2.3 牛顿迭代法.ppt

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1、 用迭代法可逐步精确方程用迭代法可逐步精确方程 根的近根的近似值，但必须要找到似值，但必须要找到 的等价方程的等价方程 ,如果如果 选得不合适选得不合适,不仅影响收敛速度不仅影响收敛速度,而且有而且有可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法可能造成迭代格式发散。能否找到一种迭代方法,结构简单结构简单,收敛速度快。这就是本节要介绍的牛顿收敛速度快。这就是本节要介绍的牛顿迭代法。迭代法。2.3 牛顿迭代法牛顿迭代法 计算方法计算方法计算方法计算方法取取x0 0作为初始近似值作为初始近似值，将将f(x)在在x0 0做做TaylorTaylor展开展开:重复上述过程重复上述过程 作为第一次近似值作为

2、第一次近似值一、一、牛顿迭代法牛顿迭代法基本思想：将非线性方程基本思想：将非线性方程f(x)=0 线性化线性化Newton迭代公式迭代公式计算方法计算方法二、牛顿法的几何意义二、牛顿法的几何意义xyx*x0 x 1x 2牛顿法也称为切线法牛顿法也称为切线法计算方法计算方法牛顿迭代法（单击播放）牛顿迭代法（单击播放）计算方法计算方法（局部收敛性定理局部收敛性定理）设）设 f(x)C2a,b，若，若 x*为为 f(x)在在a,b上的根上的根,且且 f (x*)0，则存在，则存在 x*的的邻域邻域 使得任取初始值使得任取初始值 ，Newton 法产生的序列法产生的序列 xk 收敛到收敛到 x*，且满

3、足，且满足至少平方收敛至少平方收敛三、牛顿法的收敛性与收敛速度三、牛顿法的收敛性与收敛速度计算方法计算方法在在x*的附近收敛的附近收敛证明：证明：Newton法实际上是一种特殊的迭代法法实际上是一种特殊的迭代法计算方法计算方法由由Taylor 展开：展开：令令k ，由由 f (x*)0，即可得结论。，即可得结论。计算方法计算方法有根有根根唯一根唯一全局收敛性定理全局收敛性定理(定理定理3.3.1)3.3.1)：设：设 f(x)C2a,b，若，若（1 1）f(a)f(b)0；则由则由Newton法产生的序列法产生的序列 xk 单调地收敛到单调地收敛到f(x)=0 在在 a,b 的唯一根的唯一根x

4、*,且收敛速度至少是二阶且收敛速度至少是二阶的。的。计算方法计算方法证明：证明：证明：证明：以以为例证明为例证明将将f(x*)在在 xk 处作处作Taylor展开展开计算方法计算方法对迭代公式两边取极限，对迭代公式两边取极限，得得 说明数列说明数列xk有下界有下界故故xk单调递减单调递减,从而从而xk收敛收敛.令令？计算方法计算方法 例例1 1 用用Newton迭代法求方程迭代法求方程xex-1=0在在0.5附近附近的根的根,精度要求精度要求=10=10-5-5.解解 Newton迭代格式为迭代格式为kxk(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000计算方法计算方法例例2 2 解：设解：设取取则由则由Newton迭代公式迭代公式用用 Newton 迭代法求迭代法求计算方法计算方法牛牛顿顿迭迭代代法法的的算算法法实实现现