2、静电场.ppt
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1、*第二章静电场1第二章第二章 静电场静电场2-1 基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式2-2 电位与电位梯度电位与电位梯度2-3 静电场的边值问题静电场的边值问题2-4 镜像法与电轴法镜像法与电轴法 2-5 多导体系统的部分电容多导体系统的部分电容2-6 电场能量和电场力电场能量和电场力 电荷与观察者相对静止电荷与观察者相对静止 电量不随时间而变化电量不随时间而变化静静本本章章内内容容*第二章静电场22.1 基本方程及其微分形式基本方程及其微分形式 电磁场的普遍规律麦克斯韦方程组静态情况下,D/t=0,B/t=0时变电场和时变磁场时变电场和时变磁场相互联系、不可分割相互联系、不可分割组成统
2、一的电磁场组成统一的电磁场电场和磁场分为电场和磁场分为两个独立的部分两个独立的部分*第二章静电场3静电场基本方静电场基本方程的积分形式程的积分形式物理学物理学积分形式积分形式场中大范围的特性场中大范围的特性电磁场电磁场微分形式微分形式每个场点上的特性每个场点上的特性*第二章静电场42.1.1 高斯通量定理的微分形式高斯通量定理的微分形式将闭合面将闭合面S缩小,使其包围的体积缩小,使其包围的体积 V0 用哈密顿算子表示D=高斯通量定理的微分形式,表明静电场是有散场。高斯通量定理的微分形式,表明静电场是有散场。物理意义物理意义 D相当于单位体积散发的电通量,即相当于单位体积散发的电通量,即电通量体
3、密度电通量体密度 S物理上定义物理上定义为电荷密度为电荷密度 数学上定义数学上定义为为D的散度的散度divD由由divD=*第二章静电场5所以这就是数学上的这就是数学上的“高斯散度定理高斯散度定理”上式把上式把D的体积分转换为的体积分转换为D的闭合面积分的闭合面积分D表示单位体积散发出的电通量,即电通量体密度电通量体密度。表示总体积V中散发出的电通量,V表示穿出闭合面表示穿出闭合面S的电通量的电通量S同一个量同一个量*第二章静电场6在直角坐标系中圆柱坐标系和球坐标系中,D的展开式见附录。应用之一:特殊情况下,已知应用之一:特殊情况下,已知 分布,求分布,求D分布(例分布(例2-1)应用之二:已
4、知电场应用之二:已知电场D分布,求体电荷密度分布,求体电荷密度(例(例2-2)*第二章静电场7例例2.1 已知半径为已知半径为R的无限长圆柱体内的无限长圆柱体内均匀分布体电荷均匀分布体电荷,介电常数为,介电常数为,试由试由D=求柱内外的求柱内外的E。解:解:由于由于 的分布具有轴对称性,的分布具有轴对称性,因此因此 D 的分布也具有轴对称性,的分布也具有轴对称性,D只有只有 Dr分量,且只与分量,且只与 r 有关。有关。柱内(柱内(r R),有体电荷分布,满足,有体电荷分布,满足D=柱外(柱外(r R),无体电荷),无体电荷=0,满足,满足 D=0应分两个区域分别求解应分两个区域分别求解D 在
5、柱坐标系下展开简化在柱坐标系下展开简化*第二章静电场81)在柱内(在柱内(r R时)时)由不定积分求解由不定积分求解 得通解得通解 (rR)其中其中C1为积分常数,因为积分常数,因r=0处处D=0,故,故C1=0*第二章静电场92)在柱外(在柱外(r R)不定积分求解得不定积分求解得 (R r)其中积分常数其中积分常数C2由分界面边界条件确定由分界面边界条件确定(rR)*第二章静电场10可见,电荷只分布在可见,电荷只分布在r 2 的圆柱内,圆柱外无电荷分布。的圆柱内,圆柱外无电荷分布。例例2.2 已知圆柱坐标系中已知圆柱坐标系中r2时,时,;r2时,时,求电场中的体电荷分布,求电场中的体电荷分
6、布。解解:r2时:时:r2时:时:该点有该点有D线发出线发出 D 0 0D线在该点终止线在该点终止 D 0)(x0时通过一次不定积分,得再次不定积分,得通解设分界面x=0处为电位参考点,则*第二章静电场49由于对称于分界面x=0,x=0处,E=0即则因而(x0)*第二章静电场50两个区域中场强解可合并为3)电场强度可通过电位梯度运算得到两个区域中场强解可合并为*第二章静电场512.3.4 静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理静电场问题通常难以通过泊松方程或拉普拉斯方程求解,须采用其他方法求解。静电场的唯一性定理:在静电场中凡满足电静电场的唯一性定理:在静电场中凡满足电位微分方程和给定边界条件的
7、解,是给定静电位微分方程和给定边界条件的解,是给定静电场的唯一正确解。场的唯一正确解。注意:注意:应同时满足以下三个条件1)多区域时,应分别满足各自场域的微分方程2)在场域的边界面上,应满足给定的边界条件3)不同介质分界面上,应符合分界面衔接条件*第二章静电场52解:解:判断依据唯一性定理:既满足泊松方程,又满足边值d0=U0例例2-8 试判断以下表达式哪个是图示问题的正确解?x0 dU0*第二章静电场532是正确解3也是正确解?4也不是解1绝不是解x0 dU思考:为何两个正确解?E=唯一*第二章静电场54例例2-9 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2,中间为两种介质,介电常数分别为1和2,
8、分界面过直径,电压为U。试说明两种介质中的E相同。U 1R12R21中满足21=02中满足22=0解:解:1内外边界电位差为U2内外边界电位差为U且分界面两侧场强切线分量E1t=E2t因此,根据唯一性定理,可知因此,根据唯一性定理,可知 E1=E2*第二章静电场55作作 业业R202-10 图示长直圆柱体半径为R,表面电位为U,其中均匀分布体电荷密度为,介电常数为20,试由泊松方程求圆柱体内的电位和场强。*第二章静电场562.4 镜像法与电轴法镜像法与电轴法2.4.1 导电平面镜像导电平面镜像接地导电平面存在感应电荷合成场强E不再具有球对称性无限大接地导电平面上方有一个点电荷q,既无法由高斯通
9、量定理求解,也无法由拉普拉斯方程求解。q2=0=0E=0*第二章静电场57对照对照q在无限大空间产生的电场:根据唯一性定理,可以判定这两个问题的上半空间电场解答是相同的。等效点电荷q代替面电荷镜像电荷镜像电荷大小q位置hqq=02=0E1hh q2=0=0E=0h*第二章静电场58上半空间的电位和场强可由叠加原理得到qq=02=0E1hh*第二章静电场59 解解:地面和墙壁均为零等位面,场域中除点电荷所在位置之外,其它场点均满足拉普拉斯方程。a a b b b a-q q-q2=0=0=0IIIIIIIVq b a 例例2-10求图示地面和墙壁附近的点电荷q所受的电场力。2=0baq=0=0*
10、第二章静电场60一一般般来来说说,若两导电平面夹角为,可用镜象法求解此时镜象电荷数目为个,且都在求解区外。否则,镜像电荷必会落在求解区之内,不能用镜像法求解。qqq q*第二章静电场612.4.2 介质平面镜象介质平面镜象分界面存在极化电荷,影响两侧的电场分布。(1)1中,除q所在位置外,满21=0;(2)2中,处处满足22=0;12(a)q h(3)分界面上,满足衔接条件1=2边值问题边值问题P*第二章静电场62111qq/r1r2h h22q/hr2对于分界面上的P点,r1=r2=r=rP,由衔接条件1=2确定镜像电荷确定镜像电荷联立求解,得*第二章静电场63镜镜 像像 法法 小小 结结实
11、质实质等效电荷代替不均匀面电荷依据依据静电场解答的“唯一性定理”关键关键确定等效电荷的大小和位置注意注意镜像电荷必须在求解区之外计算计算多个点(线)电荷电场叠加*第二章静电场642.4.3 球面镜象球面镜象除q位置外,满足2=0无限远处(r)=01.点电荷点电荷q在接地导体球外在接地导体球外导体球接地,球面R=0球面存在不均匀面电荷确定镜像电荷球面电位d qRR等位面方程r1r2q2 qRdb即得*第二章静电场652.点电荷点电荷q在不接地导体球外在不接地导体球外 除q所处位置外,空间中满足2=0;电荷分布在有限范围内,无限远处(r),0;qqbdqRRdq导体球面等电位,但R0;导体球面上有
12、等量异号感应电荷;负感应电荷负感应电荷用用q代替,代替,正感应电荷和原有电荷正感应电荷和原有电荷用用q代替。代替。镜像镜像电荷电荷*第二章静电场66q/的大小分三种情况讨论的大小分三种情况讨论1)若球面原来带电Q,由q=q+q=Q2)若球面原来不带电3)若已知球面电位RqqbdqR得由得*第二章静电场67例例2-12半径R=0.1m的不接地导体球原先带电量Q=10-6库仑,离球心距离d=0.2m处有一点电荷q=105C,求点电荷q受力。dqRQ由库仑定律可求得点电荷之间的作用力F=F +F =20+13.5=6.5 牛顿牛顿思思考考:本本例例中中点点电电荷荷q与与导导体体球球电荷电荷Q带同号为
13、何相吸?带同号为何相吸?解:解:先确定镜像电荷的大小和位置qq/q/bd*第二章静电场68例例2-11无限大接地导板上有一凸起的半球体,正上方有一点电荷q。求:半球体上的最大场强。qhR3)由叠加原理计算A点的最大场强2)撤去平面,用镜像电荷q和q代替平面上的感应电荷q/qdb解:解:1)撤去半球面,用镜像电荷q代替球面上的感应电荷q/bqdA*第二章静电场692.4.4 电轴法电轴法adxa电气和通信工程中常遇到两根长直、平行、圆柱导体的电场边值问题(1)两根圆柱导体外的空间,处处满足2=0;(2)两根圆柱导体表面分别为等电位面;两根圆柱导体表面分别为等电位面;(3)两根圆柱导体表面分别有等
14、量异号电荷。xybbaahh(x,y)r1r2例例2-5曾讨论过曾讨论过,线电荷的等位面是一族偏心园,且有以下关系*第二章静电场70电轴法解题步骤电轴法解题步骤daax1)将两个圆柱面撤去,导体表面电荷用等效电轴代替,aa2)设坐标系原点在电轴中间hhbby3)根据圆柱导体的半径a和位置h,确定电轴位置4)由叠加原理计算两平行圆柱导体外的电位(x,y)r1r2*第二章静电场71例例2-13半径分别为R1和R2的两长直圆柱导线几何轴间距为d,分别带等量异号电荷,求导线外的电位分布及A、B两点的场强。解:解:标明等效电轴的位置,取其中间为坐标原点由联立求解得求等效电轴到原点的距离BA+(x,y)y
15、xh2R2h1R1bbR1R2h2h1d则圆柱导体外电位分布为*第二章静电场72由E=或叠加原理求得场强对于图示A点为正值,对于图示B点为负值,yB=0BA+(x,y)yxh2R2h1R1bbR1R2h2h1d*第二章静电场732-15 两种电介质分界面附近有一点电荷q=1C,距离分界面h=2cm。求:1)点电荷q所受的力2)图示A点的电位 3)图示B点的电场强度E 4)穿过分界面进入2中的电通量A1cm2cmqB1r=12r=2.52cm作作 业业2-17 不接地导体球半径R=0.1m,原先不带电。距离球心0.2m处有一点电荷q=106库仑,周围为空气。求:1)球心的电位值(0);2)球面的
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