(新)4.4直梁的弯曲.ppt

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1、4.4直梁的弯曲直梁的弯曲梁的弯曲是材料力学梁的弯曲是材料力学部分最重要的内容部分最重要的内容弯曲变形是工程构件弯曲变形是工程构件最常见的基本变形最常见的基本变形PPPPPPPP工程实际中的弯曲问题工程实际中的弯曲问题一、一、(平面平面)弯曲的概念弯曲的概念PqMRARB产生弯曲变形的杆称为梁产生弯曲变形的杆称为梁梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形梁受到与其轴线垂直的横向力作用要发生弯曲变形(平面平面)弯曲的概念弯曲的概念我们只研究矩形截面梁的弯曲我们只研究矩形截面梁的弯曲矩形截面梁有一个纵向对称面矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也当外力都作用在该纵向对

2、称面内，弯曲也发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲梁的梁的载荷与支反力载荷与支反力1、梁的载荷、梁的载荷#集中力集中力#均布载荷均布载荷#集中力矩集中力矩正负号规定：正负号规定：正负号规定：正负号规定：集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力和均布载荷与坐标轴同向为正、反向为负；集中力矩逆时针为正、顺时针为负。集中力矩逆时针为正、顺时针为负。2、梁的支座反力、梁的支座反力滑动铰支滑动铰支1(Ry)固定铰支固定铰支2(Rx，Ry)固固 定定 端端3(M，Rx，Ry)R

3、yRxMRy图图 示示 法法反反 力力未知反力数未知反力数名名 称称RxRy梁的支承方法及反力梁的支承方法及反力3、梁的类型、梁的类型根据梁的支撑情况可以将梁分为根据梁的支撑情况可以将梁分为 3 种类型种类型简支梁简支梁简支梁简支梁一端固定铰支座一端固定铰支座一端活动铰支座一端活动铰支座悬臂梁悬臂梁悬臂梁悬臂梁一端固定一端固定一端自由一端自由外伸梁外伸梁外伸梁外伸梁一端固定铰支座一端固定铰支座活动铰支座位于梁中活动铰支座位于梁中某个位置某个位置4、求支座反力的平衡方程、求支座反力的平衡方程求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求解梁弯曲问题必须在梁上建立直角坐标系求支座反力要利用外载荷与支座反

4、力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件求支座反力要利用外载荷与支座反力的平衡条件举例说明举例说明P左边固定铰支座，有两个约束反力左边固定铰支座，有两个约束反力AB右边活动铰支座，右边活动铰支座，1个约束反力个约束反力l再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例再以悬臂梁为例假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷假设该悬臂梁承受均布载荷ql固定端有固定端有3个约束反力个约束反力RxRyABMA建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力建立平衡方程求约束反力二、二、梁弯曲时横截面上的

5、内力梁弯曲时横截面上的内力-剪力和弯剪力和弯矩矩#剪力和弯矩剪力和弯矩#剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定#截面法求内力截面法求内力1、剪力和弯矩、剪力和弯矩与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：与前面三种基本变形不同的是，弯曲内力有两类：剪力和弯矩剪力和弯矩考察弯曲梁的某个横截面考察弯曲梁的某个横截面在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系在截面形心建立直角坐标系剪力与截面平行，用剪力与截面平行，用Q表示表示Q弯矩作用面在纵向对称面内弯矩作用面在纵向对称面内方向沿方向沿Z 轴方向轴方向M用用M 表示表示2、剪力和弯矩正负号的规定、剪力和弯矩正负

6、号的规定剪力正负号剪力正负号对所截截面上任一点的对所截截面上任一点的力矩顺时针为正，逆时针为负力矩顺时针为正，逆时针为负弯矩正负号弯矩正负号QQMMMM正正负正正负负使梁使梁下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负下凹为正，向上凸为负 左左左左上右上右上右上右下，剪力为正；下，剪力为正；下，剪力为正；下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。左顺右逆，弯矩为正。左顺右逆，弯矩为正。左顺右逆，弯矩为正。QQ3、截面法求剪力和弯矩、截面法求剪力和弯矩P1P2RAyABRAxRBP1RAyaaMQ对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立力矩平衡方程对截面中心建立

7、力矩平衡方程mmRAx说明：说明：1、一般情况下，、一般情况下，x 方向的约束反力为零。方向的约束反力为零。2、如果不求剪力，可以不建立、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的方向的平衡方程。平衡方程。3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要建立在截面的中心。建立在截面的中心。三、剪力图和弯矩图三、剪力图和弯矩图将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截将弯曲内力、即剪力和弯矩沿杆截面的分布规律用图形表示面的分布规律用图形表示例如上面的受均布载荷的简支梁例如上面的受均布载荷的简支梁（1）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程（2）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图例例4-3

8、 图图7-7a 所示为一简支梁，在所示为一简支梁，在C点受集中力点受集中力P 的作用，的作用，作此梁的剪力图和弯矩图作此梁的剪力图和弯矩图。(1)求支座反力求支座反力(2)列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程AC段段:(0 x a)CB段：段：(3)(3)画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使剪力图突变集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲AC段段:(0 x a)CB段：段：（1 1）求支座反力）求支座反力）求支座反力）求支座反力（2 2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方

9、程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶不使剪力图变化集中力偶不使剪力图变化集中力偶不使剪力图变化集中力偶不使剪力图变化（1 1）求支座反力）求支座反力）求支座反力）求支座反力（2 2）列写弯矩方程）列写弯矩方程）列写弯矩方程）列写弯矩方程（3 3）画弯矩图）画弯矩图）画弯矩图）画弯矩图集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力偶使弯矩图突变集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲集中力使弯矩图折曲纯弯曲梁变形纯弯

10、曲梁变形中性层mmzy中性轴受压区受拉区王红梅制作 王红梅制作 mmnno1o2z yd Om1m1n1n1mmmmnnmmnndxo1o2aba1b1几何关系几何关系3距中性层为y处的纵向纤维变形：弧长a1b1减去ab原长。1梁中取出的长为dx的微段2变形后其两端相对转了d角各横截面上同时有弯矩各横截面上同时有弯矩M和剪力和剪力Q，称为称为剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲剪切弯曲。各横截面只有弯矩各横截面只有弯矩M，而无剪力而无剪力Q，称为称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲。1、变形几何关系变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是

11、绕直于轴线，只是绕中性轴中性轴中性轴中性轴转过一个角度，称为弯曲问转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。题的平面假设。中中性性层层中中性性轴轴#中性层和中性轴中性层和中性轴 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸

12、长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短变形的几何关系为：变形的几何关系为：2、应力和变形的关系（物理关系）、应力和变形的关系（物理关系）由虎克定律由虎克定律中性轴中性轴Z正应力按线性分布正应力按线性分布王红梅制作 弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力相等；正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性正应力大小与其到中性轴距离成正比；轴距离成正比；轴距离成正比；轴距离成正比；弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力弯矩为正时，正应力以中性轴为界下拉上以中性轴为界下拉上以中

13、性轴为界下拉上以中性轴为界下拉上压；压；压；压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；M 中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零3、静力学关系分析、静力学关系分析Z:Z:中性轴中性轴中性轴中性轴没有轴向力没有轴向力中性轴必然通过横中性轴必然通过横截面的形心截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩抗弯刚度抗弯刚度横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面惯性矩该截面惯性矩4 4、惯性矩的计算惯性矩的计算1、简单截

14、面的惯性矩、简单截面的惯性矩矩形截面矩形截面圆形与圆环截面圆形与圆环截面实心圆实心圆空心圆空心圆2 2、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩平行移轴公式平行移轴公式 例例例例 求求T字形截面的中性轴字形截面的中性轴 z，并求并求截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为将截面划分为、两矩形，取两矩形，取与截面底边相重合的与截面底边相重合的z 轴为参考轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：轴的距离分别为：（1 1）确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置整个截面的形

15、心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为：即中性轴即中性轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。（2）求各组合部分对中性）求各组合部分对中性轴轴z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为其形心轴为z1和和z2，它们距它们距z轴的轴的距离分别为：距离分别为：由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得（3）求整个截面对中性轴）求整个截面对中性轴的惯性矩的惯性矩3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯

16、某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh实心圆截面实心圆截面Zd六、六、梁的强度条件梁的强度条件#梁的最大正应力梁的最大正应力#梁的强度条件梁的强度条件#举例举例1、梁的最大正应力、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性

17、轴最远处2、梁的强度条件、梁的强度条件Mmax梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷尺寸、确定许可载荷例题例题 图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BC段截面的直径。已知段截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力许用应力=140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM300700300由对称性可求得：由对称性可求得：例例4-4 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为假设梁截面为b h的矩形，的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：梁倒置时：梁倒置时：立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴