数值分析19-20拉格朗日插值,牛顿插值.ppt

《数值分析19-20拉格朗日插值,牛顿插值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析19-20拉格朗日插值,牛顿插值.ppt（18页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、多项式插值的存在唯一性多项式插值的存在唯一性拉格朗日插值拉格朗日插值,牛顿插值牛顿插值埃米特插值与三次样条埃米特插值与三次样条数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型两种典型的正交多项式两种典型的正交多项式数值分析习题课 III 若插值结点若插值结点 x0,x1,xn 是是(n+1)个互异点个互异点,则满足则满足插值条件插值条件P(xk)=yk (k=0,1,n)的的n次插值多项式次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn存在而且惟一存在而且惟一。多项式插值的存在唯一性定理多项式插值的存在唯一性定理Laglarge插值公式插值公式插值基插值基(k=0,1,2,n)2/18插值插值误差余项误差余

2、项其中其中,线性插值误差线性插值误差:二次插值二次插值误差误差:思考思考:构造线性插值函数计算构造线性插值函数计算115115的平方根近似值，估的平方根近似值，估计近似值的误差并指出有效数位数计近似值的误差并指出有效数位数。3/18已知已知 x0,x1,xn 处的值处的值 f(x0),f(x1),f(xn).(j=0,1,n-1)(j=0,1,n-2)均差的均差的定义定义牛顿插值公式牛顿插值公式(k=1,2,n)思考思考:证明一阶差商的对称性：证明一阶差商的对称性：fx0，x1=fx1，x0，进一步证明二阶差商的对称性。进一步证明二阶差商的对称性。4/18牛顿插值余项牛顿插值余项(j=0,1)

3、三三次次Hermite插值插值5/18给定给定a,b 的分划的分划:a=x0 x1 xn=b.已知已知f(xj)=yj (j=0,1,n),如果如果满足满足:(1)S(x)在在 xj，xj+1上为三次多项式上为三次多项式;(2)S”(x)在区间在区间a，b上连续上连续;(3)S(xj)=yj (j=0,1,n).则称则称S(x)为三次样条插值函数为三次样条插值函数.三次样条的三次样条的定义定义6/18(j=1,2,n-1)自然边界条件自然边界条件三次样条三次样条一阶导数值一阶导数值:S(xj)=mj (j=0,1,n)三次样条三次样条二阶导数值二阶导数值:S”(xj)=Mj (j=0,1,n)

4、j=1,n1 自然边界条件自然边界条件:M0=0,Mn=07/18拟合函数拟合函数:(x)=a0 0(x)+a1 1(x)+an n(x)数据拟合的线性模型数据拟合的线性模型离散数据离散数据 x x1 x2 xm f(x)y1 y2 ym超定超定方程组方程组超定超定方程组最小二乘解方程组最小二乘解:8/18对连续函数对连续函数 f(x)的正交多项式平方逼近的正交多项式平方逼近其中其中Ex1.设设x0，x1，xn 是互异的插值结点是互异的插值结点，l0(x)为对应于为对应于x0的拉格朗日插值基函数，试证明的拉格朗日插值基函数，试证明9/18Ex2.设设x0,x1,x2,xn为为互互异异的的结结点

5、点,求求证证 Lagrange 插值基函数满足下列恒等式插值基函数满足下列恒等式(1)(2)(k=1,n)证证:(1)令令 在插值结点处在插值结点处 Pn(xj)=0 (j=0,1,2,n)n 次多项式次多项式 Pn(x)有有 n+1 个相异零点个相异零点Pn(x)=0 10/18所以所以将将 f(x)=xk (k n)代入代入,得得(k=0,1,2,n)思考题思考题:f(x)是是(n+1)次多项式且最高次项系数次多项式且最高次项系数为为1，取互异的插值结点取互异的插值结点x0，x1，xn，构造插值构造插值多项式多项式Pn(x)，证明证明：f(x)=Pn(x)+(x x0)(x x1)(x x

6、n)(2)取取 f(x)=xk f(n+1)(x)=0 Rn(x)=011/18Ex4.设设 x0 x1 x2，从函数表从函数表 x x0 x1 x2 f(x)y0 y1 y2出发出发,利用利用 f(x)的二次拉格朗日插值多项式的二次拉格朗日插值多项式 L2(x)推导出求推导出求f(x)的极值点的极值点 x*的近似值计算公式的近似值计算公式.Ex3.设设 P(x)是不超过是不超过 n 次的多项式次的多项式,而而 n+1(x)=(x x0)(x x1)(x xn)证明存在常数证明存在常数Ak(k=0，1，n)使得使得 12/18Ex5.设有数列设有数列:x1,x2,xn,(1).证明平方和数列证

7、明平方和数列 为为3 3阶等差数列阶等差数列 证明证明:(1)Sn=n2,2Sn=n2(n-1)2=2n-1 3Sn=(2n-1)-(2n-3)=2故故平方和数列为平方和数列为 3 阶等差数列阶等差数列.(2).证明证明则则(2)令令 g(n)=n(n+1)(2n+1)/613/18同理同理(k=1,2,n)显然显然14/18证明证明:F x0,x1,xn =Ex6.记记 n+1(x)=(x x0)(x x1)(x xn)(j=1,2,n)对比对比Lagrange插值和插值和Newton插值中插值中 xn 的系数的系数,得得 F x0,x1,xn =15/18Ex7.2 次埃尔米特插值的适定性

8、问题次埃尔米特插值的适定性问题,给定插值条件给定插值条件：f(x0)=y0，f(x1)=m1，f(x2)=y2，插值结点应满足什么插值结点应满足什么条件能使插值问题有唯一解条件能使插值问题有唯一解。思考思考:构造带导数条件的二次插值多项式公式构造带导数条件的二次插值多项式公式 f(0)=y0，f(1)=y1，f(0)=m0；16/18解解:设设 H(x)=a0+a1x+a2x2,H(x)=a1+2a2xEx8.如果如果 xa,b ,t-1,1,(1)证明联系两个区间的映射为证明联系两个区间的映射为(2)对于对于 t-1,1上的上的二次正交多项式二次正交多项式将其将其转换为转换为xa,b 上的二次上的二次正交多项式正交多项式17/18Ex9.一个量一个量 x 被测量了被测量了 n次次,其结果是其结果是a1,a2,an.用最小二乘法解超定方程组用最小二乘法解超定方程组 x=aj (j=1,2,n)x 的值为多少的值为多少？Ex10.给定给定五个观测值五个观测值 yj (j=k2，k1，k，k+1，k+2)构造五点二次拟合函数（抛物线方程构造五点二次拟合函数（抛物线方程）P(t)=a0+a1t+a2t218/18