解析函数零点的孤立性及唯一性定理.ppt

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1、第四章解析函数的幂级数表示法第一节复级数的基本性质第二节幂级数第三节解析函数的泰勒(Taylor)展式第四节零点的孤立性与唯一性原理第一节复级数的基本性质复数项级数定义4.1对于复数项的无穷级数命（部分和）。若则称复数项级数收敛于否则称级数发散。定理4.1设，则复数级（4.1）收敛于实数及分别收敛于的充要条件为例求证级数在时收敛于，而当时发散。证明：1）用极限定义易证，当时，因而由极限的性质得到因此按定义4.1得2）当时，显然有，因而故级数发散。3）当时，显然有因此级数也发散。4）当，而时，设，则因为，所以它对任何固定的都无极限由此可见，复数当时无极限，亦即无极限，因此级数发散。例4.1考察级

2、数的敛散性。解因发散，收敛，我们仍断定原级数发散。故虽例讨论级数的敛散性解：而收敛，级数同时收敛或同时发散。当时，级数收敛。当时，由知，发散定理4.2 柯西收敛原理（复数项级数）级数收敛必要与充分条件是：任给可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,时定理4.3复级数（4.1）收敛的一个充分条件为级数收敛定义4.2若级数收敛，则原级数称为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数，称为条件收敛。（）一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序，而不致改变其绝对收敛性，亦不致改变其和。（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积级数。定理4.4例判断下列级数的敛散性分析：考查正项级数的敛散性。解（

3、1），则由正项级数的比值判别法知道，原级数绝对收敛。（2）因故原级数发散练习：证明级数收敛，但不绝对收敛2.一致收敛的复函数项级数定义4.3设复变函数项级数在点集上存在一个函数，对于上的每一个点，级数（4.2）均收敛于，则称为级数（4.2）的和函数，记为定义4.4 对于级数（4.2），如果对任意给定的 ，存在正整数当时，对一切的均有则称级数（4.2）在上一致收敛于与定理4.2类似地我们有定理4.5级数在上一致收敛的充要条件是：，当使时，对任一及均有定义4.4在点集合E上不一致收敛于某个对任何整整数总有某个使定理4.5在点集E上不一致收敛某个对任何正整数N，整数总有某个及某个正整数，有定理（优级

4、数准则）若存在正数列而且正项级数收敛，则复函数项级数在集上绝对收敛且一致收敛。使对一切,有例求级数的和函数分析：求部分和；分别就取极限解：所以例证明级数时一致收敛当当时发散。证明：1）当时，由于，而正项级数收敛，故由优级数准则知所给级数在时绝对且一致收敛。2）当时，所以绝对收敛。又由于故发散，从而所给级数在时发散。3）当时，所以收敛。发散。后者是因为从而所给级数在时发散。级数在闭圆上一致收敛。因有收敛的优级数思考题：证明在内不一致收敛。定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线在E上一致收敛于f(z)，那么f(z)在E上连续。定 理 4.7 设 在 简 单 曲 线 C上fn(n)(n

5、=1,2,)或序列fn(n)在C上一致收敛于f(z)或或连续，并且级数。设在集E上fn(z)(n=1,2,)连续，并且级数，那么注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。内闭一致收敛：设函数序列在复平面C上的区域D内解析，如果级数序列fn(n)在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或 ，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或 。定理4.8级数（4.2）在圆内闭一致收敛的充要条件是：对任意正数，只要级数（4.2）在闭圆上一致收

6、敛。定理4.9设函数在区域内解析,级数在内中闭一致收敛于函数，则在内解析,，且在内成立证明：，取，使得。在内任作一条简单闭曲线，根据定理柯西定理推得因而由莫勒拉定理知在内解析,再由的任意性即得在内解析。在上一致收敛于 其次，设的边界,由已知条件得在上一致收敛于，从而,根据定理4.7，我们有即于是定理结论成立.例证明级数在内闭一致收敛。证明当时，而正项级数收敛，即原级数有收敛的优级数，故由优级数准则，原级数在较小同心闭圆上绝对且一致收敛。由定理4.8原级数在内内闭一致收敛。定义形如的级数称为幂级数,其中是复变量,是复常数.特别地,当，级数就变为2幂级数幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅

7、是研究解析函数的工具,而且在实际计算中也很重要。定理定理4.10:(阿贝尔第一定理阿贝尔第一定理)如果幂级数(4.3)在z1(z0)收敛,则它在圆K：|z-z0|z1-z0|内绝对收敛且内闭一致收敛.证明 设z是所述圆K内的任意点，因为因此存在着有限常数M,使得这样一来，即有收敛，它的各项必然有界注意有，故级数为收敛的等比级数，因而在圆K内收敛其次，对K内任一闭圆上的一切点来说，有故在上有收敛的优级数因而它在上绝对且一致收敛。再由定理4.8，此级数在圆K内绝对球内闭一致收敛。定理定理4.12:如果下列条件之一成立（1）(达朗贝尔法则)（2）(柯西法则)（3）(柯西-阿达马公式)则当0 l+时,

8、幂级数(4.3)的收敛半径为当l=0时,R=+;当l=+时,R=0.注意：由数学分析知识即知，对幂级数（4.3）有（2）若存在，则存在，且等于。又从存在显然包含存在，且等于，反之则不然，即存在，未必存在。因此，由上极限而得到收敛半径的结论最强例4.2试求下列各幂级数的收敛半径解（2）（1）（3）（4）解因（2）故解因故（3）解当是平方数时，（4）其他情形，因此相应有于是数列的聚点是0和1，从而幂级数(4.3)的和是在收敛圆盘内有定义的一个函数,称之为和函数和函数.可以证明幂级数和函数的解析性.定理定理 4.13:设幂级数(4.3)的收敛半径为R,则在|z-z0|R内,它内闭一致收敛,它的和函数

9、（4.5）解析,并且可逐项求导.证明:事实上,对,则在上由定理 的收敛半径为1知级数在上绝对收敛，从而根据判别法知在一致收敛，故在中内闭一致收敛,在的和函数解析，且成立，由的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散.如例2级数由于在收敛圆上,此级数一般不趋于0,因而在上级数处处发散,但其和函数却除处处解析.例3级数的收敛半径为1在收敛圆上，而级数收敛,故此级数在收敛圆上也处处收敛.例证明在内解析，并求证明因为所给幂级数的收敛半径，故由定理4.13（1）、（2），在内解析，且在内其收敛半径仍为例求幂级数的收敛半径、收敛圆及和函数解：1）因为，所以收敛半径收敛圆为2）因为于是，

10、以此为公式就有3.泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理4.14（泰勒定理）设在

11、区域内解析，只要圆含于，则在内能展成幂级数其中证证明的关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式Dk分析：分析：代入代入(1)得得Dkz-(*)得证！得证！证明证明(不讲不讲)(不讲不讲)证明证明(不讲不讲)结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？事实上事实上，设，设f(z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:由此我们就可推出:推论幂级数是它的和函数在收敛圆内的泰勒展式.即定理定理 4.15:函数f

12、(z)在区域D内解析它在z0的某一邻域内有幂级数展式(4.8).定义定义4.6:f(z)在U内幂级数展式(4.8)称为f(z)在z=z0或在U内的泰勒展式泰勒展式,n为泰勒系数泰勒系数,(4.8)右边级数为泰勒级数泰勒级数.注解1、在定理4.14中，f(z)在U内的幂级数展式我们称为它在U内的泰勒展式。注解2、我们得到一个函数解析的另外一个刻画。注解3、泰勒展式中的系数与z0有关。定理4.16如果幂级数的收敛半径2幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况，且则在收敛圆周上至少有一奇点。即不可能有这样的函数存在，它在内与恒等，而在上处处解析。其中A 例如的收敛半径为1在圆周上级数收敛的，所以原级数在圆

13、周是处处绝对收敛的，从而在闭圆绝对且一致收敛。当z沿实轴从单位圆内趋于1时，趋于，所以是的有一个奇点。关于幂级数的四则运算幂级数在它的收敛圆内绝对收敛。因此两个幂级数在收敛半径较小的那个圆域内，不但可以作加法、减法还可以作乘法。至于除法，我们将通过乘法及待定系数法莱解决。由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开

14、成Taylor级数的方法：级数的方法：二求泰勒展式的方法1求Taylor系数如求在z=0的展开式2.利用级数的运算如如在展开3逐项微分法如：4.逐项积分法如求在的展开式。（主支）（其中取K=0分支，即分支）又一般地，5级数代入级数法如总结：掌握一些主要的泰勒展示，并能作为公式来用 第四节零点的孤立性与唯一性原理定义4.7设 在解析区域 一点 的值为零，则称 为解析函数 的零点称为的级零点，若注意：定义4.7中，1）a为解析函数f(z)的零点f(z)在点a解析，且2）a为解析函数f(z)的m阶零点（m1）整数f(z)在点a解析，但。这是多项式重根概念的推广。定理4.17不恒为零的解析函以为级零点

15、的充要条件为：其中在点的的邻域内解析，且证必要性由假设，只要令即可。充分性是明显的。例4.15 考察函数在原点 的性质。为的三级零点解：显然在解析，且由所有例指出函数的零点的级。分析如用定义4.7，由于要求高阶导数，计算较繁，故直接用泰勒展示于定理4.17，就简单多了。解：其中在z平面C上解析，且，所以为的6级零点定理4.18 如在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得 在其中无异于的零点。（简单说来就是：不恒为零的解析函数的零点必是孤立的。）推论4.19设（1）函数在邻域内解析；（2）在K内有的一列零点收敛于，则在K内必恒为零。定理4.20（唯一性定理）设（1）函数和在区域内

16、解析；（2）内又有一个收敛于的点列，在其上和则和在内恒等。相等。证明：假定定理的结论不成立。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然设z0是点列zk在D内有极限点。由于F(z)在z0连续，可见唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。在一般情形下，可用下述所谓圆链法来证明。可是这时找不到z0的一个邻域，在其中z0是F(z)设是D内任意固定的点（如图）。在D内可以作一折线L连接 及以表L与D的边界间的最短距离在L上依次取一串点使相邻两点间的距离小于定数。显然，由推论4.19，在圆内。在圆又重复应用推论4.19，即知在内。这样继续下去，直到最后一个含有的圆为止，在该圆内，特别说

17、来，。因为是D内任意的点，故证明了在D内推论4.21设在区域D内解析的函数在D内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域D内恒等。推理4.22一切在实轴上成立的恒等式，在z平面上也成立，只要这个恒等式的等号两边在z平面上都是解析的。例4.17设（1）在区域内解析；（2）在内，试证：在内或证若有使因在点连续，故存在邻域在内恒不为零。而由题设故必由唯一性定理例函数有无穷多个零点而并非常数0.这与唯一性定理是否矛盾？解 不矛盾。因为唯一性定理的条件，要求零点列的极限点在函数的解析区域内，而题设零点列的唯一极限点不在的解析性区域内，而是在边界上。例设在区域D内解析，且有，而则在的邻域内不能是一

18、个常数。证（反证法）若在D内的某个邻域内为常数，则有唯一性定理，在区域D内亦将为常数。此时对任何将有这与题设矛盾。定理4.23(最大模原理).设在区域D内解析，则在D内任何点都不能达到最大值，除非在D内恒等于常数。证明：若用M表在D内的最小上界，则必,假定在D内有一点，函数的模在达到它的最大值,即.应用平均值定理于以中心,并且连同它的周界,一起全含于区域D内的一个圆,就得到由此推出由于，而从上式可看出：有事实上，若对于某一个值有在某个充分小的区间内成立，同时在这个区间之外总是。再由（4.15）得矛盾。因此，在以为中心的每一个充分小的圆周上。即在点的足够小的领域K内(K及其周界全含于D内)有(2).由第二章习题(一)6(3),必在K内为一常数。(3).由唯一性定理,必在D内为一常数.推论设（1）在有界区域D内解析,在闭域连续则除为常数的情形外,例设,证明：在任何圆周上都有点，使证明：因为在z平面C上解析，且不为常数，又，则由最大模原理，在任何圆周上都有点z，使