数值分析1.ppt

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1、 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系数值分析数值分析 能够做什么？IntroductionIntroduction1.1 1.1 数值分析的研究对象和特点数值分析的研究对象和特点 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 数值分析数值分析是研究用计算机求解各种数是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。学问题的数值方法及其理论的一门学科。数值分析也称为数值计算方法。数值分析也称为数值计算方法。数值逼近数值逼近 (Ch.2 4)研究对象研究对象由数学模型提出求解的由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。

2、然后进行误差分析。内容内容数值代数数值代数 (Ch.5 7)微分方程数值解微分方程数值解 (Ch.8,9)第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系方法方法:u 构造性构造性u 递推性递推性u 离散化离散化u 近似替代近似替代计算离散点上的近似值计算离散点上的近似值方法的构造，解的存在唯一性的证明方法的构造，解的存在唯一性的证明复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）（适合计算机计算）在误差允许的范围内，无限次的计算用在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代有限次计算替代 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系特

3、点特点:1 1、方法是近似的；、方法是近似的；2 2、与计算机不能分离：上机实习、与计算机不能分离：上机实习 （掌握一门语言：（掌握一门语言：C C语言或语言或FortranFortran语言，语言，会用一种数学软件：会用一种数学软件：MatlabMatlab 或或MathematicaMathematica ，MapleMaple）在我们今后的讨论中，在我们今后的讨论中，误差误差将不可回避，将不可回避，上机实习是需要大家创造条件完成的上机实习是需要大家创造条件完成的 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系用用计算机解决实际问题的步骤计算机解决实际问题的步骤 结果分析结果分析结果分析结

4、果分析上机计算结果上机计算结果编写程序编写程序选择数值方法选择数值方法建立数学模型建立数学模型 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法作为数值分析的基础知识，本课程不可能面面俱到。除构造算法外，各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们外，各章根据内容自身的特点，讨论的问题有所侧重。学习时我们首首先先要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与要注意掌握方法的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本

5、理论。其次其次，要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方要通过例子，学习使用各种数值方法解决实际计算问题，熟悉数值方法的计算过程。法的计算过程。最后最后，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理，为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理论分析与计算练习。论分析与计算练习。小结：小结：用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉用计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，及多方面的理论，例如，算法的收敛性和稳定性等。除理论分析外，一个数值方法是否有效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值一个数值方法是否有

6、效，最终要通过大量的数值实验来检验。数值计算方法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。计算方法具有理论性、实用性和实践性都很强的特点。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.2 误差误差总结总结1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差计算机中数的表示和舍入误差1.2.3 函数求值的误差估计函数求值的误差估计1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字 1.2.1 误差的来源与分类误差的来源与分类 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.2 误差误差 /*Error*/学习目标学习目标 掌握误差和有效数字、以及掌握误差和有效数字、以及算法的数值稳定性等概念；重点算法的数值稳定性等

7、概念；重点是有效数字与相对误差的关系。是有效数字与相对误差的关系。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.2.1 误差的来源与分类误差的来源与分类/*Source&Classification*/误差在我们的日常生活中无处误差在我们的日常生活中无处不在，无处不有，如在做热力学实不在，无处不有，如在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是验中，从温度计上读出的温度是23.423.4度，就不是一个精确的值，而度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似值。又如量体裁是含有误差的近似值。又如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。的，都含有误差。第一章

8、 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 从实际问题中抽象出数学模型从实际问题中抽象出数学模型 模型误差模型误差 /*Modeling Error*/通过测量得到模型中参数的值通过测量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 /*Measurement Error*/求近似解求近似解 方法误差方法误差(截断误差截断误差 Truncation Error）机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差 /*Roundoff Error*/第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问

9、题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含这就要对实际问题进行抽象、简化，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差有误差，这种误差叫做模型误差数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述量的描述数学模型的准确解与实际问题的真解不同数学模型的准确解与实际问题的真解不同实际问题的实际问题的真解真解数学模型的数学模型的真解真解为减化模型忽略次要因素为减化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立定理在特定条件下建立与实际条件有别与实际条件有别(1)(1).模型误差模型误差 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系在数学模型中通常

10、包含各种各样的参变量，如温度、长在数学模型中通常包含各种各样的参变量，如温度、长度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也度、电压等，这些参数往往是通过观测得到的，因此也带来了误差，这种误差叫观测误差带来了误差，这种误差叫观测误差.数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的.由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数使数据含有测量误差据含有测量误差,这类误差叫做这类误差叫做观测误差或数据误差观测误差或数据误差.根据实际情况可以得到误差上下界根据实际情况可以得到误差上下界.数值方法中需

11、要了解观测误差数值方法中需要了解观测误差,以便选择合理的数值方法以便选择合理的数值方法与之适应与之适应.(2 2).观测误差观测误差 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系数值运算的一个特点是：数值运算的一个特点是：参参与与运运算算的的数数必必须须是是有有限限位位的的，而而且且位位数数往往往往是是预预先先规规定定的的（如如在在计计算算机机高高级级语语言言中中，单单精精度度实实数数为为6 67 7位位有有效效数数字字）。如如果果运运算算的的数数是是无无限限位位的的或或超超过过规规定定，那那么么要要用用“四四舍舍五五入入”规规则则或或“截截断断”规规则则，将它们处理成规定的位数。将它们处理

12、成规定的位数。所谓所谓“截断截断”规则规则就是：将超过规定位就是：将超过规定位数的部分无条件地去掉。这样数的部分无条件地去掉。这样 取取4 4 位位小数，就为小数，就为3.14153.1415。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系精确公式用近似公式代替时精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫所产生的误差叫截断误差截断误差.例如例如,函数函数f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)(Taylor)多项式多项式 (3 3).截断误差截断误差（介于介于0 0与与x之间）之间）近似代替，则数值方法的截断误差是近似代替，则数值方法的截断误差是p 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算截断误差

13、的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差.第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例如，对函数例如，对函数当当|x|较小时，我们若用前三项作为较小时，我们若用前三项作为sinx的近似值，的近似值，则截断误差的绝对值不超过则截断误差的绝对值不超过 .有的计算机是采用有的计算机是采用“截断截断”规则的规则的,但大多数但大多数计算机是采用计算机是采用“四舍五入四舍五入”规则规则处理舍弃位数处理舍弃位数的。的。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算在数值计算中只能对有限位字长

14、的数值进行运算.需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理作，这种处理工作称作舍入处理.用有限位数字代替精确数，这种误差叫做用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误差舍入误差，是数，是数值计算中必须考虑的一类误差值计算中必须考虑的一类误差.(4 4).舍入误差舍入误差“四舍五入四舍五入”规则规则:四舍六入五成双四舍六入五成双 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 所谓所谓“四舍五入四舍五入”规则就是：将超过规定位数的部分按下列原则去规则就是：将超过规定位数的部分按下列原则去掉：掉：(1)如果舍弃的

15、部分小于保留数的最后一位的单位的如果舍弃的部分小于保留数的最后一位的单位的1/2，那么保留，那么保留的数不变。的数不变。例如例如=3.1415926，如果取两位小数，那么保留数的最后，如果取两位小数，那么保留数的最后一位单位是一位单位是10-2，舍弃部分是，舍弃部分是0.15926 10-2，小于，小于0.5 10-2，因，因此取为此取为3.14;(2)如果舍弃的部分大于所保留数的最后一位单位的如果舍弃的部分大于所保留数的最后一位单位的1/2，那么将保，那么将保留数最后一位数字加留数最后一位数字加1。例如限制例如限制 取取4位小数，最后一位单位为位小数，最后一位单位为10-4，但去掉的部分是，

16、但去掉的部分是0.926 10-4，大于，大于0.5 10-4，因此取成，因此取成3.1416;(3)如果舍弃的部分恰等于所保留数的最后一位单位的如果舍弃的部分恰等于所保留数的最后一位单位的1/2，此时如果，此时如果保留的数最后一位是奇数，那么加保留的数最后一位是奇数，那么加1成偶数；如果保留的数最后一位成偶数；如果保留的数最后一位是偶数，则就不动了。是偶数，则就不动了。例如：取例如：取2位小数，位小数，0.675成成0.68，而，而0.605成成0.60。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 上述种种误差都会影响计算结果的准确上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究

17、误差，在数值计算性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析们的传播与积累作出分析.第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.2.2 误差与有效数字误差与有效数字(Error and Significant Digits)定义定义 1.1 设设 是某实数的精确值，是某实数的精确值，是它的一个近似值，是它的一个近似值，则称则称 为近似值为近似值 的的绝对误差绝对误差.（xA有时也可记作有时也可记作x*）绝对误差绝对误差 /*absolute error*/绝对误差界（限）绝对误差界（限）由于精确值

18、一般是未知的由于精确值一般是未知的,因而因而绝对误差绝对误差不能求不能求出来出来,但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。定义定义1.2 设设 是某实值的精确值，是某实值的精确值，是它的一个近似值，是它的一个近似值，并可对并可对 的绝对误差作估计的绝对误差作估计 ,则称则称 是是 的的绝绝对误差界对误差界(限限)。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例1 设设=3.1415926 近似值近似值 A=3.14,它的绝对误差是它的绝对误差是0.001592

19、6，有，有 -A =0.0015926 0.002=0.2 10-2可见，可见，绝对误差限绝对误差限 A A不是唯一的，但不是唯一的，但 A A越小越好越小越好,绝对误差限都不超过末尾数字的半个单位。绝对误差限都不超过末尾数字的半个单位。例例2 又近似值又近似值 A =3.1416=3.1416，它的绝对误差是，它的绝对误差是0.00000740.0000074，有，有|-A|=0.0000074 0.000008=0.8 10-5例例3 而近似值而近似值 A=3.1415=3.1415，它的绝对误差是，它的绝对误差是0.00009260.0000926，有，有|-A A|=0.0000926

20、|=0.0000926 0.0001=0.10.0001=0.1 1010-3-3 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 相对误差相对误差 /*relative error*/相对误差界（限）相对误差界（限）只用绝对误差还不能说明数的近似程度只用绝对误差还不能说明数的近似程度,例如甲打字每例如甲打字每100100个错一个个错一个,乙打字每乙打字每10001000个错一个个错一个,他们的误差都是错一他们的误差都是错一个个,但显然乙要准确些但显然乙要准确些,这就启发我们除了要看绝对误差外这就启发我们除了要看绝对误差外,还必须顾及量的本身。还必须顾及量的本身。称为称为xA A的的相对误差相

21、对误差。当当 时，相对误差没有意义。在实际计算中，精确值时，相对误差没有意义。在实际计算中，精确值 往往是不往往是不知道的，所以通常把知道的，所以通常把 作为作为 的相对误差。的相对误差。称称 R为为 的的相对误差限相对误差限。定义定义1.31.3 绝对误差与精确值绝对误差与精确值x x的比值的比值 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例4 4解解但但 是是 的一个的一个好的近似好的近似，不是不是 的的好的近似好的近似.结论结论?俗称俗称“好坏好坏”、“多少多少”是相对的是相对的 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系相对误差相对误差 是一个无量纲的数是一个无量纲的数 近似

22、数的相对误差是近似数精确度的基本近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量度量,一个近似数一个近似数 的相对误差越小，则近似数越的相对误差越小，则近似数越精确。精确。结论结论 通常将通常将 作为作为 的相对误差。的相对误差。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系解解 因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不超过最小刻度的半个单位不超过最小刻度的半个单位，所以当，所以当 时，有时，有 ，其相对误差界为，其相对误差界为例例5 5 测量一木板长是测量一木板长是954cm954cm，问测量的相对误差界是，问测量的相对误差界是是多大？是多大？第

23、一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 有效数字有效数字（significant digits）1.定义定义：如果绝对误差限：如果绝对误差限 ，则称近似数，则称近似数xA 准确到了准确到了n位小数，该数位到第一个非零数字的所有数位位小数，该数位到第一个非零数字的所有数位叫做该近似数的有效数位，有效数位上的数字叫做有效叫做该近似数的有效数位，有效数位上的数字叫做有效数字。数字。问：问：有几位有效数字？请证明你的结论。有几位有效数字？请证明你的结论。例例6 精确到小数点后第精确到小数点后第 4 位位,有有5位有效数字位有效数字.第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 2.有效数字的等

24、价定义有效数字的等价定义用十进制科学计数法，记用十进制科学计数法，记则称则称 为为 的具有的具有 位位有效数字有效数字的近似值。的近似值。通常在通常在 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可作为近似值，就采用四舍五入得到的近似值，其绝对误差界可以取被保留的最后数位上的半个单位。以取被保留的最后数位上的半个单位。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例7 7.3.142.3.142作为作为的近似值时有几位有效数字的近似值时有几位有效数字解：解：3.1415923.141592=0.314

25、1592=0.3141592 3.142=0.3142 3.142=0.3142 k=1 =1|-3.142|=|0.3141592-3.142|=|0.3141592 -0.3142 -0.3142|0.0000410.000041 0.0005=0.0005=k n=1n=3 所以所以 n=4 4，具有具有4 4位有效数字位有效数字 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系k-n=-2,即即 n=3,3位有效数字，位有效数字，k-n=-4,即即 n=5,5位有效数字位有效数字练习练习有效数字的位数不能仅考虑有效数字的位数不能仅考虑 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1位有

26、效数字，即位有效数字，即n=15位有效数字，即位有效数字，即n=5但但例例8最多有最多有5位位有效数字有效数字显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差越小，反之也对。下面，我们给出相对误差界与有效数字的关系。们给出相对误差界与有效数字的关系。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 定理定理 设设 的近似值的近似值 有（有（1.2.1）的表达式。）的表达式。（1）如果）如果 有有 位有效数字，则位有效数字，则（1.2.2）则则 至少具至少具 位有效数字。位有效数字。（2）如果）如果（1.2.3）有效数字的位数有效数字的位数估

27、计相对误差限估计相对误差限有效数字的位数越多，相对误差限就越小有效数字的位数越多，相对误差限就越小相对误差限估计有相对误差限估计有效数字的位数效数字的位数相对误差限越小，相对误差限越小，有效数字的位数就越多有效数字的位数就越多3.有效数字与相对误差之间的关系有效数字与相对误差之间的关系 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系证证 由（由（1.2.1）可得到）可得到（1.2.4）所以，当所以，当 有有 位有效数字时，位有效数字时，即（即（1.2.2）得证。）得证。定理定理 设设 的近似值的近似值 有（有（1.2.1）的表达式。）的表达式。（1）如果）如果 有有 位有效数字，则位有效数字，

28、则（1.2.2）第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系由（由（1.2.3）和（）和（1.2.4）有）有 即说明即说明 有有 位有效数字，（位有效数字，（2）得证。）得证。证证 定理定理 设设 的近似值的近似值 有（有（1.2.1）的表达式。）的表达式。则则 至少具至少具 位有效数字。位有效数字。（2）如果）如果（1.2.3）第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例9 9 取取3.143.14作为作为 的四舍五入的近似值的四舍五入的近似值时，求其相对误差。时，求其相对误差。解：解：3.14=0.314 3.14=0.314 10101 1 a1 1=3 =3 k=1=1 四舍五

29、入的近似值四舍五入的近似值,其各位都是有其各位都是有效数字效数字 n=3=3 R R=(1/2(1/2a1 1)1010-(n-1)-(n-1)=(1/2*3)=(1/2*3)1010-2-2=17%=17%第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例1010 已知近似数已知近似数xA有两位有效数字，试求其相有两位有效数字，试求其相 对误差限对误差限.解：解：3.14=0.314 101 a1=3 m=1 四舍五入的近似值四舍五入的近似值,其各位都是有效数字其各位都是有效数字 n=3 R=(1/2a1)10-(n-1)=(1/2*3)10-2=17%xA A的第一位有效数字的第一位有效数

30、字a1 1没有给出，可进行如下讨论：没有给出，可进行如下讨论：当当 a1 1=1 =1 R R=1/2=1/2a1 1 1010-1-1=1/2*1=1/2*1 1010-1-1=5%=5%a1 1=9 =9 R R=1/2=1/2a1 1 1010-1-1=1/2*9=1/2*9 1010-1-1=0.56%=0.56%取取 a1 1=1=1 时相对误差为最大，即时相对误差为最大，即 5%5%第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 例例11 已知近似数已知近似数 的相对误差界为的相对误差界为0.3%，问，问 至少有几位有效数至少有几位有效数字？字？解解 设设 有有 位有效数字，由于位

31、有效数字，由于 的第一个有效数的第一个有效数 没有具体给定，没有具体给定，而我们知道而我们知道 一定是一定是1，2，9中的一个，由中的一个，由故由（故由（1.2.3）式知）式知 =2，即，即 至少有至少有2位有效数字位有效数字。Ax 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 注意注意:已知有效数字已知有效数字,求相对误差用公式求相对误差用公式 已知相对误差已知相对误差,求具有几位有效数字公式求具有几位有效数字公式 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 1.2.3 函数求值的误差估计函数求值的误差估计 对一元函数对一元函数 ,自变量自变量 x的一个近似值为的一个近似值为 ，以以

32、近似近似 ，其误差界记作，其误差界记作 。若若 具有具有2阶连续导数，由阶连续导数，由Taylor展开式展开式 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系其中其中 可以得到函数值的一个近可以得到函数值的一个近似误差界：似误差界：对对n元函数元函数 ，自变量，自变量 的近似值分别为的近似值分别为 ，则有，则有特别地，对特别地，对 有有同样，可以得到同样，可以得到 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系解解 这里这里 并且有并且有 于是有误差界于是有误差界相对误差界相对误差界 例例13 设有长为设有长为 ,宽为宽为 的某场地。现测得的某场地。现测得 的近似值的近似值 M,d 的近似值的

33、近似值 =90M，并已知它们的差界为，并已知它们的差界为 试估计该场地面积试估计该场地面积 的误差界和相对误差界。的误差界和相对误差界。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例14 设有三个近似数设有三个近似数它们都有三位有效数字。试计算它们都有三位有效数字。试计算 的误差界，并问的误差界，并问 的计算结的计算结果能有几位有效数字？果能有几位有效数字？解解 于是有误差界于是有误差界 相对误差界相对误差界因为因为 所以所以 能有两位有效数字。能有两位有效数字。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.2.4 计算机中数的表示和舍入误差计算机中数的表示和舍入误差 任意一个非零实数

34、用（任意一个非零实数用（1.2.1）表示，是规格化的十进制科学记数方法。）表示，是规格化的十进制科学记数方法。在计算机中通常采用二进制的数系（或其变形的十六进制等），并且表在计算机中通常采用二进制的数系（或其变形的十六进制等），并且表示成与十进制类似的规格化形式，即浮点形式示成与十进制类似的规格化形式，即浮点形式 这里整数这里整数m称为称为阶码阶码，用二进制表示为，用二进制表示为 或或1 ,S是阶的位数。小数是阶的位数。小数 称为称为尾数尾数，其中，其中 或或 t是尾数部位的位数。是尾数部位的位数。S和和t与具体的机器有关。与具体的机器有关。由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表示的数

35、系是一个特由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表示的数系是一个特殊的离散集合，此集合的数称为殊的离散集合，此集合的数称为机器数机器数。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系十进制输入计算机时转换成二进制，并对十进制输入计算机时转换成二进制，并对 位后面的数做舍入处理，位后面的数做舍入处理，使得尾数为使得尾数为 位，因此一般都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，位，因此一般都有舍入误差。两个二进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似对计算结果也要作类似 的舍入处理，使得尾数为的舍入处理，使得尾数为 位，从而也有舍入误差。位，从而也有舍入误差。在实现计算时，计算的最后结果与计算的

36、精确解之间的误差，从根本上在实现计算时，计算的最后结果与计算的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍入误差造成的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。因此说是由机器的舍入误差造成的，包括输入数据和算术运算的舍入误差。因此有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误差有一个初步的了解。有时为了有必要对计算机数的浮点表示方法和舍入误差有一个初步的了解。有时为了分析某一个计算方法可能出现的误差现象，为了适应人们的习惯，我们会采分析某一个计算方法可能出现的误差现象，为了适应人们的习惯，我们会采用十进制实数系统进行误差分析。用十进制实数系统进行误差分析。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.3 数

37、值稳定性和要注意的若干原则数值稳定性和要注意的若干原则1.3.3 减少运算次数减少运算次数1.3.2 避免有效数字的损失避免有效数字的损失1.3.1 数值方法的稳定性数值方法的稳定性 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.3 数值稳定性和要数值稳定性和要注意的若干原则注意的若干原则学习目标：学习目标：掌握数值运算中避免大误掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则。差产生的若干准则。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 定义定义 1.4 对于某个数值计算方法，如果输入数据的误差在计算过对于某个数值计算方法，如果输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则称该算法是程中迅

38、速增长而得不到控制，则称该算法是数值不稳定数值不稳定的，否则是的，否则是数数值稳定值稳定的。的。举例说明如下。举例说明如下。例例1 计算积分值计算积分值解解 由于要计算系列的积分值，我们先推导由于要计算系列的积分值，我们先推导 的一个递推公式。的一个递推公式。由由1.3.1 数值方法的稳定性数值方法的稳定性 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系可得下面两个递推算法。可得下面两个递推算法。算法算法 1：算法算法 2：直接计算可得直接计算可得 如果我们用四位数字计算，得如果我们用四位数字计算，得 的近似的近似值为值为 。记。记 ，为为 的近似值。的近似值。对算法对算法 1，有，有按以上初

39、始值按以上初始值 的取法有的取法有 ，事实上，事实上 。这样，我。这样，我们得到们得到 。这个数已经大大超过了。这个数已经大大超过了 的大小，所以的大小，所以 连一连一位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。逆向递推公式逆向递推公式 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系对算法对算法 2，有，有 可取可取 的一个近似值为的一个近似值为 对对 有有 。如果我们能够给出如果我们能够给出 的一个近似值的一个近似值,则可由算法则可由算法2 2计算计算 的近似值的近似值.并且并且,即使即使 较大较大,得到的近似值的得到的近似值的误差将较小误差将较小.由于由于 第一

40、章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 按按 和和 ，分别按算法，分别按算法1和和2计算，计算结果如表计算，计算结果如表 1-1，其中，其中 为算法为算法1的计算值，的计算值，为算法为算法2的计算值。易知，对于任何自的计算值。易知，对于任何自然数然数 ，都有，都有 ，并且，并且 单调递减。可见，算法单调递减。可见，算法1是不稳定的，算是不稳定的，算法法2是稳定的。是稳定的。（四位）（四位）表表 1-1用递推关系进行计算时必须注意误差的积累用递推关系进行计算时必须注意误差的积累.第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 当然，数值不稳定的方法一般在实际计算中不能采用。数值不稳定的现当然

41、，数值不稳定的方法一般在实际计算中不能采用。数值不稳定的现象属于误差危害现象。下面讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题。象属于误差危害现象。下面讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题。1.3.2 避免有效数字的损失避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算机位数有限，如不注意，如不注意，“小数小数”的作用可能消失，即出现的作用可能消失，即出现“大数大数”吃吃“小数小数”的现象。的现象。例例2 用三位十进制数字计算用三位十进制数字计算其中其中 如果我们自左至右逐个相加，则所如果我们自左至右逐个相加，

42、则所有的有的 都会被舍掉，得都会被舍掉，得 。但若把所有的。但若把所有的 先加起来，再与先加起来，再与101相加，就有相加，就有可见，计算的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时，可见，计算的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时，在运算中要在运算中要“对阶对阶”，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失。个相近数相减会使有效数字严重损失。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 例例

43、3 求实系数二次方程求实系数二次方程 的根，其中的根，其中 解解 考虑两种解法。考虑两种解法。算法算法 1：算法算法2:其中其中sgn表示取数的符号，即表示取数的符号，即对算法对算法1，若，若 ，则是不稳定的，否则是稳定的。这是因为前一种，则是不稳定的，否则是稳定的。这是因为前一种情况的分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，从而有一个结果的误差情况的分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，从而有一个结果的误差很大。算法很大。算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的。因此称算法不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的。因此称算法1是条件是条件稳定的，算法稳定的，算法2是无条件稳定的是无条

44、件稳定的。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例如，对于方程例如，对于方程用用4位有效数字计算，结果如下位有效数字计算，结果如下：算法算法1：算法算法2：准确解是准确解是 。这里。这里 所以算法所以算法1不稳定，舍入误差对不稳定，舍入误差对 的影响大。的影响大。遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失。例如，我们有如下的变换公式：字的损失。例如，我们有如下的变换公式：第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系如果无法改变算法，则采用增加有效位数进行计算，或在计算上采用双精如果无法改变算法，则采

45、用增加有效位数进行计算，或在计算上采用双精度运算但这要增加机器计算的时间和多占内存单元。度运算但这要增加机器计算的时间和多占内存单元。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.3.3 减少运算次数减少运算次数在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析所在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析所要研究的重要内容。同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可以节省要研究的重要内容。同样一个计算问题，如果能减少运算次数，不但可以节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累。下面举例说明简化计算公式的重要计算机的计算时间，还能减少误差的积累。下面举例说明简

46、化计算公式的重要性。性。的值。如果我们先求的值。如果我们先求 ，需要进行，需要进行k次乘法，在相加，则需要次乘法，在相加，则需要 次乘法和次乘法和n 次加法才能得到一个多项式的值。如果我们将多项式写成下面的次加法才能得到一个多项式的值。如果我们将多项式写成下面的形式形式 例例4 给定给定x，计算多项式，计算多项式则只需则只需n次乘法和次乘法和n次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法秦九韶算法，可描述为，可描述为最后有最后有 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系例例5 利用级数利用级数计算计算 ，若要精确到，若要精确到 ，要计算，

47、要计算10万项求和。这一方面计万项求和。这一方面计算量很大，另一方面舍入误差的积累也十分严重。算量很大，另一方面舍入误差的积累也十分严重。来计算来计算 ，取，取 ，则只要计算前，则只要计算前9项，截断误差便小项，截断误差便小于于 。如果该用级数如果该用级数 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.4 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数1.4.2 矩阵的范数及其性质矩阵的范数及其性质1.4.1 向量的范数及其性质向量的范数及其性质 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系1.4 1.4 向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数学习目标：学习目标：掌握向量范数、矩阵范数等概念。掌握向量范数、

48、矩阵范数等概念。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度长度”和和“距离距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的对向量和矩阵的“大小大小”引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推引进某种度量。范数是绝对值概念的自然推广。广。1.4 向量和矩阵范数向量和矩阵范数范数范数是对向量和矩阵的一种度量是

49、对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广量长度概念的一种推广.数域数域:数的集合数的集合,对加法和乘法封闭对加法和乘法封闭线性空间线性空间:可简化为向量的集合可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘对向量的加法和数量乘法封闭法封闭,也称为也称为向量空间向量空间有理数、实数、复数数域 第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系 1.4.1 1.4.1 向量范数向量范数 (vector norms)定义定义1.5如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性：，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意

50、实数：对任意实数 ，都有，都有（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。定义定义1 如果向量如果向量 的某个实值函数的某个实值函数 满足：满足：（1）正定性正定性：，且，且 当且仅当当且仅当x=0；（2）齐次性齐次性：对任意实数：对任意实数 ，都有，都有（3）三角不等式三角不等式：对任意：对任意 x，y ，都有，都有则称则称 为为 上的一个上的一个向量范数向量范数。第一章 绪论土木工程数值分析上海大学土木工程系自己证自己证容易验证，向量的容易验证，向量的范数和范数和1范数满足定义范数满足定义1.5中的条件。对于中的条件。对