空间解析几何与向量代数(3).ppt

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1、空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数7-3.曲面及其方程曲面及其方程在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三元一次方程.反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.如果平面 的方程是(1)，其含义是平面 上任意动点(x,y,z)都是(1)的解.而(1)的每一组解也对应于 上某一点.(1)定义定义1：设空间曲面S.及三元方程 F(x,y,z)=0.如果 S 上任一点 M(x,y,z).其坐标 x,y,z 都满足 F(x,y,z)=0.反之，F(x,y,z)=0的任一解(x,y,z)对应的空间点(x,y,z)也在S上.则称F(x,y,z)=0为 S的方程.而 S 则称为 F(x,y

2、,z)=0的图形.一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念例例1.建立球心在 M0(x0,y0,z0),半径为R 的球面的方程.解：解：M0R0 xyzM根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R.即|M0M|=R.设M点坐标为(x,y,z)，则根据两点间距离计算公式或(2)反之,任取(x,y,z)满足(2).则M(x,y,z)到M0的距离为R.故(x,y,z)在球面上.因此(2)即为所求球面的方程.特例特例:x0=y0=z0=0.则(2)变为 x2+y2+z2=R2.(3)(3)表示中心在原点，半径为R的球面方程.解：解：xyf(y,z)=0z例例2.设 yz

3、 平面有一已知曲线C，它的方程为 f(y,z)=0.将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面.求此旋转面的方程。M1Mdd1设旋转面上任一点 M(x,y,z),于M作垂直于z轴的平面在 yz 平面上 与 z 轴交于M2(0,0,z2).与平面曲线 f(y,z)=0交于 M1(x1,y1,z1),M2 则x1=0,z1=z2=z,从而y1满足 f(y1,z1)=f(y1,z)=0.由旋转性质 d=d1=|y1|故故得反之，若空间点(x,y,z)满足(4)，也可推知(x,y,z)在旋转面上，即(4)为所求.(4)其它情形：平面曲线 f(y,z)绕 y 轴所成旋转面之方程.平面曲线 f(x,y)绕 x 轴

4、所成旋转面之方程几种重要曲面几种重要曲面1.1.圆锥面圆锥面 设过原点直线 l 绕另一直线(比如 z轴)旋转，旋转而成曲面称为圆锥面.称为圆锥面的半顶角.0 xyzl其中 l 称为母线.z轴为中心轴.l与旋转轴夹角.0 xyzl同前例，任取圆锥面上一点 M(x,y,z)由几何性质故即得曲面方程MM2M1过 M 作垂直于 z 轴的平面.则交 z 轴于 M2(0,0,z)，交 yz平面于M1.2.2.圆柱面圆柱面两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为圆柱面.如图设直线 l 绕 z 轴旋转.柱面上任意点M(x,y,z).过 M 作垂直于z轴平面交 z 轴于M1(x1,y1,z1).则(x

5、1,y1,z1)=(0,0,z).xyz0MM1l则|M1M|=定长=R.3 3、二次曲面、二次曲面、二次曲面、二次曲面下面接着介绍空间二次曲面的典型类型.一般地，称A11x2+A22y2+A33z2+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0为三维空间R3中的二次曲面方程.我们仅讨论几类典型情况.1.1.椭球面椭球面(a,b,c均大于0).易知，|x|a,|y|b,|z|c,为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面z=z0(|z0|c)截曲面，得到截线方程为z=0.因从而当截线是平面 z=z0上一椭圆，同理，以平面x=x0(|x0|a)和平面y=y0(|y0

6、|b)截椭球面所得截线与上述情况类似，因此，椭球面的形状如图zxy0 而当|z0|=c时，截线退缩成一点(0,0,z0).若a=b，由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转椭球面.若a=b=c，方程变为它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面.方程变为 x2+y2+z2=a2,2.2.椭圆抛物面椭圆抛物面不妨设 p,q 均大于0，以平行于 xy 面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物面，所得截线方程为椭圆以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为抛物线同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得截线是平面 x=x0 上的一条抛物线

7、.特例：特例：若p,q均小于0，则椭圆抛物面的开口朝下.若p=q,方程变为它是由 xz 面上曲线绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面.若p,q均大于0，则椭圆抛物面的开口朝上.xzy3.3.双曲抛物面双曲抛物面zxy4.4.单叶双曲面单叶双曲面(a,b,c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为 椭圆以平行于xz面的平面 y=y0截曲面，所得截线方程为双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：双曲线5.5.双叶双曲面双叶双曲面(a,b,c均大于0)以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为 双曲线以平行于xz面的平面 y

8、=y0截曲面，所得截线方程为双曲线以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：双曲线0zxy第四节、空间曲线及其方程第四节、空间曲线及其方程第四节、空间曲线及其方程第四节、空间曲线及其方程空间曲线：两空间曲面的交线.其方程可描述为F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0.交面式方程或一般方程例例1.x2+y2=1 x+y+z=2.表示圆柱面与平面的交线.另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线.x=x(t),y=y(t),z=z(t).yxz0例例2.若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上

9、升(其中,v都是常数).则点M构成的图形为螺旋线.试建立其方程.设时间 t 为参数.初始时刻(t=0)，动点在A(a,0,0)处，经时刻 t,动点运动到M(x,y,z).zxy0解解:AMzxy0AM作 M 在 xy 平面的投影.投影点为M，其坐标为(x,y,0).由题意 z=|MM|=vt,=a sin t.x=|OM|cos t,y=|OM|sin t参数方程 x=acos t,y=asin t,z=vt.M 在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影.下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影.设空间曲线F1(x,y,z)=0,F2(x,y,z)=0,(5)消去 z，得

10、H(x,y)=0.(6)曲面(6)可视为平行于 z 轴的柱面.C:C0 xyz若点 M(x,y,z)满足(5)，则(x,y)满足(6).故 C 上的点均在柱面(6)上.即 C 是柱面(6)上的一条曲线.故 C 在 xy 平面的投影为H(x,y)=0 z=0(7)(7)即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程.投影方程例例3.求例4中螺旋线在 xy 平面上的投影.解解：由参数方程，即得 x2+y2=a2(消去了z).故投影方程为z=0.x2+y2=a2,例例4.求球面 x2+y2+z2=1.和x2+(y1)2+(z1)2=1的交线在 xy 面上的投影方程.解解：交线方程为 x2+y2+z2=1 x2+(y1)2+(z1)2=1.zxy投影方程：x2+2y22y=0，z=0.两式相减：2y+2z=2.即 z=1y.代入第一个方程.x2+y2+(1y)2=1,x2+2y22y=0.