四、保留非线性潮流算法.ppt

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1、电力系统稳态分析电力系统稳态分析四四 保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析0.引言n更加精确的数学模型更加精确的数学模型n考虑泰勒级数高阶项考虑泰勒级数高阶项n保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法n泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项项n极坐标形式极坐标形式n直角坐标直角坐标 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析1.保留非线性快速潮流算法1.1 1.1 数学模型数学模型 采用直角坐标形式的潮流方程为采用直角坐标形式的潮流方程为 采用直角坐标，潮流问题实际上就是求解一个不含采用直角坐标，潮流问

2、题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。变量一次项的二次代数方程组。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析对模型的几点说明n泰勒展开的二阶项系数已经是常数泰勒展开的二阶项系数已经是常数n取泰勒展开的三项将得到无截断误差的精确展开取泰勒展开的三项将得到无截断误差的精确展开式式n从理论上，取初值后，如能从展开式求解修正量，从理论上，取初值后，如能从展开式求解修正量，则一步便可以求得方程的解。则一步便可以求得方程的解。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析奇次二次方程表示的潮流方程（1）n定义如下：定义如下：n n维未知变量向量维未知变量向量 xx1,x2,x n

3、 T n n维函数向量维函数向量 y(x)y1(x),y2(x),y n(x)T n n维函数给定值向量维函数给定值向量 y sy1s,y2s,y nsTn一个具有一个具有n n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为 y i(x)(a11)ix1x1+(a12)ix1x2+(a1n)ix1xn +(a21)ix2x1+(a22)ix2x2+(a2n)ix2xn +(an1)ixnx1+(an2)ixnx2+(ann)ixnxn(41)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析奇次二次方程表示的潮流方程（2）n于是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式于

4、是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式n或或(42)(43)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析奇次二次方程表示的潮流方程（3）n系数矩阵为：系数矩阵为：(44)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析1.2 泰勒级数展开式 对式对式(4-1)(4-1)在初值在初值x(0)(0)附近展开，可得如下附近展开，可得如下没有截断误差没有截断误差的精确展开式的精确展开式:(45)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（2）于是与式（于是与式（4 42 2）对应的精确的泰勒展开式为：）对应的精确的泰勒展开式为：式中：xx-x(0)x1,x2,x n T

5、为修正量向量。(46)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（3）式中：式中：(47)J J 即即雅可比矩阵雅可比矩阵 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（4）nH H是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。(48)n式式(4-6)(4-6)略去第三项，就成通常的略去第三项，就成通常的牛顿法牛顿法展开式展开式 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n式式(4-6)(4-6)第三相相当复杂，以下将证明可将（第三相相当复杂，以下将证明可将（4 46 6）写成：）写成：ysy(x(0)Jx

6、y(x)泰勒级数展开式（5）(49)(46)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（6）n将将xi写成写成xixi(0)xi，于是，于是 xixj(xi(0)xi)(xj(0)xj)xi(0)xj(0)xi(0)xjxj(0)xixi xjn将上式代入将上式代入(4-2)(4-2)，则在在x(0)(0)附近附近,式式(4-2)(4-2)除了可用除了可用泰勒展开式表示外，泰勒展开式表示外，还可以写成下面的形式可以写成下面的形式n证明证明:(410)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（7）(411)n式式(4-11)(4-11)和式（和式

7、（4 46 6）应当完全等价，）应当完全等价，下面证明：下面证明：东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（8）(411)n首先首先，看出，看出(4-11)(4-11)中第一项，根据（中第一项，根据（4 42 2），就），就是式（是式（4 46 6）第一项）第一项(46)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（9）(411)n其次其次，(4-11)(4-11)中第二、三项，与式（中第二、三项，与式（4 46 6）第二）第二项完全对应项完全对应(46)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式第二项n因因为为式式（4

8、46 6）第第二二项项展展开开后后是是向向量量函函数数y(x)在在x=x(0)处处的的全微分全微分。n而（而（4 42 2）式右端变量列向量中任一元素的全微分）式右端变量列向量中任一元素的全微分 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式第二项（续）于于是是，根根据据式式（4 42 2），y(x)在在x=x(0)处处的的全全微微分分也也可可以以表表示为：示为：n此此式式即即是是（4 41111）第第二二、三三项项和和。所所以以，与与（4 46 6）式第二项相等。）式第二项相等。得证。得证。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（10）(411

9、)n所以所以，(4-11)(4-11)中第四项，必然与式（中第四项，必然与式（4 46 6）第三）第三项相等。项相等。根据式（根据式（4 42 2），），(4-11)(4-11)中第四项中第四项完全可以写成完全可以写成y(x)形式形式(46)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 泰勒级数展开式（11）(311)n(4-11)(4-11)中第四项完全可以写成中第四项完全可以写成y(x)形式形式n最终，证明了式（最终，证明了式（4-9)4-9)，构成了算法的突破，构成了算法的突破 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 1.3 数值计算迭代公式（1）n式(4-9)是一个以

10、x作为变量的二次代数方程组，求解满足该式的x仍要采用迭代的方法。式(4-9)可改写成 xJ-1y(x(0)ysy(x)n于是算法具体迭代公式为 x(k+1)J-1y(x(0)ysy(x(k)式中：k表示迭代次数；J为按xx(0)估计而得。(412)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 数值计算迭代公式（2）n n算法的收算法的收敛敛判据判据为为n n也可采用相继二次迭代的二阶项之差作为收敛判也可采用相继二次迭代的二阶项之差作为收敛判据据(更合理更合理)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析保留非线性快速潮流算法框图 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析

11、1.4 算法特点及性能估计n n牛顿法迭代公式牛顿法迭代公式n n保留非线性算法保留非线性算法(413)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 算法特点及性能估计（续1）n n保留非线性：保留非线性：zz恒定雅可比矩阵，只需一次形成，并由三角分解构成恒定雅可比矩阵，只需一次形成，并由三角分解构成因子表因子表zz x x(k(k)是相是相对对于始于始终终不不变变的初始估计值的初始估计值x x(0)(0)的修正量的修正量zz达到收敛所需迭代次数多，收敛特性为直线但总计算达到收敛所需迭代次数多，收敛特性为直线但总计算速度较快速度较快n n牛牛顿顿法：法：zz每次重新形成因子表每次重新形成

12、因子表zz x x(k(k)是相是相对对于上一次迭代所得到的迭代点于上一次迭代所得到的迭代点x x(k(k)的修正量的修正量 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析牛顿迭代法与保留非线性迭代法迭代比较 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n n后面对通用迭代格式的分析将说明：后面对通用迭代格式的分析将说明：n nB-BB-B1 1等于等于 f(x(1)(1)=)=f(x(0)(0)x(1)(1)(4-14)(4-14)也就是也就是H(x(1)(1),),也是也是y(x(1)(1)n nC-C1C-C1等于等于 f(x(2)(2)=)=f(x(0)(0)x(2)(2)H

13、(x(2)(2)f(x(0)(0)x(1)(1)f(x(0)(0)x(2)(2)(4-15)(4-15)A A1 1A A2 2+A+A2 2A A3 3 A A1 1A A3 3 y(x(2)(2)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n n设所要求解的非线性代数方程组为设所要求解的非线性代数方程组为f(x)0 0，对，对f(x)的性质无限制，则它的泰勒级数展开式可写成的性质无限制，则它的泰勒级数展开式可写成f(x(0)(0)f(x(0)(0)xH(x)=)=0 式中：式中：H(x)为为泰勒展开式泰勒展开式非非线线性性总项总项。n n迭代公式迭代公式：f(x(0)(0)x(k+1

14、)(k+1)=f(x(0)(0)H(x(k(k)n n求解关求解关键键在于求解在于求解H(x)，利用迭代，利用迭代过过程程进进行行 1.5 具有更广泛意义的通用迭代公式(417)(416)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 通用迭代公式推导n第一次迭代：k0，取x(0)0,0,于是H(x(0)0，因此 f(x(0)x(1)f(x(0)n n第二次迭代：第二次迭代：k1 1，由迭代公式得，由迭代公式得 f(x(0)(0)x(2)(2)f(x(0)(0)H(x(1)(1)根据泰勒公式有根据泰勒公式有 f(x(0)(0)x(1)(1)f(x(0)(0)f(x(0)(0)x(1)(1)

15、+H(x(1)(1)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 通用迭代公式推导(续一)所以，根据泰勒展开式，第二次迭代后，有：f(x(0)(0)x(1)(1)H(x(1)(1)式中：H(x)为泰勒展开式非线性总项。第二次迭代公式第二次迭代公式 f(x(0)(0)x(2)(2)f(x(0)(0)f(x(0)(0)x(1)(1)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析通用迭代公式推导(续二)n n第三次迭代：第三次迭代：k2 2，由迭代公式得，由迭代公式得 f(x(0)(0)x(3)(3)f(x(0)(0)H(x(2)(2)根据泰勒公式有根据泰勒公式有 f(x(0)(0)x(2

16、)(2)f(x(0)(0)f(x(0)(0)x(2)(2)+H(x(2)(2)将第二次迭代公式将第二次迭代公式带带入上式，以求得入上式，以求得H(x(2)(2)：f(x(0)(0)x(2(2)f(x(0)(0)f(x(0)(0)x(1)(1)得到：得到：H(x(2)(2)f(x(0)(0)x(1)(1)f(x(0)(0)x(2)(2)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析通用迭代公式推导(续三)n n从而，第三次迭代公式从而，第三次迭代公式 f(x(0)(0)x(3(3)f(x(0)(0)f(x(0)(0)x(1)(1)f(x(0)(0)x(2)(2)以此类推以此类推 第第k k次

17、迭代公式次迭代公式 f(x(0)(0)x(k(k)f(x(0)(0)H(x(K-1)(K-1)其中非其中非线线性性总项为总项为：东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析推广的IW-TA算法n n通用迭代格式：通用迭代格式：n n上式不受所求解非线性方程式上式不受所求解非线性方程式f f(x x)0 0的数学性质以及所的数学性质以及所选用的坐标形式的限制。选用的坐标形式的限制。(418)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 1.6 与定雅可比牛顿法的关系n n定雅可比牛顿法定雅可比牛顿法:用用由变量初始值计算得到的不变不变的雅可比矩阵进行整个迭代过程计算。的雅可比矩阵进行

18、整个迭代过程计算。n n对于推广了的对于推广了的IW-TAIW-TA算法，只要初始值相同，并且算法，只要初始值相同，并且第一次迭代时不计非线性项，则随后的每一步迭代中，将得到完全重合的中间迭代点，从而最后结果也相同。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析证明两法迭代过程一致n n设定雅可比牛顿法（下称第一法）的变量用设定雅可比牛顿法（下称第一法）的变量用x x表示，而保表示，而保留非线性快速潮流算法（下称第二法）的变量用留非线性快速潮流算法（下称第二法）的变量用x x表示表示n n第一法所用的迭代公式为第一法所用的迭代公式为n n第二法所用的迭代公式为第二法所用的迭代公式为 东南大

19、学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析两法迭代过程第一步 设从同一个初始值起算：设从同一个初始值起算：x x(0)(0)=x=x(0)(0)n n第一步：第一步：k k0 0 第一法第一法 J J x x(0)(0)=f f(x x(0)(0)第二法第二法 J J x x(1)(1)=f f(x(x(0)(0)由于假定由于假定x x(0)(0)=x=x(0)(0)，所以，所以 x x(0)(0)x x(1)(1)则则 x x(1)(1)x x(0)(0)x x(0)(0)x x(0)(0)x x(1)(1)x x(1)(1)所以由两种方法从同一个起点求得的第一个迭代所以由两种方法从同一个

20、起点求得的第一个迭代点是同一点。点是同一点。(a1)(a3)(a2)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析两法迭代过程第二步，类推得证n n第二步：第二步：k k1 1 第一法第一法 J J x x(1)(1)=f f(x x(1)(1)第二法第二法 J J x x(2)(2)=f f(x(x(0)(0)f f(x(x(0)(0)x x(1)(1)式式(a-5)(a-5)与与(a-2)(a-2)相减得相减得 J J(x x(2)(2)x x(1)(1)=)=f f(x(x(0)(0)x x(1)(1)f f(x(x(1)(1)f f(x x(1)(1)比较上式和比较上式和(a-4)

21、(a-4)得得 x x(1)(1)x x(2)(2)x x(1)(1)于是，由上式和式于是，由上式和式(a-3)(a-3)，可得，可得 x x(2)(2)x x(1)(1)x x(1)(1)x x(1)(1)(x x(2)(2)x x(1)(1)(x(x(0)(0)x x(1)(1)(x x(2)(2)x x(1)(1)x x(0)(0)x x(2)(2)x x(2)(2)(a4)(a5)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析图示说明等J 牛顿法,保留非线性法 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析2、直角坐标形式包括二阶项的快速潮流算法n n保留非线性快速潮流算法比牛

22、顿法优越保留非线性快速潮流算法比牛顿法优越n n但与快速解耦法相比但与快速解耦法相比zz从计算速度稍慢从计算速度稍慢zz内存相差太大内存相差太大n n一种采用直角坐标的包括二阶项的算法一种采用直角坐标的包括二阶项的算法 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析2.1数学模型n n采用直角坐标的潮流方程作为数学模型 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析仅有一个平衡节点的情况n n首先讨论当电力系统中除了一个平衡节点外，其余节点均属PQ 节点的情况。n n首先，改造导纳矩阵的对角元首先，改造导纳矩阵的对角元。将各节点的对地。将各节点的对地并联支路从对角元分离，并作为节点的一

23、个恒定并联支路从对角元分离，并作为节点的一个恒定阻抗来处理。对地支路有：阻抗来处理。对地支路有：变压器等值电路对地支路变压器等值电路对地支路线路充电电容线路充电电容并联电容器及并联电抗器并联电容器及并联电抗器 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n n导纳矩阵的对角元变成：导纳矩阵的对角元变成：(419)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析改写功率方程n n新的节点功率方程如下，其中新的节点功率方程如下，其中g gi0i0、b bi0i0分别表示总分别表示总对地支路电导及电纳。对地支路电导及电纳。G Gii ii、B Bii ii分别按分别按(4-19)(4-19)

24、计算。计算。(420)(421)第一步第一步 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析无截断误差的精确公式n n对对(4-20)(4-21)(4-20)(4-21)右端项记为右端项记为 P Pi i(e，f)、Q Qi i(e，f)n n并在给定的电压初值附近展开成泰勒级数并在给定的电压初值附近展开成泰勒级数(422)(423)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析进一步简化n n其次，将所有节点电压的初值都取为平衡节点的其次，将所有节点电压的初值都取为平衡节点的电压。电压。可进一步简化计算。可进一步简化计算。将这个关系代入式将这个关系代入式4-204-20、4-214-

25、21的右端项，并考虑的右端项，并考虑到导纳对角元的变化，得：到导纳对角元的变化，得：(424)(425)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n n至此，至此，(4-20)(4-21)(4-20)(4-21)可以写成：可以写成：(426)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析n n根据导纳矩阵对角元及电压初值选取，得上式中根据导纳矩阵对角元及电压初值选取，得上式中有关元素有关元素(427)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析 (4-26)(4-26)写成：写成：定义：定义：有：有：(428)(429)(430)第三步第三步第二步n n提醒：这里的雅可比矩提

26、醒：这里的雅可比矩阵已经是一个阵已经是一个常数对称阵常数对称阵 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析如何求二阶项SPi,SQin n继续利用泰勒级数二阶项与一阶项有相似形式的继续利用泰勒级数二阶项与一阶项有相似形式的公式公式(4(49)9)。n n展开式（展开式（4 43030）有下式：）有下式：(431)(432)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析SPi,SQi迭代格式带入（带入（4 43131）中。于是（）中。于是（4 43131）变成：）变成：(433)(434)写成迭代格式：写成迭代格式：第二步 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析一个平衡节

27、点其余为PQ节点的计算步骤n n所有节点除平衡节点外全部属于所有节点除平衡节点外全部属于PQPQ节点节点依次用依次用 迭代迭代 参见第一步、第二步、第三步参见第一步、第二步、第三步n n如果网络中所有节点除平衡节点外全部属于如果网络中所有节点除平衡节点外全部属于PQPQ节节点，则计算过程就是反复的以此应用上述公式进点，则计算过程就是反复的以此应用上述公式进行迭代计算，在进行第一次迭代时，置行迭代计算，在进行第一次迭代时，置sPsP(0)(0)sQsQ(0)(0)0 0。(420)(434)(421)(429)(430)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析包含PV节点的情况n n其

28、次，其次，若电力系统若电力系统n个节点除了个节点除了l个个PQPQ节点及一个平衡节点节点及一个平衡节点之外，还有之外，还有m个个PVPV节点，则对每个节点，则对每个PVPV节点，具有以下两个节点，具有以下两个有功注入及电压模值方程式。n n对对有功的处理，和，和PQPQ节点相同，但在利用节点相同，但在利用(4-33-1)(4-33-1)式求式求PVPV节点节点i的的sPi时，其中的时，其中的RQi/es要利用式要利用式(4-32)(4-32)进行计算。进行计算。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析对电压模值的处理n n对对电压模值电压模值的处理。在给定电压初值的处理。在给定电压初

29、值(U Ui i(0)(0)e es sj0j0)附近展附近展开成泰勒级数开成泰勒级数(435)式中：式中：sUsUi i为二阶项为二阶项 定义：定义：则有：则有：(436)(437)(438)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析修正方程的形式n n系统中同时存在系统中同时存在系统中同时存在系统中同时存在PVPVPVPV、PQPQPQPQ节点，假定节点，假定节点，假定节点，假定PVPVPVPV节点的编号在节点的编号在节点的编号在节点的编号在PQPQPQPQ节点节点节点节点的后面的后面的后面的后面(439)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析修正方程的形式（续）n n

30、简化：将系数矩阵除去最后的简化：将系数矩阵除去最后的简化：将系数矩阵除去最后的简化：将系数矩阵除去最后的m行及行及行及行及m列，则余下的（列，则余下的（列，则余下的（列，则余下的（2 2 2 2lm）阶矩阵）阶矩阵）阶矩阵）阶矩阵J J J Jc c c c为常数对称阵，上式改写为常数对称阵，上式改写为常数对称阵，上式改写为常数对称阵，上式改写:(440)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析修正方程的形式（续）n nJ J J Ja a a a是一个零阵，上式分解为两个子式是一个零阵，上式分解为两个子式是一个零阵，上式分解为两个子式是一个零阵，上式分解为两个子式n nJ J J

31、Jb b b b是对角为是对角为是对角为是对角为2 2 2 2的对角阵，由的对角阵，由的对角阵，由的对角阵，由4-424-424-424-42得：得：得：得：n n4-434-434-434-43代入代入代入代入4-414-414-414-41得电压修正量得电压修正量得电压修正量得电压修正量：(441)(442)(443)(444)东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析2.2算法的原理框图n n收敛判据收敛判据收敛判据收敛判据 东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析2.3算法的性能和特点总结总结总结总结：n n在收敛性方面，属于在收敛性方面，属于在收敛性方面，属于在收敛

32、性方面，属于“等斜率法等斜率法等斜率法等斜率法”的范畴，和牛顿法的平的范畴，和牛顿法的平的范畴，和牛顿法的平的范畴，和牛顿法的平方收敛特性相比，达到收敛的迭代次数较牛顿法多。方收敛特性相比，达到收敛的迭代次数较牛顿法多。方收敛特性相比，达到收敛的迭代次数较牛顿法多。方收敛特性相比，达到收敛的迭代次数较牛顿法多。n n计算速度可以接近快速解耦法。计算速度可以接近快速解耦法。计算速度可以接近快速解耦法。计算速度可以接近快速解耦法。n n矩阵的存储量也比较少。矩阵的存储量也比较少。矩阵的存储量也比较少。矩阵的存储量也比较少。n n较快速解耦法，收敛的可靠性更好。较快速解耦法，收敛的可靠性更好。较快速解耦法，收敛的可靠性更好。较快速解耦法，收敛的可靠性更好。东南大学电气工程系电力系统稳态分析电力系统稳态分析结束n n待续待续 n n下次内容：下次内容：最小化潮流算法最小化潮流算法 东南大学电气工程系