概率论与数理统计第4章.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征n数学期望数学期望n方差方差n协方差和相关系数协方差和相关系数n大数定理与大数定理与中心极限定理中心极限定理4.14.1数学期望数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望例例1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中次射击中命中环数与次数记录如下：命中环数与次数记录如下：环数环数8910次数次数301060环数环数8910次数次数205030甲甲乙乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：乙平均射

2、中的环数为：(830+910+1060)100=80.3+90.1+100.6=9.3(环环)(820+950+1030)100=80.2+90.5+100.3=9.1(环环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。在例在例1中，中，30/100=0.3、60/100=0.6、50/100=0.5等，等，是事件是事件(X=k)在在100次试验中发生的频率次试验中发生的频率(X为命中的环为命中的环数数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计

3、上述平均环数的计算可表示为算可表示为我们称之为随机变量我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。的数学期望，或均值。定义定义4.14.1 设设X是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为XP(X=xi)=pi,i=1,2,n，如果级数如果级数绝对收敛，绝对收敛，并称级数并称级数的和为随机变量的和为随机变量X的的数学期望数学期望，记作，记作则称则称X的数学期望存在，的数学期望存在，E(X)，即即 则称随机变量则称随机变量X的数学期望不存在。的数学期望不存在。注意：随机变量注意：随机变量X的数学期望的数学期望E(X)完全是由完全是由X的分布律的分布律确定的，而不应受确定的，而不应受X的

4、可能取值的排列次序的影响，因的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数此要求级数绝对收敛。若级数绝对收敛。若级数不绝对收敛不绝对收敛,例例2 掷一颗均匀的骰子，以掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求表示掷得的点数，求X的的数学期望。数学期望。解解 X的分布律为的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例例3 3 某种产品的每件表面上的疵点数服从参数某种产品的每件表面上的疵点数服从参数 的泊松分的泊松分布布,若规定疵点数不超过若规定疵点数不超过1 1个为一等品个为一等品,价值价值1010元元;疵点数大于疵点数大于1 1个不多于个不多于4 4个为二等品个为二等品,价值价值8

5、 8元元;疵点数超过疵点数超过4 4个为废品个为废品.求求:(1)(1)产品的废品率产品的废品率;(2)(2)产品价值的平均值产品价值的平均值.解解 设设X代表每件产品上的疵点数代表每件产品上的疵点数(1)(1)因为因为所以产品的废品率为所以产品的废品率为0.0014120.001412.(2)(2)设设Y代表产品的价值代表产品的价值,那么那么Y的概率分布为的概率分布为Y 10 8 0piPX1 P14例例4 设设X取取(k=1,2,)对应的概率为对应的概率为，证明，证明E(X)不存在。不存在。证明证明且且但但级数级数发散发散所以所以E(X)不存在，但级数不存在，但级数(交错级数满足交错级数满

6、足Leibniz条件条件)(收敛收敛)要注意数学期望的条件：要注意数学期望的条件：“绝对收敛绝对收敛”。定义定义4.2 设设X是连续型随机变量，概率密度函数为是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望若积分若积分绝对收敛，则称绝对收敛，则称X的数学期望存在，的数学期望存在，且称积分且称积分为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望，记为，记为E(X)即即数学期望简称数学期望简称期望期望或或均值均值。例例5 5 设随机变量设随机变量X的分布密度函数为的分布密度函数为求求E(X).解解:由定义由定义,有有 三、随机变量函数的数学期望三、随机变

7、量函数的数学期望定理定理1 设设X是一个随机变量是一个随机变量,Y=g(X)(g()连连续函数续函数)(2)设设X为为连续型随机变量，其概率密度为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分若积分 绝对收敛绝对收敛,则则Y的数学期望存在，且的数学期望存在，且 此定理说明，在求随机变量此定理说明，在求随机变量X的函数的函数Y=g(X)的期的期望时，不必知道望时，不必知道Y的分布而只需知道的分布而只需知道X的分布即可。的分布即可。(1)设设X为离散型随机变量，其分布律为为离散型随机变量，其分布律为若级数若级数 绝对收敛，则绝对收敛，则Y的数学期望存在，且的数学期望存在，且定理定理2 设设(X,Y)

8、是二维随机变量，是二维随机变量，Z=g(X,Y)，g(,)是连是连续函数。续函数。(1)设设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,则当则当绝对收敛时，绝对收敛时，Z的数学期望存在，且的数学期望存在，且(2)设设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则则当当绝对收敛时，绝对收敛时，Z的数学期望存在，的数学期望存在，且且例例6 6 设设(X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为:Y X01231301/83/803/8001/8求求 E(X),E(Y),E(XY).解解:X和和Y的边

9、缘分布为的边缘分布为X1 3pi3/4 1/4 Y 0 1 2 3pi 1/8 3/8 3/8 1/8于是于是例例7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度设设Z=XY，试求试求Z的数学期望。的数学期望。解解O 1 xy1y=x例例8 设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量变量X(单位吨单位吨)，它服从，它服从2000,4000上的均匀分布。若售出上的均匀分布。若售出这种商品这种商品1吨，可赚吨，可赚3万元，但若销售不出去，则每吨需付仓万元，但若销售不出去，则每吨需付仓储费储费1万元，问该商品应出口多少吨才可

10、使平均收益最大？万元，问该商品应出口多少吨才可使平均收益最大？解解 由题意可知由题意可知X的密度函数为的密度函数为设每年出口该商品设每年出口该商品y吨，吨，(2000y4000)，则收益则收益可知可知y=3500时，时，E(Y)取到最大值，故出口取到最大值，故出口3500吨此商品才可吨此商品才可使平均收益最大。使平均收益最大。1、设、设C是常数，则是常数，则E(C)=C;2、设、设C是常数，是常数，X为随机变量，则为随机变量，则E(CX)=CE(X);证证 设设X的密度函数为的密度函数为f(x)，则则四四.数学期望的性质数学期望的性质3、设、设X,Y为任意两个随机变量，则有为任意两个随机变量，

11、则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);证证 设设(X,Y)f(x,y)，边缘密度函数为边缘密度函数为fX(x)，fY(y)推广：推广：Xi为为随机变量，随机变量，Ci为为常数，常数，i=1,2,nE(C1X1+C2X2+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+CnE(Xn)4 4、若、若X,Y是是相互独立相互独立的随机变量，则的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。证证 设设(X,Y)f(x,y)，由由X,Y相互独立，得相互独立，得f(x,y)=fX(x)fY(y)推广：推广：X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)注注:由由E(XY)

12、=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立.例如，在例如，在例例6 6中，已计算得中，已计算得 故故X与与Y不独立不独立 显然显然但但例例9 一民航机场的送客车载有一民航机场的送客车载有20名乘客从机场开出，旅客有名乘客从机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每个车站可以下车，如到达一个站无旅客下车就不停车，假设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一个站下车相互独立。以互独立。以X表示停车次数，求平均停车次数表示停车次数，求平均停车次数E(X)。解解 X的可能取值为的可能取值为1,2,

13、10，又设，又设则则 X=X1+X2+X10按题意，对一位旅客而言，他在第按题意，对一位旅客而言，他在第i站下车的概率是站下车的概率是1/10，在，在第第i站不下车的概率是站不下车的概率是9/10。由于在各站旅客下车与否相互独。由于在各站旅客下车与否相互独立，故第立，故第i站无人下车的概率为站无人下车的概率为(9/10)20，从而第，从而第i站有人下车站有人下车的概率为的概率为1-(9/10)20，Xi的分布律为：的分布律为：Xi10P1-(9/10)20(9/10)20E(Xi)=11-(9/10)20+0(9/10)20 =1-(9/10)20E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)

14、+E(X2)+E(X10)=101-(9/10)20=8.784解解 设设Xj为第为第j组的化验次数，组的化验次数，j=1,2,10，X为为1000人的化验次人的化验次数，则数，则Xj的的可能取值为可能取值为1，101，且，且Xj1101Pj(99%)1001-(99%)100练习：练习：1、设随机变量、设随机变量X的分布律为的分布律为X-2 0 2pi0.4 0.3 0.3求求E(X),E(X2),E(3X2+5)2、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=2X的数学期望的数学期望.解解 设乘客于某时设乘客于某时X分到达车站分到达车站,候车时间为候车时间为Y,则则

15、=10分分25秒秒补充例题补充例题1:从一个装有从一个装有m个白球和个白球和n个红球的袋中取个红球的袋中取球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，球，直到取到白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球的数学期望。试求取出红球的数学期望。解解 设取出的红球数为设取出的红球数为X，则，则X的分布律为的分布律为k=0,1,2,其中其中 2.设随机变量设随机变量X服从服从(-x0的指数分布，其概率密度为的指数分布，其概率密度为(1)若将若将5个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；个元件组成一个串联系统，求该系统的平均寿命；(2)若将若将5个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；

16、个元件组成一个并联系统，求该系统的平均寿命；解解 (1)设设Xk表示第表示第k个元件的寿命，个元件的寿命，k=1,2,3,4,5，则，则X1,X2,X3,X4,X5相互独立，且相互独立，且Xkf(x)，同分布。同分布。记记Y为串联系统的寿命，则为串联系统的寿命，则Y=min(X1,X2,X3,X4,X5)，分布函数为分布函数为密度函数为密度函数为所以数学期望为所以数学期望为(2)记记Z为并联系统的寿命，则为并联系统的寿命，则Z=max(X1,X2,X3,X4,X5)，Z的分布函数为的分布函数为密度函数为密度函数为所以数学期望为所以数学期望为从本例可知：同样从本例可知：同样5个组件，并联系统的平

17、均寿命是串联系统个组件，并联系统的平均寿命是串联系统的平均寿命的平均寿命11.4倍。倍。4.2 方方 差差例如例如,甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差公差为为0.2mm，即直径在即直径在9.8mm到到10.2mm的为合格品，超出范围的的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)甲甲9.89.910.010.010.110.2乙乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙两组产品的

18、直径的均值都为易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组的质量但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的偏离程值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的偏离程度不同。甲组偏离程度小，质量较稳定，乙组的偏离程度大，度不同。甲组偏离程度小，质量较稳定，乙组的偏离程度大，质量不稳定。质量不稳定。随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价,而随而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指机变

19、量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标标.定义定义1 设设X是随机变量，若是随机变量，若EX-E(X)2存在，则称它存在，则称它为随机变量为随机变量X的方差，记为的方差，记为 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为称为标准差或均方差。标准差或均方差。它与它与X具具有相同的度量单位有相同的度量单位,在实际应用中经常使用在实际应用中经常使用.一、方差的定义一、方差的定义 D(X)=EX-E(X)2从方差的定义易见从方差的定义易见:(1)(1)若若X的取值比较集中的取值比较集中,则方差较小则方差较小;(2)(2)若若X的取值比较分散的取值比较分散,则方差较大则方差较大;(3)(3)若

20、方差若方差D(X)=0,)=0,则随机变量则随机变量X以概率以概率1 1取常数值取常数值,此时此时,X也就也就不是随机变量了不是随机变量了.注注:方差刻划了随机变量方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度的取值与数学期望的偏离程度,它它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.由方差的定义可知，由方差的定义可知，D(X)0。当当X为为离散型离散型随机变量时，且分布律为随机变量时，且分布律为PX=xk=pk，则，则当当X为为连续型连续型随机变量时，且密度函数为随机变量时，且密度函数为f(x)，则则在实际计算中，通常使用如下在实际计算中，通常使用如下简化公式简化公

21、式即方差是即方差是“随机变量平方的期望减去随机变量期望的随机变量平方的期望减去随机变量期望的平方平方”。二、方差的计算二、方差的计算例例1 已知随机变量已知随机变量X的分布律如下，求的分布律如下，求D(X)。X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16解解 例例2 设随机变量设随机变量求求D(X)解解例例3 3 设随机变量设随机变量X的的数学期望为数学期望为E(X),方差为方差为D(X)0,记记 则则E(X*)=0,D(X*)=1.即即 的数学期望为的数学期望为0,0,方差为方差为1.1.X*称为称为X的标准的标准化变量化变量.即即“随机变量与期望之差除以均方差随机变量与期望之

22、差除以均方差”证证:三、方差的性质三、方差的性质1、设、设C是常数，则是常数，则D(C)=0，且，且D(X+C)=D(X);2、设、设C是常数，是常数，X为随机变量，则为随机变量，则D(CX)=C2D(X);证证 3、设、设X,Y为任意两个随机变量，则为任意两个随机变量，则特别地特别地,若若X,Y相互独立相互独立,则则 注注:对对n维情形维情形,有有:若若X1,X2,Xn 相互独立相互独立,则则 证明证明 由方差定义可得由方差定义可得由于由于2EX-E(X)Y-E(Y)=2EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)=2E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=2E

23、(XY)-E(X)E(Y)若若X,Y相互独立相互独立,则有则有E(XY)=E(X)E(Y),故故例例4 4 设设 证明当证明当x=E(X)时达到最小值时达到最小值.注：注：本例子说明了数学期望本例子说明了数学期望E(X)是随机变量是随机变量X取值的集中位取值的集中位置置,反映了反映了X的平均值的平均值.证明证明 由由两边对两边对x求导数求导数,有有显然显然,当当x=E(X)时时,又因又因 ,所以当所以当 x=E(X)时时,f(x)达到最小值达到最小值,最小值为最小值为四、几个重要分布的数学期望和方差四、几个重要分布的数学期望和方差1、01分布分布设随机变量设随机变量X具有具有0-10-1分布分

24、布,其分布律为其分布律为 PX=0=1-p=q,PX=1=pE(X)=1p+0(1-p)=p，E(X2)=12p+02(1-p)=p则则故故 D(X)=E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p)=pq在计算时，若将在计算时，若将X表示成若干个相互独立的表示成若干个相互独立的01分布分布变量之和，计算就极为简便。变量之和，计算就极为简便。在在n重重Bernoulli试验中，设试验中，设X表示事件表示事件A发生的次数发生的次数,Xi表示表示A在第在第i次试验中出现的次数次试验中出现的次数,即即则则XB(n,p)2 2、二项分布二项分布XB(n,p)3、Poisson分布分布4、均匀分布均匀分布

25、设设XUa,b5、指数分布指数分布设随机变量设随机变量X服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为 则则6、正态分布正态分布下面先求标准正态变量下面先求标准正态变量Z的数学期望与方差的数学期望与方差Z的概率密度为的概率密度为N(,2)中两个参数中两个参数和和2，分别是正态分布中的数学分别是正态分布中的数学期望和均方差。期望和均方差。因因 ,即得即得 2.设随机变量 X的概率分布律为 试求Y=-X+1及Z=X2的期望与方差.2、二项分布二项分布XB(n,p)分布律为分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,n其中其中随机变量随机变量函数的数函数的数学期望学

26、期望7、几何分布几何分布答答:答答:4.3 协方差与相关系数协方差与相关系数一、协方差的定义一、协方差的定义若若(X,Y)是离散型随机变量是离散型随机变量,分布律为分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij若若(X,Y)是连续型随机变量是连续型随机变量,密度函数为密度函数为 f(x,y),则则 EX E(X)Y E(Y)存在存在,则称其为则称其为X与与Y的的协方差协方差，记为，记为cov(X,Y)即即 cov(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)。定义定义1 设设(X,Y)是二维随机变量，若是二维随机变量，若利用数学期望的性质利用数学期望的性质,易将协方差的计算化简为易将协方差的计算化简为cov

27、(X,Y)=EX E(X)Y E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)二、协方差的性质二、协方差的性质1.协方差的基本性质协方差的基本性质2.2.随机变量和的方差与协方差的关系随机变量和的方差与协方差的关系当当X与与Y相互独立相互独立时时,则则注注:可推广至可推广至n维情形维情形:若若X1,X2,Xn 两两独立两两独立,则则例例1 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX010q010p其中其中p+q=1，求，求cov(X,Y)。解解 由题意可得由题意可得X,Y的边缘分布律为的边缘分布律为X01PqpY01Pqp均为均为01分布分布,于是有于是有 E(X)=p,D(X

28、)=pq,E(Y)=p,D(Y)=pq.cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+11p pp =p p2=pq 所以所以例例2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的密度函数为的密度函数为求求cov(X,Y)解解同理同理cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0将随机变量将随机变量X与与Y分别标准化分别标准化,即取即取三、相关系数的定义三、相关系数的定义定义定义2 设设(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,D(X)0,D(Y)0,称称为为X与与Y的相关系数的相关系数.有时记有时记XY为为.当当XY=0时，称时，称X与与Y不相关不相关。四、相关系数的性质四

29、、相关系数的性质1、|XY|1，即即“相关系数的绝对值小于等于相关系数的绝对值小于等于1”。证明证明方差的方差的非负性非负性所以所以-1 XY1,即即|XY|1.2、|XY|=1的充要条件是存在常数的充要条件是存在常数a0,b,使得使得 PY=aX+b=1，即，即 X与与Y以概率以概率1存在线性关系存在线性关系.而且而且 当当a0时时,XY=1;当当a0,Y就呈现出随着就呈现出随着X的增加而增加的趋势的增加而增加的趋势;当当XY 0,Y就呈现出随着就呈现出随着X的增加而减少的趋势的增加而减少的趋势;当当|XY|=1时时,Y与与X的变化可完全由的变化可完全由X的线性函数给出的线性函数给出.当当|

30、XY|=0时时,Y与与X之间不是线性关系之间不是线性关系.3、若、若X与与Y相互独立，则相互独立，则XY=0,即即X与与Y不相关。不相关。证明证明 X与与Y相互独立，有相互独立，有E(XY)=E(X)E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0所以所以 XY=0即即X与与Y不相关。不相关。注意：注意：X与与Y不相关，不相关，X与与Y不一定相互独立。不一定相互独立。所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就所谓不相关只是就线性关系而言，而相互独立是就一般关系而言的。一般关系而言的。例例3 3 设设(X,Y)的分布律为的分布律为 X Y-2-112PY=yj1401/41/401/4

31、001/41/21/2PX=xi1/41/41/41/41可以求出可以求出 E(X)=0,E(Y)=5/2,E(XY)=0,于是于是,XY=0,即即X,Y不相关不相关.这表示这表示X,Y不存在线性关系不存在线性关系.故故X,Y不是相互独立的不是相互独立的.事实上事实上,X和和Y具有关系具有关系:Y=X2,Y的值完全可由的值完全可由X的的值所确定值所确定.例例4 4 设随机变量设随机变量 ,判断判断X与与Y是否不相关是否不相关,是否独立是否独立?解解 由于由于因此因此 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 从而从而XY=0,即即X,Y不相关不相关.但却有但却有 X2+Y2=1 因此

32、因此X与与Y存在着非线性关系存在着非线性关系,即即X与与Y不相互独立不相互独立.因为二维随机变量因为二维随机变量则协方差则协方差Cov(X,Y)=1 2相关系数相关系数XY=二维正态变量二维正态变量(X,Y)，X与与Y相互独立的充分必要条相互独立的充分必要条件是件是=0；而而XY=0表示表示X与与Y不相关，不相关，可见，可见，X与与Y独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是X与与Y不相关不相关。例例5解解已知已知 且且X与与Y的相关系数的相关系数 设设 求求D(Z)及及 五、矩的概念五、矩的概念E(Xk)为为k阶原点矩阶原点矩简称简称(k阶矩阶矩)；EX-E(X)k 为为k阶中心矩阶中心矩;E

33、(|X|k)为为k阶绝对原点矩阶绝对原点矩;E|X-E(X)|k 为为k阶绝对中心矩阶绝对中心矩；E(XkYl)为为X和和Y的的k+l阶阶混合混合原点矩原点矩;EX E(X)kY E(Y)l 为为X和和Y的的k+l阶阶混合混合中心矩中心矩.定义定义3 3 设设X与与Y为随机变量为随机变量,k,l为正整数为正整数,称称 数学期望数学期望E(X)即为即为X的一阶原点矩；的一阶原点矩；方差方差D(X)即为即为X的的二阶中心矩二阶中心矩;协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的二阶混合中心矩的二阶混合中心矩.六、协方差矩阵六、协方差矩阵将二维随机变量将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩的四个

34、二阶中心矩 排成矩阵的形式排成矩阵的形式:（对称矩阵）（对称矩阵）称此矩阵为称此矩阵为(X1,X2)的的协方差矩阵协方差矩阵.（对称（对称矩阵）矩阵）n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵的协方差矩阵.若若为为(X1,X2,Xn)的的协方差矩阵协方差矩阵.都存在，则称都存在，则称X Y12311/92/92/9201/92/93001/92、设、设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0y0时时,XY=1;当当a0，有，有或或或或等价于等价于二、切比雪夫二、切比雪夫(Chebyshev,俄罗斯俄罗斯)不等式不等式注注：(i)由切比雪夫不等式可以看出由切比雪夫不等式可以看出,若

35、若 越小越小,则事则事件件 的概率越大的概率越大,即随机变量即随机变量X集中在期望附近的可能性越集中在期望附近的可能性越大大.由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度由此可见方差刻划了随机变量取值的离散程度.切比雪夫不等式的主要应用有如下三个方面：切比雪夫不等式的主要应用有如下三个方面：(1)在贝努里试验中的应用在贝努里试验中的应用二项分布中，频率与概率的精度估计不等式的两种形式：主要问题有：已知 和估计事件的概率求试验次数n；已知 和估计事件的概率(把握程度)求估计的精度 ；已知 和估计事件的概率求试验成功的概率(2)估计随机变量分散程度的概率界限估计随机变量分散程度的概率界限给出了在随机变

36、量X的分布未知时，概率P(|X-E(X)|)的一个上限，当当分别取时分别取时2，3，4时，有时，有P(|X-E(X)|2)1/4，P(|X-E(X)|3)1/9，P(|X-E(X)|4)1/16(3)在极限定理中的应用在极限定理中的应用切比雪夫不等式作为一个理论工具，其应用是普遍的。切比雪夫不等式作为一个理论工具，其应用是普遍的。例例1：设贝努里试验的参数：设贝努里试验的参数p=0.75,问至少需要进行多少次这问至少需要进行多少次这种试验才能使频率在种试验才能使频率在0.74到到0.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解解 设设n重贝努里试验中成功的次数为重贝努里试验中成功的次数为

37、，则，则 ，且且故至少需要故至少需要18750次试验才能使频率在次试验才能使频率在0.74到到0.76之间的概率至之间的概率至少为少为0.90.所求为满足所求为满足 的最小的的最小的n在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取 ,则则三、大数定理三、大数定理1、切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，每一个相互独立，每一个随机变量都有数学期望随机变量都有数学期望E(X1),E(X2),E(Xn),和有和有限的方差限的方差D(X1),D(X2),D(Xn),，并且并且D(Xn)C(i=1,2,)，则任意正数则任意正数，即即证明证明 因为因为X1,X

38、2,Xn,相互独立，相互独立，由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式可得可得该定理表明：相互独立的随机变量的算该定理表明：相互独立的随机变量的算术术平均值平均值 与数学期望的算术平均值的差在与数学期望的算术平均值的差在n充分大时是一个无穷小充分大时是一个无穷小量，这也意味着在量，这也意味着在n充分大时，经算术平均后得到的随机充分大时，经算术平均后得到的随机变量变量 的值将比较紧密地聚集在它的数学期望的值将比较紧密地聚集在它的数学期望 的附近。的附近。2、切比雪夫大数定律的特殊情况切比雪夫大数定律的特殊情况 定理定理2 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立，且相互独立，且具有相同的数

39、学期望具有相同的数学期望和相同的方差和相同的方差2，记前记前n个随机变个随机变量的算术平均为量的算术平均为Yn，则随机变量序列则随机变量序列Y1,Y2,Yn,依概率收敛于依概率收敛于，即，即证明证明切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律3、贝努里贝努里大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验中事件A发生发生的概率为的概率为p，记，记nA为为n次试验中事件次试验中事件A发生的次数，则发生的次数，则证明（由切比雪夫不等式可直接证明）证明（由切比雪夫不等式可直接证明）即即或或(1)这就是最早的一个大数定理，它表明：当重复这就是最早的一个大数定理，它表明：当重复

40、试验次数试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n依依概概率收敛于事件率收敛于事件A发生的概率发生的概率p.定理以严格的数学形定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。式表达了频率的稳定性。(2)若事件若事件A发生的概率很小，则由定理知，事件发生的概率很小，则由定理知，事件A发生的频率也是很小的，或者说事件发生的频率也是很小的，或者说事件A很少发生。很少发生。即即“概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会概率很小的随机事件在个别试验中几乎不会发生发生”，这一原理称为，这一原理称为小概率原理小概率原理，它的实际应，它的实际应用很广泛。但应注意到，小概率事件与不可能事用很广泛

41、。但应注意到，小概率事件与不可能事件是有区别的。在多次试验中，小概率事件也可件是有区别的。在多次试验中，小概率事件也可能发生。能发生。4、辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk，k=1,2,.为独立同分布随机变量序列为独立同分布随机变量序列,E(Xk)=0)(i=1,2,)，记前记前n个变量的个变量的和的标准化变量为和的标准化变量为一、独立同分布的中心极限定理一、独立同分布的中心极限定理(Lindeberg-Levy林德贝格林德贝格-勒维勒维)则则Yn的的分布函数分布函数Fn(x)对任意的对任意的x(-,+)都有都有 该定理说明，当该定理说明，当n充分大时，充分大时，于是于是故定理又可表述为故定理

42、又可表述为:均值为均值为 ,方差为方差为 的独立同分布的独立同分布的随机变量的随机变量 的算术平均值的算术平均值 ,当当n充分大时近充分大时近似地服从均值为似地服从均值为 ,方差为方差为 的正态分布的正态分布.这一结果是这一结果是数理统计中大样本统计推断的理论基础数理统计中大样本统计推断的理论基础.解解 设设Xk为第为第k 次掷出的点数，次掷出的点数，k=1,2,100，则则X1,X2,X100独立同分布，而且独立同分布，而且由由中心极限定理中心极限定理二、德莫佛二、德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(De Moivre-Laplace)在在n重贝努里试验中，每次试验中事件重贝努里试验中，每次试验中事件A发生的概发生的概率为率为p(0p75)；(2)p=0.7时，时，P(X75)。P(X75)(1)(2)当厂方宣传符合实际时，接受这一宣传的概率约为当厂方宣传符合实际时，接受这一宣传的概率约为0.8944，而当，而当厂方宣传不符合实际时厂方宣传不符合实际时(言过其实言过其实)实际上治愈率为实际上治愈率为0.7时，接受时，接受其虚假宣传的概率仅有其虚假宣传的概率仅有0.1379。解解 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式令令练习练习