【数学】1.3.2 极大值与极小值 课件.ppt

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1、 第1章 导数及其应用1.3.2 极大值与极小值一一、知识回顾知识回顾：一般地一般地,设函数设函数y=f(x)y=f(x)在某个区间内可在某个区间内可导，则函数在该区间导，则函数在该区间 如果如果f f(x)0(x)0,如果如果f f(x(x)0)0,f(x)0,得函数单增区间得函数单增区间;解不等式解不等式f(xf(x)0,)0,得函数单减区间得函数单减区间.一一、知识回顾知识回顾：注意注意:如果在如果在某个区间内某个区间内恒有恒有f f(x(x)=0,)=0,则则f(xf(x)为常数函数为常数函数.当当x=xx=x0 0时时,f,f(x(x0 0)=0,)=0,且当且当x xx x0 0与

2、与x xx x0 0时f f(x(x0 0)异号，则函数在该点单调性发生改变异号，则函数在该点单调性发生改变.二、构建数学二、构建数学三、新课讲授三、新课讲授 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定义，及其附近有定义，如果如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函数值都大，我们附近所有各点的函数值都大，我们就说就说f(xf(x0 0)是函数的一个是函数的一个极大值极大值，记作，记作y y极大值极大值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是极大值点是极大值点。如果如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各点的函

3、数值都小，附近所有各点的函数值都小，我们就说我们就说f(xf(x0 0)是函数的一个是函数的一个极小值极小值。记作。记作y y极小值极小值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是极小值点是极小值点。极大值与极小值极大值与极小值统称为统称为极值极值.（一）、函数极值的定义（一）、函数极值的定义1 1、在在定定义义中中，取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点，极极值值点点是是自自变变量量(x)(x)的的值值，极极值值指指的是的是函数值函数值(y)(y)。注意注意2 2、极值是一个、极值是一个局部局部概念，极值只是某个点概念，极值只是某个点的函数值与它的函数值与它附近点附近点的函数值比较是最大

4、的函数值比较是最大或最小或最小,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义着它在函数的整个的定义域内最大或最小。域内最大或最小。3 3、函数的、函数的极值不是唯一极值不是唯一的即一个函数在某区间的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。4 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的个函数的极大值未必大于极小值极大值未必大于极小值，如下图所示，如下图所示，是极大值点，是极大值点，是极小值点，而是极小值点，而 （二）、极值与导数的关系（二）、极值与导数的关系XX1左侧左侧X1X1右侧右侧 增增极大

5、植极大植f(x1)减减XX2左侧左侧X2X2右侧右侧 减减极小植极小植f(x2)增增极大值与导数之间的关系极大值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系极小值与导数之间的关系（三）、导数的应用（三）、导数的应用例：例：求求f f（x x）x xx x的极值的极值.解：解：(3)(3)用用函函数数的的导导数数为为0 0的的点点，顺顺次次将将函函数数的的定定义义区区间间分分成成若若干干小小开开区区间间，并并列列成成表表格格.检检查查f f(x)(x)在在方方程程根根左左右右的的值的符号，求出极大值和极小值值的符号，求出极大值和极小值.小结：小结：求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤:

6、(1)(1)求导数求导数f f(x(x););(2)(2)求方程求方程f f(x)=0(x)=0的根；的根；(x(x为极值点为极值点.).)解：解：当当x x变化时，变化时，yy，y y的变化情况如下表的变化情况如下表例：例：求求 的极值的极值令令y=0y=0，解得解得x x1 1=2 2，x x2 2=2=2x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)+00+极大值极小值当当x=x=2 2时，时，y y有极大值且有极大值且y y极大值极大值=当当x=2x=2时，时，y y有极小值且有极小值且y y极小值极小值=例例3:3:下列函数中，下列函数中，x=0 x=0是极值点的函数是极值点的函数 是是

7、()()A.yA.y=x x3 3 B.B.y y=x=x2 2 C.yC.y=x=x2 2x x D.yD.y=1/x=1/x 分分析析：做做这这题题需需要要按按求求极极值值的的三三个个步步骤骤，一一个个一一个个求求出出来来吗吗？不不需需要要，因因为为它它只只要要判判断断x x=0=0是是否否是是极极值值点点，只只要要看看x x=0=0点点两两侧侧的的导导数数是是否否异号就可以了。异号就可以了。B四、课堂练习四、课堂练习1 1、下列说法正确的是下列说法正确的是()()A.A.函数在闭区间上的极大值一定比函数在闭区间上的极大值一定比 极小值大极小值大B.B.函数在闭区间上的最大值一定是函数在闭

8、区间上的最大值一定是 极大值极大值C.C.对于对于f(x)=xf(x)=x3 3+px+px2 2+2x+1+2x+1，若，若|p|p|，则则f(x)f(x)无极值无极值D.D.函数函数f(x)f(x)在区间在区间(a(a，b)b)上一定存在最值上一定存在最值Ca=2.a=2.2 2、函数函数 在在 处具有极值，求处具有极值，求a a的值的值分析：分析：f(x)f(x)在在 处有极值，根据一点是极值点的处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，必要条件可知，可求出可求出a a的值的值.解：解：，3 3、y=alnx+bxy=alnx+bx2 2+x+x在在x=1x=1和和x=2x=2处有极值，处有极值，求求a a、b b的值的值解：解：因为在因为在x=1和和x=2处处,导数为导数为0五、课堂小结五、课堂小结(3)(3)用用函函数数的的导导数数为为0 0的的点点，顺顺次次将将函函数数的的定定义义区区间间分分成成若若干干小小开开区区间间，并并列列成成表表格格.检检查查f f(x)(x)在在方方程程根根左左右右的的值的符号，求出极大值和极小值值的符号，求出极大值和极小值.求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤:(1)(1)求导数求导数f f(x(x););(2)(2)求方程求方程f f(x)=0(x)=0的根；的根；(x(x为极值点为极值点.).)