Chap5函数的数值逼近.ppt

《Chap5函数的数值逼近.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《Chap5函数的数值逼近.ppt（61页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第第5章章 函数的数值逼近函数的数值逼近刘东毅刘东毅天津大学理学院数学系天津大学理学院数学系15:函数的数值逼近函数的数值逼近函数的数值逼近主要目的：主要目的：r讨论函数的数值逼近的基本理论与方法m最佳平方逼近函数的存在性、唯一性m最佳平方逼近函数的求法r讨论曲线拟合的最小二乘问题主要内容：主要内容：r正交多项式r最佳平方逼近r用正交多项式作函数的最佳平方逼近r曲线拟合的最小二乘解25:函数的数值逼近5.1 正交多项式正交多项式其中 为权函数，则称此函数组为在区间 a,b 上带权 的正交函数组,其中 Ak 为正数。若 Ak=1,（k=0,1,2,）称该函数组是标准正交的。定理 5.1.1 设函

2、数组 正交，则它们一定线性无关。1.正交函数正交函数组及其性质组及其性质定义 5.1.1 设有 C a,b 中的函数组 若满足35:函数的数值逼近设 它们线性无关的充分必要条件是其 Gram 行列式 其中 定理 5.1.245:函数的数值逼近设 是线性无关的函数组,则由正交结构公式定理 5.1.3得出的函数组 是正交函数组,且与 可互相线性表示.55:函数的数值逼近定义 5.1.2 给定区间 a,b 和对应的权函数(x)及多项式序列其中首项系数2.正交多项式及其性质正交多项式及其性质 2.1 正交多项式正交多项式定义定义若 gk(x)满足则称 为在区间a,b上带权(x)的正交多项式序列,gk(

3、x)称为k 次正交多项式.65:函数的数值逼近2.2 正交多项式的性质正交多项式的性质 定理 5.1.4 n 次正交多项式 gn(x)与任意次数不超过 n-1 的多项式 P(x)在区间 a,b 上带权(x)正交.定理 5.1.5 n 次正交多项式 gn(x)(n 1)的 n 个零点都是实的单零点,且都在区间(a,b)内.75:函数的数值逼近3.Legendre 多项式多项式 若区间-1,1,权函数 由1,x,x2,xn,经正交化结构公式正交化结构公式可得正交多项式族P0(x),P1(x),Pn(x),称这族多项式为 Legendre 多项式多项式。其标准形式为:85:函数的数值逼近 可以证明,

4、Legendre 多项式有下列递推关系：由上式可推出由上式可推出当 n 为偶数时,Legendre 多项式 Pn(x)为偶函数；当 n 为奇数时,Legendre 多项式 Pn(x)为奇函数。95:函数的数值逼近4.Chebyshev 多项式多项式 若取区间-1,1,权函数为由1,x,x2,xn,经正交化结构公式可得一族 Chebyshev 多项式多项式.其标准形式为:105:函数的数值逼近p 可以证明,Chebyshev 多项式有下列递推关系：p 当 n 为偶数时,多项式 Tn(x)为偶函数；当 n 为奇数时,多项式 Tn(x)为奇函数.p Tn(x)在（-1,1）内有 n 个不同的零点 p

5、 Tn(x)在-1,1 上有 n+1 个极值点 由上式可推出由上式可推出115:函数的数值逼近5.Hermite 多项式多项式 若取区间(-,+),权函数为 。正交的一族 Hermite 多项式多项式标准形式为:125:函数的数值逼近p 可以证明,Hermite 多项式有下列递推关系：由上式可推出：135:函数的数值逼近6.Laguerre 多项式多项式 若取区间(0,+),权函数为 。正交的一族 Laguerre（拉盖尔）多项式拉盖尔）多项式标准形式为:145:函数的数值逼近可以证明,Laguerre 多项式有下列递推关系：由上式可推出：155:函数的数值逼近5.2 最佳平方逼近最佳平方逼近

6、165:函数的数值逼近1.最佳平方逼近最佳平方逼近函数的概念函数的概念当 时，满足上式的 称为f(x)的n 次最佳平方逼近多项式次最佳平方逼近多项式，简称 n次最佳平次最佳平方逼近方逼近。定义定义 5.2.1 设有 f C a,b 及 C a,b 中的子集 成立,则称S*(x)为 f(x)在 中的最佳平方逼近函数。其中 线性无关。若存在 使得=（5.2.1）175:函数的数值逼近2.最佳平方逼近的求法最佳平方逼近的求法定理定理 5.2.1 对于任意的函数 f C a,b，其在中的最佳平方逼近函数S*(x)是存在且唯一的。证明：证明：由于中元素（函数）可以表示为，故求最佳平方逼近函数等价于求多元

7、函数的最小值问题。2.1 最佳平方最佳平方逼近的逼近的存在与唯一存在与唯一性性185:函数的数值逼近由极值存在的必要条件有。对求偏导数，我们可得到整理并写成Ca,b空间中内积的形式，得。(5.2.4)195:函数的数值逼近从而得到关于a0,a1,an 的线性方程组即因为 线性无关，所以上述方程组(5.2.5)的系数矩阵的行列式非零，故有唯一解 。205:函数的数值逼近设 下面证明 满足式（5.2.1），即要证明成立。由（2.5.4）知。又由于 ，所以有 。这样 ，有 215:函数的数值逼近=0于是 ，。这就证明了 为在中的最佳平方逼近函数。下面我们看一看最佳平方逼近的几何意义 225:函数的数

8、值逼近2.2 最佳平方逼近的几何意义最佳平方逼近的几何意义可知，由与中的所有函数都正交，与中的所有元素均垂直，即S*为元素 f 在中的正交正交投影投影。从几何意义上来讲如下图所示整整个个平平面面代代表表空空间间Ca,b，这这条条水水平平线线代代表子空间表子空间。235:函数的数值逼近2.3 最佳平方逼近函数的平方误差最佳平方逼近函数的平方误差由最佳平方逼近的几何意义知245:函数的数值逼近2.4 最佳平方逼近的求法最佳平方逼近的求法(4)计算平方误差平方误差(1)确定，即确定S*(x)的形式。(3)令 ，则S*(x)为最佳平方逼近函数。(2)解以 a0,a1,.,an 为未知元的线性法方程组2

9、55:函数的数值逼近解：依题意，设一次最佳平方逼近多项式为所以a0,a1满足以下方程组例例5.2.1 求函数 f(x)=ex 在区间 0,1 上的一次最佳平方逼近多项式,并计算平方误差.即取265:函数的数值逼近通过计算得：275:函数的数值逼近得解得：所以由于是285:函数的数值逼近平方误差为：295:函数的数值逼近5.3用正交多项式作函数的最佳平方逼近用正交多项式作函数的最佳平方逼近其中 应为下列方程组的解设 在a,b 上带权正交，则由上一节可知，f(x)的最佳平方逼近函数由正交性可由正交性可将它化为？将它化为？305:函数的数值逼近由正交性可将上式化为其解所以(5.3.2)315:函数的

10、数值逼近 用用 Legendre多项式作多项式作 f(x)的最佳平方逼近的最佳平方逼近因为Pn(x)在区间-1,1 上正交且有(1)若 f(x)C-1,1,由以上讨论,得：则 。325:函数的数值逼近平方误差为：335:函数的数值逼近(2)若 f(x)Ca,b,由以上讨论作变换：则 t-1,1,那么按（1）的方法求 F(t)在-1,1 上的最佳平方逼近 Sn(t),再换回原变量 x,得 f(x)在 a,b 上的最佳平方逼近多项式.平方误差345:函数的数值逼近例 5.3.1 求用 Legendre多项式求 f(x)=ex 在区间 0,1上的一次最佳平方逼近多项式 ,并计算平方误差解：则根据题意

11、，再令其中令 355:函数的数值逼近所以 故于是由365:函数的数值逼近平方误差为375:函数的数值逼近5.4曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法5.4.1曲线拟合的最小二乘问题曲线拟合的最小二乘问题xkx0 x1x2xmyk=f(xk)y0y1y2ym已知一组实验数据要求 y=f(x)的近似表达式（经验公式）。从几何上来讲，就是求 y=f(x)的一条近似曲线，故称曲线拟合问题。385:函数的数值逼近基于函数最佳平方逼近的原理，提出如下问题 令 ，在Ca,b中选定线性无关的函数 。在 中寻求一个函数 (5.4.1)使S*(x)与y=f(x)在上述m+1个点上的偏差(或称残差)满足 395:

12、函数的数值逼近其中 ，。(5.4.3)为所讨论区间a,b上的权函数，它表示不同(xi,yi)数据点的权重，满足式(5.4.2)的函数 S*(x)称为问题的最小二乘解最小二乘解（或称 f(x)的离散形式的离散形式的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近函数），求S*(x)的方法称为曲线拟曲线拟合的最小二乘法合的最小二乘法。405:函数的数值逼近5.4.2 最小二乘解的求法最小二乘解的求法 要求问题的最小二乘解，首先需确定函数类，为此需确定S*(x)的形式。通常的做法是将数据(xi,yi)描绘在坐标纸上，依据这些数据点的分布规律确定此函数的具体形式。这也等于确定了函数类。其次是按式（5.4.2）求S*(x

13、)，即需要确定其系数。此问题转化为求下面的多元函数极值问题415:函数的数值逼近由极值存在的必要条件知，ak(k=0,1,n)应满足 即 或(5.4.5)425:函数的数值逼近为了方便，规定离散形式的“内积”和“范数”：则(5.4.5)这是关于 线性方程组。(5.4.7)可写成435:函数的数值逼近线性方程组矩阵形式为称之为法方程法方程（或正规方程正规方程）。系数矩阵是对称矩阵，其行列式记为Gn，按(5.4.6)定义的“内积”可证明 线性无关的充要条件是行列式Gn不是零（证法与本章定理5.1.2类似，此处略）。由于 线性无关，可知（5.4.8）有唯一解 。于是有 445:函数的数值逼近可以证明

14、：S*(x)确实使多元函数 u 达到最小，即S*(x)为 f(x)的最小二乘解。定理定理5.4.1 设 线性无关，为(5.4.8)的解，则 满足 并且平方误差为。(5.4.9)455:函数的数值逼近计算曲线拟合问题最小二乘解的步骤：计算曲线拟合问题最小二乘解的步骤：1.首先需确定函数类，即确定S*(x)的形式。2.解以 a0,a1,.,an 为未知元的线性法方程组：3.计算平方误差。求得 。465:函数的数值逼近例5.4.1 已知一组数据如下：xk00.250.500.751.00yk=f(xk)1.00001.28401.64872.11702.7183求问题的最小二乘解。解：(1)首先确定

15、拟合函数类 。将上述数据描绘在坐标纸上，发现这些点近似一直线，由近似一条抛物线，故可用一次或二次多项式来拟合。475:函数的数值逼近485:函数的数值逼近(2)利用直线 来拟合上述数据。即在函数空间 =span 1,x中寻找 。此问题中，n=1，m=4，0(x)=1，1(x)=x。(x)没有给出，则认为(x)=1。从而 a0*和 a1*满足法方程 495:函数的数值逼近通过计算，有，。505:函数的数值逼近得法方程组解得 ，。故 。其平方误差 。515:函数的数值逼近(3)用抛物线 拟合上述数据。即在函数空间 =span 1,x,x2中寻找 。在此问题中，n=2，m=4，(x)=1。0(x)=

16、1,1(x)=x，2(x)=x2，其法方程为 类似上面的讨论，在只需计算 525:函数的数值逼近从而得方程组535:函数的数值逼近解得 ，。故 。平方误差为 。由于 的平方误差较小，所以用 拟合上述数据较好。545:函数的数值逼近例5.4.2 已知一组实验数据如下：xk1234y=f(xk)1.953.053.553.85求问题的最小二乘解。解：(1)首先确定拟合函数类 。将上述数据描绘在坐标纸上，发现这些点近似一指数曲线，其图形如下。故选择要拟合的曲线为，555:函数的数值逼近565:函数的数值逼近其中a，b为待定常数。令 ，则有 ，此即为要拟合的新的线性函数。由变换 可得到u 与v 的数据

17、表 由于在拟合函数中a，b 为非线性关系，需要线性化。所以对函数 两边取对数575:函数的数值逼近vk10.50.333330.25uk 0.667831.115141.266951.34807(2)用 来拟合上述数据即在函数空间 =span 1,v中寻找函数u。此问题中，n=1，m=3，(v)=1，0(v)=1,1(v)=v。法方程组为。585:函数的数值逼近由 595:函数的数值逼近得正规方程组 故 。所以，最小二乘解 。其平方误差。解得 ，605:函数的数值逼近本章小结本章小结r正交函数与正交多项式正交函数与正交多项式r最佳平方逼近问题最佳平方逼近问题m最佳平方逼近函数的存在性、唯一性最佳平方逼近函数的存在性、唯一性m最佳平方逼近函数的求法最佳平方逼近函数的求法m用正交多项式作函数的最佳平方逼近用正交多项式作函数的最佳平方逼近r曲线拟合问题曲线拟合问题m最小二乘解的存在性、唯一性最小二乘解的存在性、唯一性m最小二乘解的求法最小二乘解的求法r最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘问最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘问题的基本思想与几何意义题的基本思想与几何意义一个一个思想，思想，两个问题，两个问题，几个概念。几个概念。615:函数的数值逼近