D1_3 连续函数.ppt

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1、高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期几个常用的等价无穷小量高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期 第一章 第三节连续函数连续函数一、连续函数的概念与基本性质一、连续函数的概念与基本性质二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期函数连续性的定义函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态函数的连续性描述函数的渐变性态,在通常意义下，对函数连续性有三种在通常意义下，对

2、函数连续性有三种描述：描述：当自变量有微小变化时，因变量的当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；变化也是微小的；自变量的微小变化不会引起因变量的自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；跳变；连续函数的图形可以一笔画成连续函数的图形可以一笔画成,不断开不断开.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例如：例如：高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年

3、第一学期定义定义1.14:在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义,则称则称函数函数f(x)在在x0处连续处连续设函数设函数 y=f(x)如果如果1 连续与间断连续与间断高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期注意注意1 函数函数 y=f(x)在在x0处连续蕴含以下处连续蕴含以下三个条件，缺一不可三个条件，缺一不可:(1)f(x)在点在点x0即即 f(x0)存在；存在；(2)极限极限(3)存在存在;有定义有定义,以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性.注意注意2函数函数 y=f(x)在在x0处连续意味着极限

4、处连续意味着极限运算与函数可以交换顺序运算与函数可以交换顺序.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期左连续左连续定义定义(f(x)在在x0处处左左连续、连续、右右连续连续)右连续右连续定理定理 f(x)在在 x0 处连续处连续f(x)在在 x0处即左连续又右连续处即左连续又右连续.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期定义定义1.15：(函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性)高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期函数的间断点函数的间断点(1)函数函数f(x)在

5、点在点x0(2)函数函数f(x)在点在点x0不不存在存在;(3)函数函数f(x)在点在点x0存在存在,但但 不连续不连续:设设f(x)在点在点x0的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义,则下列情形则下列情形这样的点这样的点之一函数之一函数 f(x)在点在点x0虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且称为称为间断点间断点.无定义无定义;高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期间断点的分类间断点的分类根据间断点的不同情况，可以分为二类：根据间断点的不同情况，可以分为二类：可去型间断点可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断可去型间断不是本质性的间断,

6、可以重新可以重新定义定义,使其连续使其连续.(1).第一类间断点第一类间断点高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例如例如高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期跳跃间断点跳跃间断点例例 符号函数符号函数 高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期(2).第二类间断点第二类间断点例例第二类间断点有第二类间断点有无穷型间断无穷型间断和和震荡型间断震荡型间断为振荡间断点为振荡间断点.为无穷间断点为无穷间断点.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一

7、学期学年第一学期高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期n同济同济P.64.如图如图高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.仅在仅在x=0处连续处连续,其余各点处处间断其余各点处处间断.注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期2 连续函数的基本性质连续函数的基本性质定理定

8、理1.23：高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期定理定理1.24 （反函数的连续性）（反函数的连续性）高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期定理定理1.25 （复合函数的连续性）（复合函数的连续性）设函数设函数于是于是故故复合函数复合函数在点在点x0连续连续,且且函数函数y=f(u)在点在点u0连续，即连续，即在点在点x0连续连续高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例如例如是由连续函数链是由连续函数链因此因此在在上连续上连续.复合而成复合而成,高等数学高等数学

9、 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期3 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理1.26 基本初等函数在其定义域上是连续的基本初等函数在其定义域上是连续的基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在一切初等函数在定义区间定义区间内连续内连续定理定理1.27 初等函数在其定义区间上是连续的初等函数在其定义区间上是连续的的的连续区间为连续区间为的的连续区间为连续区间为的的定义域为定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而例如例如,高等数学高等数学 土木土木1

10、13、114 20112012学年第一学期学年第一学期注意注意 1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;例如例如,在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法函数在区间函数在区间1,+)上连续上连续高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例例1 求求解解它的一个定义区间是它的一个定义区间是是初等函数是初等函数高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例例2.求求解解:原式原式说明说明

11、:若若则有则有高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例例3解解故当且仅当故当且仅当a=1时时，f(x)在在x=0处连续处连续.当当a取何值时，函数取何值时，函数在在x=0处连续处连续.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期解解例例4 讨论下列函数的连续性讨论下列函数的连续性高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习1.讨论函数讨论函数x=2 是第二类无穷间断点是第二类无穷

12、间断点.间断点的类型间断点的类型.答案答案:x=1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点,高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期课堂练习课堂练习2.设设时时提示提示:f(x)为连续函数为连续函数.0高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期3.求求课堂练习课堂练习4.求求5.求求高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期6设函数设函数在在 x=0 连续连续,则则 a=,b=.解解:考研题考研题高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学

13、期注意注意:若函数在若函数在开区间开区间上连续上连续,或在闭区间内有或在闭区间内有 间断点，结论不一定成立间断点，结论不一定成立3 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1.28 在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上连续的函数在该区间 上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值即即:设设则则使使高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例如例如,无无最大值和最小值最大值和最小值 也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期推论推论:由由定理定理 1 可

14、知有可知有证证:设设上上有界有界.在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期定理定理2.(零点定理零点定理)设函数设函数f(x)在在 a,b 上上至少有一点至少有一点连续且连续且使使高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期定理定理1.30(介值定理介值定理)且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,至少有一点至少有一点证证:作辅助函数作辅助函数则则且且故由故由零点定理知零点定理知,至少有一点至少有一点使使即即使使设函数设函数f(

15、x)在在a,b上连续上连续函数函数 在在a,b上连续上连续,高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期f(x)推论推论:在闭区间上的在闭区间上的连续函数连续函数必取必取得介于最小值得介于最小值与最大值之间与最大值之间的任何值的任何值高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期例例1.证明方程证明方程证证:显然显然又又故据零点定理故据零点定理,至少存在一点至少存在一点使使即即在区间在区间(0,1)内至少有一个根内至少有一个根.在在0,1上连续上连续高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学

16、年第一学期设函数设函数 f(x)在区间在区间a,b 上连续，且上连续，且f(a)b，例例2证证由零点定理由零点定理证明证明则则上连续上连续高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期证证例例3.证明至少存在一点证明至少存在一点使使设设而而当当由零点定理由零点定理P62 习题习题18 高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期证证例例3.证明至少存在一点证明至少存在一点使使设设P62 习题习题18 当当时，时，则则 x=0,a 使使综合得综合得使使高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学

17、年第一学期辅助函数的作法辅助函数的作法（1）将结论中的）将结论中的(或或x0或或c)改写成改写成 x（2）移项使右边为）移项使右边为0，令左边的式子为，令左边的式子为F(x),对对F(x)用定理用定理高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期1 设设 求证求证 在区间在区间(0,2)内至少有一点内至少有一点 x0,使使 思考与练习思考与练习提示提示:作辅助函数作辅助函数 F(x)=高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期至少有一个不超过至少有一个不超过 4 的正根的正根证：证：2 证明证明令令且且根据零点定理根据零点定理,原命题得证原命题得证.内至少存在一点内至少存在一点在开区间在开区间(0,4)显然显然 f(x)在闭区间在闭区间0,4上连续上连续高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期3 设设证证根据最大最小值定理根据最大最小值定理至少存在一点至少存在一点高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期高等数学高等数学 土木土木113、114 20112012学年第一学期学年第一学期作业作业P60 习题习题1.3 1(5)(6)4 14