74牛顿迭代法.ppt

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1、7.4 牛顿迭代法标准Newton迭代法及其收敛阶如果将非线性方程令化为等价方程如果令即则华长生制作2于是取-(1)-(2)(2)式称为Newton迭代法由前面分析可知有Newton迭代法至少平方收敛局部收敛性华长生制作3 对牛顿法可作如下的对牛顿法可作如下的几何解释：几何解释：为函数为函数f(x)在点在点 处的切线与处的切线与横坐标轴的交点横坐标轴的交点,见图见图.因此因此Newton迭代法也称迭代法也称为切线法为切线法.Y 0y=f(x)X华长生制作4例1.用Newton迭代法求方程的根:解:由Newton迭代法x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3

2、=0.3472963532x4=0.3472963553迭代四次精度达10-8 Newtonddf.m华长生制作5定理定理2 给定方程给定方程f(x)=0且且 ，如果满，如果满足条件：足条件：（1）（2）（3）则由牛顿迭代法产生的序列则由牛顿迭代法产生的序列 收敛于方程的惟收敛于方程的惟一实根一实根 ，且有，且有以上讨论的是以上讨论的是Newton法的局部收敛性。对于某些非线法的局部收敛性。对于某些非线性方程，性方程，Newton法具有全局收敛性。法具有全局收敛性。华长生制作6定理定理3 设 在a,b上连续，且则对 牛顿迭代序列 收敛于方程f(x)=0在a,b内的唯一实根 初始值的选取可更一般

3、化。华长生制作7例例 设设a0,对方程对方程 -a=0试证试证:取任何初值取任何初值 0，Newton迭代法都收敛到算术根迭代法都收敛到算术根 。由此可知由此可知证证 对对f(x)=-a,Newton迭代法为迭代法为可见可见,对于任何对于任何 0,都有都有 ,并且并且 非增非增.因此因此 是有下界的非增序列是有下界的非增序列,从而有惟一极限从而有惟一极限x*.在在 内内 故对任何故对任何 有有迭代序列迭代序列 都平方收敛于都平方收敛于 即即x*=。华长生制作8故有且对于Newton迭代法趋于零Newton迭代法也可能只是线性收敛此时Newton迭代法可能不收敛华长生制作9华长生制作10从而，从

4、而，时只要时只要 ，这时的，这时的Newton迭迭代法线性收敛。代法线性收敛。为了改善重根时为了改善重根时Newton法的收敛性，有如下两种方法的收敛性，有如下两种方法。法。若改为取若改为取容易验证容易验证 ，故此时迭代法至少二阶收敛，故此时迭代法至少二阶收敛.另一方案是令另一方案是令,由由x*是是f(x)的的m重零点，重零点，有有华长生制作11这种方法也是至少二阶收敛的。这种方法也是至少二阶收敛的。迭代式为迭代式为所以，所以，x*是是 的单零点的单零点.可将可将Newton法的迭代函数修改为法的迭代函数修改为华长生制作12解解(1)用用Newton法有法有例例 方程方程 的根的根 是二重根是

5、二重根.用三用三种方法求解种方法求解.(2)m=2修改的牛顿迭代公式为修改的牛顿迭代公式为(3)另一修改的方法，迭代公式化简为另一修改的方法，迭代公式化简为华长生制作13 三种方法均取三种方法均取 =1.5,计算结果列于下表计算结果列于下表.方法（方法（2）和方）和方法法(3)都是二阶方法，都是二阶方法，都达到了误差限为都达到了误差限为 的精确度的精确度,而普而普通的通的Newton法是一阶的法是一阶的,要近要近30次迭代才有相同精度的结果次迭代才有相同精度的结果.Xk X0 X1 X2 X3方法(1)1.5 1.458333333 1.436607143 1.425497619方法(2)1.

6、5 1.416666667 1.414215686 1.414213562方法(3)1.5 1.411764706 1.414211438 1.414213562华长生制作14-(15)这种方法称为Newton下山法，牛顿下山法牛顿下山法华长生制作15例.解:1.先用Newton迭代法x4=9.70724 x5=6.54091 x6=4.46497 x7=3.13384 x8=2.32607 x9=1.90230 x10=1.75248x11=1.73240 x12=1.73205x13=1.73205迭代13次才达到精度要求Newtonddf.m华长生制作162.用Newton下山法,结果如

7、下k=0 x0=-0.99 fx0=0.666567k=1 x1=32.505829 f(x)=11416.4 w=0.5 x1=15.757915 f(x)=1288.5 w=0.25 x1=7.383958 f(x)=126.8 w=0.125 x1=3.196979 f(x)=7.69 w=0.0625 x1=1.103489 f(x)=-0.655k=2 x2=4.115071 f(x)=19.1 w=0.5 x2=2.60928 f(x)=3.31 w=0.25 x2=1.85638 f(x)=0.27k=3 x3=1.74352 f(x)=0.023k=4 x4=1.73216 f(x)=0.00024k=5 x5=1.73205 f(x)=0.00000k=6 x6=1.73205 f(x)=0.000000华长生制作17