建筑数学-概率5-随机模拟-蒙特卡洛法_383903229.pptx

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1、随机模拟随机模拟（蒙特卡洛法）（蒙特卡洛法）秦秦 佑佑 国国 燕翔燕翔 清华大学建筑学院清华大学建筑学院 一个三岔路口，到来的车辆在此处遇到岔路，一条路通往一个三岔路口，到来的车辆在此处遇到岔路，一条路通往A城，一条城，一条路通往路通往B城。前往城。前往A城的车比前往城的车比前往B城的车多一倍，即来车的城的车多一倍，即来车的2/3去去A城，城，1/3去去B城。但这是长时间观察统计的结果，并非实时的情况，不是每来城。但这是长时间观察统计的结果，并非实时的情况，不是每来3辆车，就辆车，就2辆开往辆开往A城，城，1辆开往辆开往B城。我们可以用扔骰子来模拟，扔出城。我们可以用扔骰子来模拟，扔出1点点或

2、或2点、点、3点、点、4点，表示来车去点，表示来车去A城，扔出城，扔出5点或点或6点，表示来车去点，表示来车去B城。前城。前者在者在6个可能结果（个可能结果（16点）中占点）中占4个，概率为个，概率为2/3，后者占，后者占2个，概率为个，概率为1/3。扔一次骰子，表示来一辆车，一直扔下去，就可以模拟车辆去向的随机。扔一次骰子，表示来一辆车，一直扔下去，就可以模拟车辆去向的随机特性，而长时间（扔的次数很多时）的试验，又符合统计的结果。特性，而长时间（扔的次数很多时）的试验，又符合统计的结果。如果，去如果，去A城的车，其中城的车，其中2/3是轿车，是轿车，1/3是货车；去是货车；去B城的车，其中城

3、的车，其中1/2是轿车，是轿车，1/2是货车。也可以继续扔骰子来模拟。在前面试验扔出的结是货车。也可以继续扔骰子来模拟。在前面试验扔出的结果是去果是去A城后，再扔一颗骰子，扔出城后，再扔一颗骰子，扔出1点或点或2点、点、3点、点、4点，表示是轿车，点，表示是轿车，扔出扔出5点或点或6点，表示是货车。在前面试验扔出的结果是去点，表示是货车。在前面试验扔出的结果是去B城后，再扔一城后，再扔一颗骰子，扔出颗骰子，扔出1点或点或2点、点、3点，表示是轿车，扔出点，表示是轿车，扔出4点或点或5点、点、6点，表示是点，表示是货车。货车。这种随机现象模拟是用扔骰子来进行的，称为这种随机现象模拟是用扔骰子来进

4、行的，称为蒙特卡罗法蒙特卡罗法。蒙特卡罗。蒙特卡罗是赌城。是赌城。扔骰子的工作可以交给计算机去做，计算机上都有扔骰子的工作可以交给计算机去做，计算机上都有生成（生成（0,1）区间上）区间上均匀分布的随机数均匀分布的随机数（即每个数出现的概率相同）的程序。计算机每生成一（即每个数出现的概率相同）的程序。计算机每生成一个大于个大于0、小于、小于1的随机数的随机数，就是扔了一次骰子，就是扔了一次骰子，0.666667（2/3近似近似值），表示车子去值），表示车子去A城，城，0.666667，表示车子去，表示车子去B城。城。蒙特卡罗法可以模拟车流，模拟人流，电梯载客和停层，旅客的柜台蒙特卡罗法可以模拟

5、车流，模拟人流，电梯载客和停层，旅客的柜台服务，人员的疏散等等。服务，人员的疏散等等。服务柜台前，服务柜台前，1分钟内，分钟内，0个顾客的概率个顾客的概率0.25,1个顾客的概率个顾客的概率0.20，2个个顾客的概率顾客的概率0.30，3个顾客的概率个顾客的概率0.15，4个顾客的概率个顾客的概率0.10。如果每个顾客。如果每个顾客平均服务时间为平均服务时间为45秒（秒（0.75分钟），柜台前会不会排队，可能排起几个人分钟），柜台前会不会排队，可能排起几个人的队？加快工作效率，平均服务时间缩短为的队？加快工作效率，平均服务时间缩短为0.5分钟，排队情况又如何？分钟，排队情况又如何？一种是分析方

6、法：可以先计算平均值：一种是分析方法：可以先计算平均值：00.2510.2020.3030.1540.05=1.7，即一分钟平均有，即一分钟平均有1.7个顾客。两个顾客的时间间隔是个顾客。两个顾客的时间间隔是1/1.7=0.588分钟。每个顾客平均服务分钟。每个顾客平均服务0.75分钟，大于分钟，大于0.588分钟，顾客可能分钟，顾客可能出现等待；每个顾客平均服务缩短为出现等待；每个顾客平均服务缩短为0.5分钟，小于分钟，小于0.588分钟，长时间段分钟，长时间段看，不会出现等待。这种分析方法是针对长时段平均情况的，不能描述短看，不会出现等待。这种分析方法是针对长时段平均情况的，不能描述短时段

7、可能出现的具体状况。时段可能出现的具体状况。另一种方法是蒙特卡洛法：另一种方法是蒙特卡洛法：在计算机上生成（在计算机上生成（0,1）区间上均匀分布的随机数）区间上均匀分布的随机数，每产生一个随机数，每产生一个随机数，表示时间间隔，表示时间间隔1分钟。分钟。0 0.25，表示这一分钟柜台前没有来顾客；，表示这一分钟柜台前没有来顾客；0.250.45（0.25+0.20），表示这一分钟柜台前来了），表示这一分钟柜台前来了1个顾客；个顾客；0.450.75（0.25+0.20+0.30），表示这一分钟柜台前来了），表示这一分钟柜台前来了2个顾客；个顾客；0.750.90（0.25+0.20+0.30

8、+0.15），表示这一分钟柜台前来了），表示这一分钟柜台前来了3个顾客；个顾客；0.901.00（0.25+0.20+0.30+0.15+0.10），表示这一分钟柜台前来了），表示这一分钟柜台前来了4个顾个顾客。客。同时，柜台前来了顾客，每个顾客服务同时，柜台前来了顾客，每个顾客服务0.75分钟（或分钟（或0.5分钟）后离去，分钟）后离去，接待下一个顾客，接待下一个顾客，随着计算机产生随机数随着计算机产生随机数个数的增多，如产生个数的增多，如产生60个，就是个，就是1个小时，产生个小时，产生120个，就是个，就是2个小时。就可以模拟柜台前到来的顾客，和可能出现的排队等个小时。就可以模拟柜台前到

9、来的顾客，和可能出现的排队等候的情况。候的情况。思考一下，如果顾客的服务时间也是随机变量，也有概率分布，只是平思考一下，如果顾客的服务时间也是随机变量，也有概率分布，只是平均值是均值是0.75分钟（或分钟（或0.5分钟），是否也可以模拟，只要知道其概率分布。分钟），是否也可以模拟，只要知道其概率分布。离散型离散型随机随机变量的直接抽量的直接抽样随机变量随机变量 X：x1，x2，x3，xN例如：例如：x可取可取3个值个值x1，x2，x3，它们出现的几率分别为它们出现的几率分别为2/8，5/8，1/8，则，则抽得的（抽得的（0，1）区间上均匀分布的）区间上均匀分布的随机数随机数，小于小于2/8时实

10、时实现现x1，在区间，在区间2/8，7/8中时实现中时实现x2，大于，大于7/8时实现时实现x3。前面柜台。前面柜台前顾客数的例子就是这样做的。前顾客数的例子就是这样做的。概率分布概率分布 P：p1，p2，p3，pN从从（0，1）区间中均匀抽样得到的随机数区间中均匀抽样得到的随机数 满足下式时满足下式时则随机变量则随机变量 x 取值为取值为 xn。上面两个例子，随机变量（来车和来柜台的人）是离散分布的。上面两个例子，随机变量（来车和来柜台的人）是离散分布的。蒙特卡罗法的发展历史蒙特卡罗法的发展历史“蒲丰投针蒲丰投针”1777年，蒲丰在家中请来客玩投针游戏年，蒲丰在家中请来客玩投针游戏（针长是线

11、距之半），他事先没有给客人讲与（针长是线距之半），他事先没有给客人讲与有关的事。有关的事。客人们虽然不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他们客人们虽然不知道主人的用意，但是都参加了游戏。他们共投针共投针2212次，其中次，其中704次相交。蒲丰说，次相交。蒲丰说，2212/704=3.142，这就是，这就是 值。值。设针投到地面上的位置可以用一组参数设针投到地面上的位置可以用一组参数（x，）来描述，）来描述，x为针中心的坐标，为针中心的坐标，为针与平行线的夹角，如图所示。为针与平行线的夹角，如图所示。任意投针，就是意味着任意投针，就是意味着x与与都是任意取都是任意取的，但的，但x的范围限于的范

12、围限于0，a，夹角，夹角的范围限于的范围限于0，。在此情况下，。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是针与平行线相交的数学条件是针在平行线间的位置针在平行线间的位置 多次投针，次数多次投针，次数N巨大。其中与线相交的次数为巨大。其中与线相交的次数为M，与与N之比之比M/N就近似于概率就近似于概率P。线长线长 l=a/2，=1/P=N/M各向同性随机投针，则夹角各向同性随机投针，则夹角在在,均匀分布，所以：均匀分布，所以：设投针设投针N次，相交次数为次，相交次数为M，则相交概率的期望值：，则相交概率的期望值：N大数定理大数定理针与平行线垂直方向夹角为针与平行线垂直方向夹角为，则，则相交概率为：相

13、交概率为：平行线间距针长平行线间距针长d 浦丰浦丰1777年出版的著作中提出：年出版的著作中提出：“在平面上画有一组间距为在平面上画有一组间距为d的平行线，的平行线，将一根长度为将一根长度为l（ld）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相）的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。交的概率。”布丰本人证明了，这个概率是布丰本人证明了，这个概率是 p=2l/（d)，为圆周率。为圆周率。也有人用也有人用 l=d来试验，得到来试验，得到：一些人一些人进行了行了实验，其，其结果列于下表果列于下表 ：实验者年份投计次数的实验值的实验值沃尔弗(Wolf)185050003.159

14、6史密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.1415929水塘面积水塘面积测量的故事测量的故事 一块方形的地块（长一块方形的地块（长a宽宽b）中有一个不规则的水塘，）中有一个不规则的水塘，如何测量水塘的面积。向地块上扔石子，如果（假定可如何测量水塘的面积。向地块上扔石子，如果（假定可能）扔出的石子在方形地块上均匀分布，大量地扔，扔能）扔出的石子在方形地块上均匀分布，大量地扔，扔他几百次（设为他几百次（设为N），听到水声（或溅起水花）的次数，），听到水声（或溅起水花）的次数，即扔到水塘里的次数为即

15、扔到水塘里的次数为M。那么水塘的面积近似地是。那么水塘的面积近似地是(M/N)（ab），），ab是方形地块的面积。问题是石子谁是方形地块的面积。问题是石子谁来扔，能保证在方形内均匀分布，让计算机来扔！还有来扔，能保证在方形内均匀分布，让计算机来扔！还有扔出的石子怎么判断落在了水里还是地里？判别准则的扔出的石子怎么判断落在了水里还是地里？判别准则的确定。确定。测量已知半径为测量已知半径为R的的圆的面积圆的面积 在边长为在边长为R的正方形内随机扔石子，为了扔得均匀，的正方形内随机扔石子，为了扔得均匀，在计算机上独立地产生两个（在计算机上独立地产生两个（0，1）上均匀分布的随机数）上均匀分布的随机数

16、1，2，得到石子在正方形内的坐标：，得到石子在正方形内的坐标：x=1R，y=2R，判，判别这颗石子是否在圆内就检验别这颗石子是否在圆内就检验 x2y2R2，即，即1222 1是否成立。是否成立。大量地重复试验，次数大量地重复试验，次数N很大（很大（“石子扔得很石子扔得很多多”），计算落在圆的次数），计算落在圆的次数M，则，则1/4圆面积圆面积（M/N）R2，圆面积就是，圆面积就是4（M/N）R2。圆面积是圆面积是4R2，得到，得到=4（M/N）。）。模拟步骤模拟步骤1 Initialize R,Nmax 2 Generate random number ，3 4 Nt=Nt+1,if(),N=

17、N+1 5 If(NtNmax)goto 26 P=N/Nt,7 end 的蒙特卡罗法模拟结果的蒙特卡罗法模拟结果定积分计算的蒙特卡罗法定积分计算的蒙特卡罗法 从上面这个测量圆面积的例子，可以看出，利用蒙特卡罗法可以计从上面这个测量圆面积的例子，可以看出，利用蒙特卡罗法可以计算函数的定积分，即算函数的定积分，即y=f（x）在（）在（x1，x2）区间内，函数曲线与）区间内，函数曲线与x轴之轴之间的面积（图中蓝色）。间的面积（图中蓝色）。y1=f（x1），），y2=f（x2）y1与（与（x1x2）线段形成一个纯蓝色的矩形，面积）线段形成一个纯蓝色的矩形，面积是是S1=y1（x2x1）；而其上面（）

18、；而其上面（y2y1）与（）与（x2x1）围成的矩形，面积）围成的矩形，面积S2=（y2y1）（x2x1），由两块面积组成，一块是函数曲线下的蓝色），由两块面积组成，一块是函数曲线下的蓝色面积，一块是曲线上的白色面积。于是问题化为，面积，一块是曲线上的白色面积。于是问题化为，向上面这个矩形中均匀分布地向上面这个矩形中均匀分布地“扔石子扔石子”，扔的量，扔的量（N）很大，计算落在蓝色区域内的数（）很大，计算落在蓝色区域内的数（M）。判）。判别条件是：对应于一个别条件是：对应于一个“石子石子”的的x坐标，其坐标，其 y坐标坐标小于等于函数值小于等于函数值f（x），则此点落在蓝色区域，若），则此点落

19、在蓝色区域，若大于函数值大于函数值f（x），则落在白色区域。于是蓝色区），则落在白色区域。于是蓝色区域的面积就近似求得为：（域的面积就近似求得为：（M/N）S2，再加上，再加上S1，就是整个蓝色区域的面积，也就是函数，就是整个蓝色区域的面积，也就是函数y=f（x）在区间（在区间（x1，x2）内的定积分：）内的定积分：由计算机产生两个独立的（由计算机产生两个独立的（0,1）上均）上均匀分布的随机数匀分布的随机数1，2以确定所以确定所“扔扔石子石子”的坐标：的坐标：x=x1+（x2x1）1y=y1+（y2y1）2如果：如果：y f（x），则此点（石子）落），则此点（石子）落入蓝色区域。大量地试验（

20、次数为入蓝色区域。大量地试验（次数为N），），“石子石子”落入蓝色区域的次数落入蓝色区域的次数为为M。则此定积分为：。则此定积分为：（M/N）（f（x2）f（x1）（x2x1）f（x1）（x2x1）复杂随机现象的蒙特卡罗法模拟复杂随机现象的蒙特卡罗法模拟 某个城市急救站，平均一小时会接到某个城市急救站，平均一小时会接到3个呼救电话，一次救护行动平均需要个呼救电话，一次救护行动平均需要45分钟（救护车开出到送完病人回来，取决于服务范围）。急救站要配备多少辆分钟（救护车开出到送完病人回来，取决于服务范围）。急救站要配备多少辆救护车，才能保证有人呼救时，有救护车，才能保证有人呼救时，有90%的概率，

21、站上有车可出？这里有两个泊松的概率，站上有车可出？这里有两个泊松分布：一是呼救电话的次数（或时距），一是救护车一次救护行动的时间。分布：一是呼救电话的次数（或时距），一是救护车一次救护行动的时间。泊松分布的概率公式是：泊松分布的概率公式是：在前面参数估计时讲到，泊松分布的参数在前面参数估计时讲到，泊松分布的参数是均值。是均值。在这个问题中，第一个泊松分布是呼救次数：一小时内平均有在这个问题中，第一个泊松分布是呼救次数：一小时内平均有3次呼救，即次呼救，即=3，于是可以得出：呼救次数、概率分布和累积概率（分列三行）：于是可以得出：呼救次数、概率分布和累积概率（分列三行）：0，1，2，3，4，5，

22、6，7，8，9，10，110.0498 0.149 0.224 0.224 0.168 0.1008 0.0504 0.0216 0.0081 0.0027 0.00081 0.000220.0498 0.199 0.423 0.647 0.815 0.9156 0.9660 0.9876 0.9957 0.9984 0.99920 0.99942 用计算机产生一个（用计算机产生一个（0,1）上均匀分布的随机数）上均匀分布的随机数，看其落在第三行哪个区段内，看其落在第三行哪个区段内，就表示这一小时有几次呼救。例如就表示这一小时有几次呼救。例如 0 0.0498 表示表示0次（没有呼救电话打来）

23、，次（没有呼救电话打来），0.423 0.647 表示表示3次呼救次呼救，可以看出多于，可以看出多于8次呼救概率不到次呼救概率不到1%。泊松分布的概率公式是：泊松分布的概率公式是：呼救次数问题也可以转化成两个相继呼救之间的时间间隔（时距）。一小时内平呼救次数问题也可以转化成两个相继呼救之间的时间间隔（时距）。一小时内平均有均有3次呼救，即平均时距为次呼救，即平均时距为20分钟，为了使问题简化，也不有悖于实际情况，以分钟，为了使问题简化，也不有悖于实际情况，以5分分钟为时距单位钟为时距单位t，即一个，即一个t时距内只计算一个呼救。于是平均时距就是时距内只计算一个呼救。于是平均时距就是4（t），上

24、式），上式的的=4，k=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，。k=1 表示相继两次呼表示相继两次呼救间隔救间隔5分钟（一个分钟（一个t），忙！），忙！k=4 表示相继两次呼救间隔表示相继两次呼救间隔20分钟，平均值；分钟，平均值；k=8表示表示相继两次呼救间隔相继两次呼救间隔40分钟，较闲。时距、概率和累积概率计算列表如下：分钟，较闲。时距、概率和累积概率计算列表如下：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 120.0183 0.0733 0.146 0.195 0.195 0.156 0.104 0.0595 0.0298 0.0132 0.00529 0.00

25、192 0.000640.0183 0.0916 0.237 0.432 0.627 0.783 0.887 0.9465 0.9763 0.9895 0.9948 0.9967 0.99735 在在计算机上产生一个（计算机上产生一个（0，1）上均匀分布的随机数）上均匀分布的随机数，看其落在第三行哪个区段内，看其落在第三行哪个区段内，就表示相继两次呼救的时间间隔。例如就表示相继两次呼救的时间间隔。例如 0.0916 0.237，k=2，相隔，相隔2（t），），10分钟；分钟；0.783 0.887，k=6，相隔相隔6（t），），30分钟分钟。救护车一次救护行动的时间救护车一次救护行动的时间T（

26、救护车开出到送完病人回来）也是服从泊松分布的随机变（救护车开出到送完病人回来）也是服从泊松分布的随机变量，量，其平均值是其平均值是45分钟分钟。和前面一样，以。和前面一样，以5分钟为服务时间单位分钟为服务时间单位t，于是平均服务时间就是，于是平均服务时间就是 9（t），），上式的上式的=9。K=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，。k 3表示救护车出去不到表示救护车出去不到15分钟就回来，分钟就回来，k=8表示出去一次用了表示出去一次用了40分钟，分钟，。时距、概率和累。时距、概率和累积概率计算列表如下：积概率计算列表如下：0，1，2，3，4，5，6，

27、7，8，9，10 110.000123 0.00111 0.0050 0.0150 0.0337 0.0607 0.0911 0.1171 0.1318 0.1318 0.1186 0.0970 0.000123 0.00123 0.0062 0.0212 0.0549 0.1156 0.2067 0.3238 0.4556 0.5874 0.7182 0.8152 12，13，14，15，16，0.0727 0.0504 0.0324 0.0194 0.0109 0.8879 0.9383 0.9707 0.9871 0.9980 在计算机上产生一个（在计算机上产生一个（0，1）上均匀分布的

28、随机数）上均匀分布的随机数，看其落在第三行哪个区段，看其落在第三行哪个区段内，就表示救护车一次出行的服务时间。例如内，就表示救护车一次出行的服务时间。例如 0 0.000123，K=1，表示救护车出去，表示救护车出去5分钟就回来了，这个概率极小；而分钟就回来了，这个概率极小；而0.3238 0.4556，K=8，表示救护车外出服务时，表示救护车外出服务时间是间是40分钟分钟。如果急救站的救护车不止一辆，其他救护车的服务时间同样模拟。如果急救站的救护车不止一辆，其他救护车的服务时间同样模拟。于是整个急救站工作就可以模拟：起始条件于是整个急救站工作就可以模拟：起始条件t=0时，站上有车，开始时，站

29、上有车，开始计时。先生成（计时。先生成（0，1）上均匀分布的随机数）上均匀分布的随机数 1，确定第一个呼救电话的时，确定第一个呼救电话的时间间隔间间隔 k1t（t是是5分钟），即分钟），即 t=k1t时，时，第一个呼救电话到来，救护第一个呼救电话到来，救护车出发。然后再生成第二个随机数车出发。然后再生成第二个随机数 2，确定第二个呼救电话的时间间隔确定第二个呼救电话的时间间隔k2t。但同时生成（。但同时生成（0，1）上均匀分布的随机数）上均匀分布的随机数，以确定出发的救护车，以确定出发的救护车在外的服务时间在外的服务时间T，如果，如果T小于小于第二个呼救电话的时间间隔第二个呼救电话的时间间隔k

30、2t，表示救护，表示救护车已经回来，可以再出车；车已经回来，可以再出车；如果如果T大于大于第二个呼救电话的时间间隔第二个呼救电话的时间间隔k2t，表示出去的救护车还没有回来，如果站上只配了表示出去的救护车还没有回来，如果站上只配了1辆救护车，此时无车可辆救护车，此时无车可派，如果站上配了派，如果站上配了2辆救护车，第辆救护车，第2辆车出发，并再生成（辆车出发，并再生成（0，1）上均匀分）上均匀分布的随机数布的随机数，以确定第二辆出发的救护车在外的时间，什么时候可以回，以确定第二辆出发的救护车在外的时间，什么时候可以回来来。然后生成第。然后生成第3个随机数个随机数 3，确定下一个呼救电话的时间间

31、隔，并查看，确定下一个呼救电话的时间间隔，并查看是否有救护车已经完成任务，回到急救站，等候派车。重复上述过程，并是否有救护车已经完成任务，回到急救站，等候派车。重复上述过程，并累计计时，检查是否出现呼救电话打来，站上无车可派（出去的车还没有累计计时，检查是否出现呼救电话打来，站上无车可派（出去的车还没有回来）情况的出现。也可以允许电话打来，回来）情况的出现。也可以允许电话打来，有短时间（例如有短时间（例如5分钟之内）分钟之内）的等待。的等待。先配先配1辆车，长时间（试验次数很多）地模拟，如果出现较多的等待辆车，长时间（试验次数很多）地模拟，如果出现较多的等待的次数，就配的次数，就配2辆车，再长

32、时间模拟，辆车，再长时间模拟，随机数的生成随机数的生成 蒙特卡罗模拟的关键是生成随机数。在计算机实现中蒙特卡罗模拟的关键是生成随机数。在计算机实现中,是通过确定是通过确定性的算法生成随机数。在模拟中，需要产生各种概率分布的随机数，性的算法生成随机数。在模拟中，需要产生各种概率分布的随机数，而而U(0,1)U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率分布随机数的基础，的均匀分布的随机数，是生成其他概率分布随机数的基础，大多数概率分布的随机数可以由均匀分布大多数概率分布的随机数可以由均匀分布U(0,1)U(0,1)的随机数变换产生。的随机数变换产生。平均分布平均分布指数分布指数分布常见的概率分布常见的概率分布其他还有：其他还有：分布，分布，分布，分布，2分布，分布，t分布，分布，表中表中R就是满足概率分布的随机数，由（就是满足概率分布的随机数，由（0，1）上均匀分布随机数）上均匀分布随机数 产生。产生。期末考试时间：时间：115人 06.17一 下午 明理楼112(83)明理楼316(36)闭卷答疑时间：6月16日 上午9:00-晚9:00 中央主楼104