高量17-角动量耦合.ppt

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1、讨论讨论角角动动量量J1和和J2的共同本征矢量的共同本征矢量与与J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量的共同本征矢量）的本征矢量之之间间的关系，是两的关系，是两组组基矢之基矢之间间的关系。的关系。23-1 23-1 两个角动量的耦合两个角动量的耦合 互相对易的两个角动量算符互相对易的两个角动量算符J1和和J2，它们的，它们的矢量和矢量和算符是算符是 J1和和J2可可以以是是系系统统两两个个子子系系统统的的角角动动量量，这这时时J就就是是大大系系统统的的总总角角动动量量；也也可可以以是是同同一一个个系系统统不不同同的的角角动动量量，如如一一个个电电子子的的轨轨道道角角动动量量和和自自旋旋角角

2、动动量量，这这时时J就是电子的总角动量。就是电子的总角动量。23 23 角动量的耦合角动量的耦合1一、一、Clebsch-Gordan系数（系数（CG系数）系数）任何系统所在的任何系统所在的Hilbert空间总可以写成两个空间空间总可以写成两个空间的直积：的直积：其中其中 不受空间转动的影响，不受空间转动的影响，在空在空间转动时间转动时要要发发生相生相应应的的变变化。化。后一空后一空间间的基矢的基矢就是就是这这个系个系统统角角动动量本征矢量。量本征矢量。子系子系统统2的相的相应应量量为为，和和和和大系大系统统的的总总角角动动量量为为设设子系子系统统1的角的角动动量算符量算符为为，本征矢量，本征

3、矢量为为和和本征矢量本征矢量为为2描写大系描写大系统统的的态态矢量随空矢量随空间转动间转动而而变变的那一的那一部分，从两个子系部分，从两个子系统统角度角度讲讲是在空是在空间间中，而从大系中，而从大系统统的角度的角度讲讲，是在空，是在空间间中，两中，两组组基矢所基矢所张张的空的空间间是同一个空是同一个空间间，两，两组组基矢可以通基矢可以通过过一个幺正一个幺正变换变换相相联联系。系。，3和和 ，取固定的取固定的和和的关系的关系为为式中式中 可写成可写成 式中式中 是在是在这这确定的子空确定的子空间间中的两中的两组组基矢基矢变换变换的的不耦合表象：不耦合表象：耦合表象：耦合表象：幺正矩阵，称为幺正矩

4、阵，称为CG系数系数，Wigner系数或矢量耦合系数。系数或矢量耦合系数。4二、由二、由j1和和j2确定确定j1.重要关系重要关系j1和和 j2取取 定定 的的 子子 空空 间间，从从 不不 耦耦 合合 表表 象象 看看，是是(2j1+1)(2j2+1)维维的的。耦耦合合表表象象的的基基矢矢也也应应该该是是(2j1+1)(2j2+1)个，由此看个，由此看j的取值范围。的取值范围。对对23.3 两两边边用用分分别别作用，有作用，有即即 由此得由此得 5设设，即，即可以表示成可以表示成的叠加，的叠加，上式两上式两边边用用作用（作用（），当当左左边边的的m由由于于受受到到J的的作作用用变变为为m时时

5、，(-j mj)，右右边边的的m1和和m2也也由由于于受受到到J1和和J2的的作作用用取取不不同同的的值值，而而且且不不会会所所有有的的项项都都成成为为0，这这样样23.3式式仍仍然然成成立立，这这证证明明，若若对对某某一一个个m，|jm在此空间，则所有的在此空间，则所有的2j+1个个|jm必然也在此空间。必然也在此空间。62.j的最大值和最小值的最大值和最小值最大的最大的j应该是应该是j1+j2。反反证证之之：设设jj1+j2的的|jm也也可可表表示示为为|j1m1|j2m2的的叠叠加加，用用J+=J1+J2+分分别别作作用用于于等等号号两两边边若若干干次次，使使左左边边为为|jj(jj1+

6、j2），这这时时右右边边各各项项已已全全部部为为0，此此时时m=m1+m2已已不不再再满满足足。所所以以jj1+j2是是不不可可能能的。的。7设最小值为设最小值为x，根据耦合表象和不耦合表象的基，根据耦合表象和不耦合表象的基矢数目相等，有矢数目相等，有右边是一个等差级数，共右边是一个等差级数，共(j1+j2-x+1)，这样有，这样有由此得由此得 即最小的即最小的j值是值是|j1-j2|，最后得，最后得8三、三、CG系数的正交性关系系数的正交性关系CG系数系数是幺正矩是幺正矩阵阵元，元，满满足正交性关系：足正交性关系：式中式中 事实上，事实上，CG系数的国际标准值都是实数，所以系数的国际标准值都

7、是实数，所以923-2 CG系数的计算系数的计算一、一、m=j的特殊情况的特殊情况若若m=j，将，将简简写写为为，根据，根据CGCG系数的定系数的定义义有有 符号符号对对的取的取值值范范围进围进行了明确的限制。行了明确的限制。计计算算时时利用两个性利用两个性质质：等号两：等号两边边都是都是的本征矢量，本征的本征矢量，本征值为值为；利用；利用的性的性质质。10即：即：22.53 11上式第二上式第二项项再做代再做代换换，有有上式第一上式第一项项再做代再做代换换，有有与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后与星式比较，则第二项代换后等于星式第一项，第一项代换后等于星式第二项，所以由第

8、二项代换后等于星式第一项得：等于星式第二项，所以由第二项代换后等于星式第一项得：12得得递递推公式：推公式：递递推下去，得推下去，得即即m1增大到最大增大到最大j1，m2减小到最小减小到最小j-j1。（。（m1+m2=j）最最终终：其中其中 与与m1,m2无关的常数，可以用无关的常数，可以用|j1j2jj的的归归一化条件得一化条件得出出a即即23.16式，代入式，代入23.14，得，得 23.1723.17式式13二、一般的CG系数的的求法根据根据 易推出易推出 次次（即作用（即作用之后，之后，）由此得由此得 所以所以 取其负共轭，利用取其负共轭，利用，得，得 14由二项式定理得由二项式定理得

9、则有则有 将此式代入将此式代入23.18式，利用式，利用23.17式（式（m=j的情况）为的情况）为“边界边界”条件，条件，注意到注意到得到得到CG系数的最后系数的最后结结果：果：23.19式（式（Edmonds）为实数，为实数，15 式中：式中：满满足足m=m1+m2，求和，求和变变量的取量的取值值范范围围是不使是不使分母括号中的量分母括号中的量为负为负的所有正整数；的所有正整数；j1,j2,m1,m2可可以取整数，也可以取半数。以取整数，也可以取半数。mj时时，16等价的等价的Racah形式：形式：注意各值关系和范围：注意各值关系和范围：，17三、查三、查CG系数表系数表j1j2 1823

10、-3 CG系数和转动矩阵系数和转动矩阵一、一、CG系数与转动群表示之间的关系系数与转动群表示之间的关系19于是在直积空间中有于是在直积空间中有 式中式中 对对耦合表象基矢耦合表象基矢，它是，它是和和的本征矢量，因而也是的本征矢量，因而也是转动转动群的一个不可群的一个不可约约表示的基矢：表示的基矢：20以上两套基矢通过以上两套基矢通过CG系数联系起来：系数联系起来：其逆变换是：其逆变换是：令令(23.24)两边经受一个转动两边经受一个转动Q，则有，则有(23.25)代入代入 利用矩阵相乘利用矩阵相乘 21将此式与将此式与23.2323.23式相比较，得式相比较，得这这是是CG系数与系数与转动转动

11、群的表示之群的表示之间间的重要关系式。的重要关系式。和和二二者者的的直直积积矩矩阵阵也也是是转转动动群群的的一一个个表表示示，上上式式表表明明，两两个个不不可可约约表表示示的的直直积积是是可可约约的的，其其约约化化矩矩阵阵就就是是以以CGCG系系数数作作为为矩矩阵阵元元的的矩矩阵阵S。（在在被被S矩矩阵阵作用后，直作用后，直积积矩矩阵阵被被块对块对角化）角化）都是转动群都是转动群Q的不可约表示，的不可约表示，22二、二、CG系数的一个普遍公式系数的一个普遍公式由由23.26得得 写成矩阵元的形式为写成矩阵元的形式为 两两边边乘以乘以，并对，并对Q积分，积分，因因为为是完全已知的，所以可以求出是

12、完全已知的，所以可以求出CGCG系数系数的普遍公式：（的普遍公式：（23.2723.27）。）。2323-4 CG系数和系数和3j符号符号一、CG系数的性质系数的性质1.在在中，中，j1、j2和和j可以是整数，可以是整数，以及三角形条件：以及三角形条件：m1、m2和和m必须满足：必须满足：只有满足这些条件，只有满足这些条件，CG系数才不为零。系数才不为零。也可以是半数，但必须满足：也可以是半数，但必须满足：242.CG系数是实数系数是实数3.CG系数满足幺正性条件系数满足幺正性条件254.其他关系其他关系26二二3j符号符号1.定义：定义：2.对称性质：对称性质：273.相关公式的相关公式的3

13、j符号表示符号表示2823-5 323-5 3个角动量的耦合个角动量的耦合考考虑虑一个系一个系统统有三个不同的，互相有三个不同的，互相对对易的角易的角动动量量的情况。的情况。设设它它们们的本征矢量分的本征矢量分别为别为，和和。三个角。三个角动动量的矢量和，即系量的矢量和，即系统统的的总总角角动动量量为为一、耦合表象基矢的构造一、耦合表象基矢的构造描写描写这这个系个系统统的的HilbertHilbert空空间间中的角中的角动动量有关量有关的直的直积积空空间间，的部分是三个空间的部分是三个空间其基矢是其基矢是29第一套：第一套：先将先将和和耦合，令耦合，令 则则 和和四个算符的共同本征矢量是四个算

14、符的共同本征矢量是然后根据然后根据 再把再把和和耦合，得到耦合，得到它它们们是六个算符是六个算符的共同本征矢量。的共同本征矢量。30第二套：先将第二套：先将和和 耦合，令耦合，令然后再将然后再将和和耦合耦合 与前类似，可以得到另一套基矢与前类似，可以得到另一套基矢由一个幺正由一个幺正变换联变换联系起来：系起来：定定义义Racah系数系数两套基矢都是空两套基矢都是空间间中的基矢组，中的基矢组，31二、二、Racah系数的计算系数的计算由由23.68左乘左乘得得 又可证明又可证明 所以所以 32并将式中的并将式中的j12和和m12改改为为j12和和m12,得得 两两边边乘以乘以再再对对m1,m2取

15、和，取和，利用利用CG系数的幺正性得系数的幺正性得33两两边边再乘以再乘以，对对m12,m3取和，最后得取和，最后得Racah系数用系数用CG系数表示的公式。系数表示的公式。34CG系数是完全已知的，所以系数是完全已知的，所以Racah系数原则上已系数原则上已经求出。经过化简得到经求出。经过化简得到Racah系数的普遍公式：系数的普遍公式：在上式中在上式中 3523-6 6j符号和符号和9j符号符号目目前前文文献献上上在在使使用用RacahRacah系系数数时时，常常用用对对称称性性更更为为明明显显的的6j6j符符号号，而而当当遇遇到到四四个个角角动动量量耦耦合合时时又又会使用会使用9j9j符

16、号。符号。一、一、6j符号符号定义：定义：通常写成：通常写成：36The 6j symbol the coupling probability for three angular momenta.is related toIt is valid when(triangle relations)37二、二、9j符号符号在研究四个角动量耦合时会遇到在研究四个角动量耦合时会遇到9j符号，例如原子系符号，例如原子系统中的统中的LS耦合和耦合和jj耦合之间的关系。耦合之间的关系。设设有四个互相有四个互相对对易的角易的角动动量量J1,J2,J3,J4，则在，则在HilbertHilbert空间空间中，可以

17、建立两中，可以建立两组组新的基矢：新的基矢：对对于于给给定定的的J1,J2,J3,J4，这这两两组组基基矢矢是是以以一一个个幺幺正正矩矩阵阵互互相相变变换换的的，9j符符号号就就是是这这个个变变换换矩矩阵阵的的矩矩阵阵元乘以一个参数，其定义为元乘以一个参数，其定义为38The 9j symbol coupling probability for four angular momenta.is related to theIt is valid when399j9j符符号号具具有有很很高高的的对对称称性性，对对于于行行和和列列的的偶偶数数次次对对调调，对对于于两两个个对对角角线线的的反反射射，9

18、j9j符符号号都都不不改改变变数数值值；对对于于行行和和列列的的奇奇数数次次对对调调，9j9j符符号号只只差差一一个个符符号号(-1)s，s为为其其中中所所有有9 9个个量量之之和和。当当9j9j符符号号有有一一个个量量为为0 0时，有时，有409j9j符号还有以下关系：符号还有以下关系：4123-7 LS耦合和耦合和jj耦合耦合以以具具有有两两个个价价电电子子的的原原子子为为例例，讨讨论论这这一一双双电电子子系统的态矢量的角向部分。系统的态矢量的角向部分。一、基矢的选择、基矢的选择设设两两电电子子的的轨轨道道角角动动量量和和自自旋旋角角动动量量分分别别为为L L1 1,L,L2 2和和S S

19、1 1,S,S2 2，则则根根据据前前面面的的讨讨论论，在在这这一一双双电电子子的的HilbertHilbert空间中可以有两组基矢系统。第一组是：空间中可以有两组基矢系统。第一组是：42在在这这组组基基矢矢描描写写的的状状态态中中，总总轨轨道道角角动动量量L=L1+L2的的大大小小和和总总自自旋旋角角动动量量S=S1+S2的的大大小小以以及及总总角角动动量量J的的大小和大小和z分量取确定值。这组基矢称为分量取确定值。这组基矢称为LS耦合的基矢。耦合的基矢。另一组基矢系统为另一组基矢系统为这这组组基基矢矢表表示示的的态态中中，两两粒粒子子的的总总角角动动量量J1=L1+S1和和J2=L2+S2

20、大大小小以以及及系系统统的的总总角角动动量量J的的大大小小和和z分分量取确定值，这组基矢称为量取确定值，这组基矢称为jj耦合基矢耦合基矢。43二、系统的二、系统的Hamiltonian和和Schrdinger方程的解方程的解 1对此双电子系统，其哈密顿为对此双电子系统，其哈密顿为式中式中H0为电子在原子核及其余电子（原子实）的为电子在原子核及其余电子（原子实）的场中的哈密顿：场中的哈密顿：（23.91）等式右边最后三项是双电子系统中最重）等式右边最后三项是双电子系统中最重要的两种相互作用：要的两种相互作用：是两是两电电子子间间的的静静电电相互作用相互作用，第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互

21、作用第四第五项则是两电子各自的自旋轨道相互作用(简称简称“旋轨耦合旋轨耦合”)。44 2.Schrdinger方程的解方程的解 系统的系统的Schrdinger方程的解方程的解 当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有当两电子完全没有相互作用的时候（包括没有旋轨耦合），旋轨耦合），此此时时 LS耦合态耦合态 或或jj耦合态耦合态 都可以是都可以是Schrdinger方程的解方程的解 为为与径向方程有关的参数与径向方程有关的参数 45 两电子只有静电相互作用两电子只有静电相互作用由于由于r12（1/r12也一也一样样）具有空）具有空间转动间转动不不变变性，它性，它 肯定与肯定与L对对易，而（易，

22、而（23.93）式是）式是 的共同本征矢量，的共同本征矢量，与与这这些算符都些算符都对对易，易，的解肯定取的解肯定取LS耦合耦合23.93的形式。的形式。再加上较小的旋轨耦合作用再加上较小的旋轨耦合作用这这种种作作用用可可以以作作为为微微扰扰来来处处理理，根根据据微微扰扰理理论论，态态函函数数与与（23.93）比比较较差差一一个个较较小小的的修修正正。（以以23.93形式作为形式作为0级波函）级波函）所以所以Schrdinger方程方程46 只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用只考虑旋轨耦合，不考虑静电相互作用 比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用比如静电相互作用远小于旋轨耦合作用 此时此时Schrdinger方程为方程为 因为容易证明因为容易证明 与与对对易易 所以上述方程的解必然是所以上述方程的解必然是jj耦合耦合的（的（23.94）的形式。）的形式。（与与对对易，易，与与对易）对易）所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取所以当二电子静电相互作用较大时，态函数基本上取LS耦合形式，而自旋轨道相互作用较大时取耦合形式，而自旋轨道相互作用较大时取jj耦合。耦合。采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。采取何种耦合方式，在于寻找与系统哈密顿量相对易的角动量。47