3-5第五节 函数的极值与最大值最小值.ppt

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1、 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第五节 函数的极值与最大值最小值 定义 设函数f(x)在点x0之某邻域内有定义,若对于该邻域内的一切x(x0除外),恒有xy.f(x0)f(x)(或f(x0)f(x)则称f(x)在点x0处取得极大值(或极小值),把x0点称为f(x)的极大值点(或极小值点)函数的极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 由函数极值之定义可知,其概念是一个局部性的概念.函数在某区间内某一点取得极大值(或极小值),在已给区间内,函数可能取得多个极大值和极小值

2、.在图中我们可看到极值处的导数是水平的,即可导函数在极值点的导数为0.定理1(必要条件)若函数f(x)在点x0可导且取得极值f(x0),则f(x0)=0,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明:设f(x0)为极大值,当正数h很小时,有由于f(x)在点x0可导,有它左右极限相等,有使f(x0)=0的点x0称为函数f(x)的驻点,高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理1 说明如果函数可微,只能在驻点处取得极值,取得极值的点称为极值点.还有是不可导的点.其他的点都不必考虑.但驻点不一定是极值点,例如y=x3,y(0)=0,x=0

3、不是极值点.为了研究极值点我们研究定理2定理2 (第一充分条件)设函数f(x)在点x0连续,且在x0的某 一空心邻域U0(x0,)内可导,x U0 (1)若x0;xx0时,f(x)0,则f(x0)为极大值.(2)若xx0时,f(x)x0时,f(x)0,则f(x0)为极小值.(3)若不论xx0,f(x)都不变号,则f(x0)不是极值.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明:我们只证明(1),同理可证明(2),(3).由(1)的假设和定理1知f(x)在(x0-,x0的邻域内递增,在x0,x0+)的邻域内递减,所以在(x0-,x0+)都有 f(x0)f(x)证明他

4、是极大值.x0 x0 x0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2 求函数f(x)=x2e-x的极值.解：f(x)=2xe-x-x2e-x=x(2-x)e-x,令f(x)=0,得到 x=0,x=2 x=0 当x0时,f(x)0 当0 x0 所以是极小值f(0)=0,x=2 当0 x0,当x2时,f(x)0,f(2)=4/e2是极大值 为了使我们容易判别极大值和极小值，现在研究定理3 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定理3 （第二充分条件）设函数f(x)在x0的某邻域内可 导,且f(x0)=0,f”(x0)0.(1)若f”

5、(x0)0,则f(x0)是极小值.证明:我们只证明(1),同理可以证明(2),因为因为f(x0)=0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系当x(x0-,x0)时f(x)0,当x(x0,x0+)时f(x)0,当0|x-x0|时,有f(x)/(x-x0)0,二阶导数表示切线的变化率x0 x0这里的记忆方法同曲线的凹凸性一样,上凸的必定是极大值.例3 求函数的极值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系解:由于x=0是不可导点,它的二阶导数不存在,只好用第一判别法.为极小值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数

6、数理理系系二 函数之最大值,最小值 函数的极值是局部性的,它是在某一个邻域内的函数的最大(小)值例如极值f(x1)在区间上它f(x1)f(x3)f(x4)f(x2)x1x2x3x4y=f(x)xy不是最值.最值是函数在区间内的最大或最小的函数值.它可能在区间内取到(此时它是极值),也可能在边界上得到(此时它不一定是极值).高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 在闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值.-闭区间的性质.求函数在闭区间内的最值的步骤是(1)计算f(x),求出(a,b)内的所有驻点和不可导点.即找到全(2)部 可能极值点.(2)计算上述各点的函数值.(3)比较上述函数值的大小,其中最大的是最大值,最小的(4)是最小值 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4 取函数 在0,2上的最大值和最小值解:及不可导的点x=1,区间的端点0,2 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 从一块边长为a的正方形铁皮的四角上剪去同样大小的小正方形,然后按虚线把四边折起来,组成无盖的盒子.问要去多大的小方块使盒子的容积最大?axx解：:设剪去小方块 的边长为x.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系