面积坐标三次式，因此是面积坐标一次式。若记（a）（6-28）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法则可得（6-29）式中（d）（c）（b）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法其中、为i结点的3个面积坐标，也即i结点的。（e）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法若将单元刚度矩阵写成分块子矩阵形式，则对各向刚性薄板若将单元刚度矩阵写成分块子矩阵形式，则对各向刚性薄板（6-30）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中：其中：有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法因为式中 有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法利用并记：则单元刚度子矩阵 为（6-33）（6-31）（6-32）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法若单元上受垂直中面的分布荷载作用，则等效结点荷载为当q为常数时，有式（6-35）（6-34）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法经推导，若记（各向同性时）（6-37）（6-36）有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法式中，则薄板内力矩阵可写作：（6-38）由此式可见，的每一列的物理意义为“单位位移引起板中任一点的内力（点位置取决于、和）”。有限单元法有限单元法有限单元法有限单元法结束