备考2022年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）（含解析版） (3).pdf

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1、第 1页（共 12页）2022 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）（大纲版）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则 M 中元素的个数为（）A3B4C5D62 （5 分）=（）A8B8C8iD8i3 （5 分）已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则=（）A4B3C2D14 （5 分）已知函数 f（x）的定义

2、域为（1，0） ，则函数 f（2x+1）的定义域为（）A （1，1）BC （1，0）D5 （5 分）函数 f（x）=log2（1+） （x0）的反函数 f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）6 （5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）7 （5 分） （1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是（）A5B8C12D188 （5 分）椭圆 C：的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）ABCD9

3、（5 分）若函数 f（x）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）10 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD11 （5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于A，B 两点，若，则 k=（）ABCD212 （5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）Ay=f（x）的图象关于（，0）中心对称BCDf（x）既是奇函数，又是周期函数二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共

4、4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知是第三象限角，sin=，则 cot=14 （5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种 （用数字作答）15 （5 分）记不等式组所表示的平面区域为 D若直线 y=a（x+1）与 D 有公共点，则 a的取值范围是16 （5 分 ）已 知圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大圆 和小 圆， 其 公共 弦长 等 于球 O 的 半径 ，则球 O 的表面积等于三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 S3=a

5、22，且 S1，S2，S4成等比数列，求an的通项式第 2页（共 12页）18 （12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB 与PAD 都是等边三角形（）证明：PBCD；（）求二面角 APDC 的大小20 （12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1局甲当裁判（）求第 4

6、 局甲当裁判的概率；（）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望21 （12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II） 设过 F2的直线 l 与 C 的左、 右两支分别相交于 A、 B 两点， 且|AF1|=|BF1|， 证明： |AF2|、 |AB|、|BF2|成等比数列22 （12 分）已知函数（I）若 x0 时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项 an=1+第 3页（共 12页）2022 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （

7、大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的.1 （5 分）设集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x|x=a+b，aA，bB，则 M 中元素的个数为（）A3B4C5D6【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性；1A：集合中元素个数的最值菁优网版 权所有【专题】11：计算题【分析】利用已知条件，直接求出 a+b，利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可【解答】解：因为集合 A=1，2，3，B=4，5，M=x

8、|x=a+b，aA，bB，所以 a+b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以 M 中元素只有：5，6，7，8共 4 个故选：B【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力2 （5 分）=（）A8B8C8iD8i【考点】A5：复数的运算菁优网版 权所有【分析】复数分子、分母同乘8，利用 1 的立方虚根的性质（） ，化简即可【解答】解：故选：A【点评】复数代数形式的运算，是基础题3 （5 分）已知向量 =（+1，1） ， =（+2，2） ，若（ + ）（ ） ，则=（）A4B3C2D1【考点】9T：数量积判断两个平

9、面向量的垂直关系菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出【解答】解：，=（2+3，3） ，=0，（2+3）3=0，解得=3故选：B【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键4 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（1，0） ，则函数 f（2x+1）的定义域为（）A （1，1）BC （1，0）D【考点】33：函数的定义域及其求法菁优网版权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】原函数的定义域，即为 2x+1 的范围，解不等式组即可得解【解答】解：原函数的定义域为（1，0） ，12x+10，解得1x第 4页（共

10、 12页）则函数 f（2x+1）的定义域为故选：B【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题5 （5 分）函数 f（x）=log2（1+） （x0）的反函数 f1（x）=（）ABC2x1（xR）D2x1（x0）【考点】4R：反函数菁优网版 权所有【专题】51：函数的性质及应用【分析】把 y 看作常数，求出 x：x=，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数注意反函数的定义域【解答】解：设 y=log2（1+） ，把 y 看作常数，求出 x：1+=2y，x=，其中 y0，x，y 互换，得到 y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A【点评】 本题考查对数函数的反函

11、数的求法， 解题时要认真审题， 注意对数式和指数式的相互转化6 （5 分）已知数列an满足 3an+1+an=0，a2=，则an的前 10 项和等于（）A6（1310）BC3（1310）D3（1+310）【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版 权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】由已知可知，数列an是以为公比的等比数列，结合已知可求 a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：3an+1+an=0数列an是以为公比的等比数列a1=4由等比数列的求和公式可得，S10=3（1310）故选：C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题

12、7 （5 分） （1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是（）A5B8C12D18【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项，令 x 的指数为 2，写出出展开式中 x2的系数，第二个因式 y2的系数，即可得到结果【解答】解： （x+1）3的展开式的通项为 Tr+1=C3rxr令 r=2 得到展开式中 x2的系数是 C32=3，（1+y）4的展开式的通项为 Tr+1=C4ryr令 r=2 得到展开式中 y2的系数是 C42=6，（1+x）3（1+y）4的展开式中 x2y2的系数是：36=18，故选：D【点评】 本题

13、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，本题解题的关键是写出二项式的展开式，所有的这类问题都是利用通项来解决的第 5页（共 12页）8 （5 分）椭圆 C：的左、右顶点分别为 A1、A2，点 P 在 C 上且直线 PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是（）ABCD【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版 权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点 A2（2，0） 设 P（x0，y0） （x02） ，代入椭圆方程可得利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出【解答】

14、解：由椭圆 C：可知其左顶点 A1（2，0） ，右顶点 A2（2，0） 设 P（x0，y0） （x02） ，则，得=，=，=，解得故选：B【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键9 （5 分）若函数 f（x）=x2+ax+是增函数，则 a 的取值范围是（）A1，0B1，+）C0，3D3，+）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】53：导数的综合应用【分析】由函数在（，+）上是增函数，可得0 在（，+）上恒成立，进而可转化为 a2x 在（，+）上恒成立，构造函数求出2x 在（ ，+）上的最值，可得 a 的取值范围【解答】解：在（，+

15、）上是增函数，故0 在（，+）上恒成立，即 a2x 在（，+）上恒成立，令 h（x）=2x，则 h（x）=2，当 x（，+）时，h（x）0，则 h（x）为减函数h（x）h（）=3a3故选：D【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，恒成立问题，是导数的综合应用，难度中档10 （5 分）已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD第 6页（共 12页）【考点】MI：直线与平面所成的角菁优网版 权所有【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用【分析】设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向

16、为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设 AB=1，则 AA1=2，分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则 D（0，0，2） ，C1（1，0，0） ，B（1，1，2） ，C（1，0，2） ，=（1，1，0） ，=（1，0，2） ，=（1，0，0） ，设 =（x，y，z）为平面 BDC1的一个法向量，则，即，取 =（2，2，1） ，设 CD 与平面 BDC1所成角为，则 sin=|=，故选：

17、A【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键11 （5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，点 M（2，2） ，过点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于A，B 两点，若，则 k=（）ABCD2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，利用=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0，即可求出 k 的值【解答】解：由抛物线 C：y2=8x

18、 得焦点（2，0） ，由题意可知：斜率 k 存在，设直线 AB 为 y=k（x2） ，代入抛物线方程，得到 k2x2（4k2+8）x+4k2=0，0，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） x1+x2=4+，x1x2=4y1+y2=，y1y2=16，又=0，=（x1+2，y12）（x2+2，y22）=0k=2故选：D【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（）Ay=f（x）的图象关于（，0）中心对称BCDf（x）既是奇函数，又是周期函数第 7页（共 12页）【考点】

19、H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值菁优网版 权所有【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质【分析】根据函数图象关于某点中心对称或关于某条直线对称的公式，对 A、B 两项加以验证，可得它们都正确根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系化简，得 f（x）=2sinx（1sin2x） ，再换元：令 t=sinx，得到关于 t 的三次函数，利用导数研究此函数的单调性可得 f（x）的最大值为，故 C 不正确；根据函数周期性和奇偶性的定义加以验证，可得 D 项正确由此可得本题的答案【解答】解：对于 A，因为 f（+x）=cos（+x）sin（2+2x）=cosxsin2x，f（x）=co

20、s（x）sin（22x）=cosxsin2x，所以 f（+x）+f（x）=0，可得 y=f（x）的图象关于（，0）中心对称，故 A 正确；对于 B，因为 f（+x）=cos（+x）sin（+2x）=sinx（sin2x）=sinxsin2x，f（x）=cos（x）sin（2x）=sinxsin2x，所以 f（+x）=f（x） ，可得 y=f（x）的图象关于直线 x=对称，故 B 正确；对于 C，化简得 f（x）=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx（1sin2x） ，令 t=sinx，f（x）=g（t）=2t（1t2） ，1t1，g（t）=2t（1t2）的导数 g（t）=26t

21、2=2（1+t） （1t）当 t（1，）时或 t（，1）时 g（t）0，函数 g（t）为减函数；当 t（，）时 g（t）0，函数 g（t）为增函数因此函数 g（t）的最大值为 t=1 时或 t=时的函数值，结合 g（1）=0g（）=，可得 g（t）的最大值为由此可得 f（x）的最大值为而不是，故 C 不正确；对于 D，因为 f（x）=cos（x）sin（2x）=cosxsin2x=f（x） ，所以 f（x）是奇函数因为 f（2+x）=cos（2+x）sin（4+2x）=cosxsin2x=f（x） ，所以 2为函数的一个周期，得 f（x）为周期函数可得 f（x）既是奇函数，又是周期函数，得 D

22、正确综上所述，只有 C 项不正确故选：C【点评】本题给出三角函数式，研究函数的奇偶性、单调性和周期性着重考查了三角恒等变换公式、利用导数研究函数的单调性和函数图象的对称性等知识，属于中档题二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分.13 （5 分）已知是第三象限角，sin=，则 cot=2【考点】GG：同角三角函数间的基本关系菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值【分析】根据是第三象限的角，得到 cos小于 0，然后由 sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cos的值，进而求出 cot的值【解答】解：由是第三象限的角，得到 cos0，又 sin

23、=，所以 cos=则 cot=2故答案为：2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题学生做题时注意的范围14 （5 分）6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有480种 （用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】排列好甲、乙两人外的 4 人，然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位中即可【解答】解：6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的 4 人，有中方法，第 8页（共 12页）然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位，有种方法，所以共有：=480故答案为：4

24、80【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题15 （5 分）记不等式组所表示的平面区域为 D若直线 y=a（x+1）与 D 有公共点，则 a的取值范围是，4【考点】7C：简单线性规划菁优网版 权所有【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 y=a（x+1）中，求出 y=a（x+1）对应的a 的端点值即可【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为 y=a（x+1）过定点（1，0） 所以当 y=a（x+1）过点 B（0，4）时，得到 a=4

25、，当 y=a（x+1）过点 A（1，1）时，对应 a=又因为直线 y=a（x+1）与平面区域 D 有公共点所以a4故答案为：，4【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解16 （5 分 ）已 知圆 O 和 圆 K 是 球 O 的 大圆 和小 圆， 其 公共 弦长 等 于球 O 的 半径 ，则球 O 的表面积等于16【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论【解答】解：如图所示，设球 O 的

26、半径为 r，AB 是公共弦，OCK 是面面角根据题意得 OC=，CK=在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即r2=4球 O 的表面积等于 4r2=16故答案为 16第 9页（共 12页）【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 （10 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn已知 S3=a22，且 S1，S2，S4成等比数列，求an的通项式【考点】85：等差数列的前 n 项和；88：等比数列的通项公式菁优网版 权所有【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【

27、分析】由，结合等差数列的求和公式可求 a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差 d，即可求解通项公式【解答】解：设数列的公差为 d由得，3a2=0 或 a2=3由题意可得，若 a2=0，则可得 d2=2d2即 d=0 不符合题意若 a2=3，则可得（6d）2=（3d） （12+2d）解可得 d=0 或 d=2an=3 或 an=2n1【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题18 （12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的内角对边分别为 a，b，c，满足（a+b+c） （ab+c）=ac（）求 B（）若 sinAsinC=，求 C

28、【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】 （I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出 cosB，将关系式代入求出 cosB 的值，由 B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数；（II） 由 （I） 得到 A+C 的度数， 利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos （AC） ， 变形后将 cos （A+C）及 2sinAsinC 的值代入求出 cos（AC）的值，利用特殊角的三角函数值求出 AC 的值，与 A+C的值联立即可求出 C 的度数【解答】解： （I）（a+b+c） （ab

29、+c）=（a+c）2b2=ac，a2+c2b2=ac，cosB=，又 B 为三角形的内角，则 B=120；（II）由（I）得：A+C=60，sinAsinC=，cos（A+C）=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosCsinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2=，AC=30或 AC=30，则 C=15或 C=45【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握第 10页（共 12页）余弦定理是解本题的关键19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，ABC=BAD=90，BC=2AD，P

30、AB 与PAD 都是等边三角形（）证明：PBCD；（）求二面角 APDC 的大小【考点】LW：直线与平面垂直；M5：共线向量与共面向量菁优网版 权所有【专题】11：计算题；5G：空间角【分析】 （I）取 BC 的中点 E，连接 DE，过点 P 作 PO平面 ABCD 于 O，连接 OA、OB、OD、OE可证出四边形 ABED 是正方形，且 O 为正方形 ABED 的中心因此 OEOB，结合三垂线定理，证出 OEPB，而 OE 是BCD 的中位线，可得 OECD，因此 PBCD；（II）由（I）的结论，证出 CD平面 PBD，从而得到 CDPD取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连接 FG，

31、可得 FGCD，所以 FGPD连接 AF，可得 AFPD，因此AFG 为二面角 APDC 的平面角，连接 AG、EG，则 EGPB，可得 EGOE设 AB=2，可求出 AE、EG、AG、AF 和 FG 的长，最后在AFG 中利用余弦定理，算出AFG=arccos，即得二面角 APDC 的平面角大小【解答】解： （I）取 BC 的中点 E，连接 DE，可得四边形 ABED 是正方形过点 P 作 PO平面 ABCD，垂足为 O，连接 OA、OB、OD、OEPAB 与PAD 都是等边三角形，PA=PB=PD，可得 OA=OB=OD因此，O 是正方形 ABED 的对角线的交点，可得 OEOBPO平面

32、ABCD，得直线 OB 是直线 PB 在内的射影，OEPBBCD 中，E、O 分别为 BC、BD 的中点，OECD，可得 PBCD；（II）由（I）知 CDPO，CDPBPO、PB 是平面 PBD 内的相交直线，CD平面 PBDPD平面 PBD，CDPD取 PD 的中点 F，PC 的中点 G，连接 FG，则 FG 为PCD 有中位线，FGCD，可得 FGPD连接 AF，由PAD 是等边三角形可得 AFPD，AFG 为二面角 APDC 的平面角连接 AG、EG，则 EGPBPBOE，EGOE，设 AB=2，则 AE=2，EG=PB=1，故 AG=3在AFG 中，FG=CD=，AF=，AG=3co

33、sAFG=，得AFG=arccos，即二面角 APDC 的平面角大小是arccos【点评】本题给出特殊的四棱锥，求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小，着重考查了线面垂直的判定与性质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识，属于中档题20 （12 分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第 1局甲当裁判（）求第 4 局甲当裁判的概率；（）X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CH：离散型随机变量的期望与方差菁优网版权

34、所有【专题】5I：概率与统计第 11页（共 12页）【分析】 （I）令 A1表示第 2 局结果为甲获胜，A2表示第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负，A 表示第4 局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可（II）X 的所有可能值为 0，1，2分别求出 X 取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可【解答】解： （I）令 A1表示第 2 局结果为甲获胜A2表示第 3 局甲参加比赛时，结果为甲负A 表示第 4 局甲当裁判则 A=A1A2，P（A）=P（A1A2）=P（A1）P（A2）=；（）X 的所有可能值为 0，1，2令 A3表示第 3 局乙

35、和丙比赛时，结果为乙胜B1表示第 1 局结果为乙获胜，B2表示第 2 局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第 3 局乙参加比赛时，结果为乙负，则 P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=P（X=1）=1P（X=0）P（X=2）=从而 EX=0+1+2=【点评】本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力21 （12 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 3，直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为（I）求 a，b；（II） 设过 F2

36、的直线 l 与 C 的左、 右两支分别相交于 A、 B 两点， 且|AF1|=|BF1|， 证明： |AF2|、 |AB|、|BF2|成等比数列【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版 权所有【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】 （I）由题设，可由离心率为 3 得到参数 a，b 的关系，将双曲线的方程用参数 a 表示出来，再由直线建立方程求出参数 a 即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线 l 的方程设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将其与双曲线C 的方程联立，得出

37、 x1+x2=，再利用|AF1|=|BF1|建立关于 A，B 坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出 k 的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论【解答】解： （I）由题设知=3，即=9，故 b2=8a2所以 C 的方程为 8x2y2=8a2将 y=2 代入上式，并求得 x=，由题设知，2=，解得 a2=1所以 a=1，b=2（II）由（I）知，F1（3，0） ，F2（3，0） ，C 的方程为 8x2y2=8由题意，可设 l 的方程为 y=k（x3） ，|k|2代入并化简得（k28）x26k2x+9k2+8=0设 A

38、（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x11，x21，x1+x2=，于是|AF1|=（3x1+1） ，|BF1|=3x2+1，|AF1|=|BF1|得（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=由于|AF2|=13x1，第 12页（共 12页）|BF2|=3x21，故|AB|=|AF2|BF2|=23（x1+x2）=4，|AF2|BF2|=3（x1+x2）9x1x21=16因而|AF2|BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，

39、一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴22 （12 分）已知函数（I）若 x0 时，f（x）0，求的最小值；（II）设数列an的通项 an=1+【考点】6E：利用导数研究函数的最值；8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合菁优网版权所有【专题】16：压轴题；35：转化思想；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列【分析】 （I）由于已知函数的最大值是 0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于 0 求出参数的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取=，由于 x0 时，f

40、（x）0 得出，考察发现，若取 x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解： （I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使 x0 时，f（x）0 恒成立，则 f（x）在（0，+）上必为减函数，即在（0，+）上 f（x）0 恒成立，当0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，若 0时，由 f（x）0 解得 x，则当 0 x，f（x）0，所以当 0 x时，f（x）0，此时不合题意，若，则当 x0 时，f（x）0 恒成立，此时 f（x）在（0，+）上必为减函数，所以当 x0时，f（x）0恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为（ II）令=，由（I）知，当 x0 时，f（x）0，即取 x=，则于是 a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【点评】 本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度