概率论第三章(四).ppt

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1、随机变量相互独立的定义随机变量相互独立的定义 课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量两事件两事件 A,B 独立的定义是：若独立的定义是：若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件 A,B 独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的若对任意的x,y,有有 则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.一、随机变量相互独立的定义一、随机变量相互独立的定义用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的若对任意的x,y,有有则称则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.它表明，两个它表明，两个r.v相互相互独立

2、时，它们的联合分布函独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积数等于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X和和Y的联合密度，的联合密度，几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称 X 和和 Y 相互相互独立独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性的定义则上述独立性的定义等价于：等价于：这里这里“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除的含义是：在平面上除去面积为去面积为 0 的集合外，处处成立的集合外，处处成立.分别是分别是X的边缘密度和的边缘密度和Y 的边缘密度的边缘密度.若若(X,Y)是离散型是离散型 r.v，则上述独立性的定义则上

3、述独立性的定义等价于：等价于：则称则称 X 和和Y 相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有 例例1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立？是否独立？解解x0 y 0二、例题二、例题即即可见对一切可见对一切 x,y,均有：均有：故故 X,Y 独立独立.若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样？情况又怎样？解解0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，故故 X 和和 Y 不独立不独立.例例2 甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12

4、:15到到12:45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:00到到13:00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分钟的概率分钟的概率.又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解 设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)所求为所求为P(|X-Y|5),甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人到达的时间不先到的人等待另一人到达的时间不超过

5、超过5分钟的概率分钟的概率P(XY)解一解一P(|X-Y|5)=P(-5 X-Y 5)P(XY)解二解二P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需停泊小时，乙船需停泊2小时，而该码头小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率的概率.在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻，信信号号进进入入收收音音机机是是等等

6、可可能能的的.若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒，则则信信号号将将产产生生互互相相干干扰扰.求求发发生生两两信信号互相干扰的概率号互相干扰的概率.盒内有盒内有 个白球个白球,个黑球个黑球,有放回地摸有放回地摸球球 例例3 两次两次.设设第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球试求试求(1)的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律;(2)判断判断 的相互独立性的相互独立性;(3)若改为无放回摸球若改为无放回摸球,解上述两个问题解上述两个问题.(1)的联合分布律及边缘

7、分布律的联合分布律及边缘分布律解解如下表所示如下表所示:(2)由上表可知由上表可知故故 的相互独立的相互独立.(3)的联合分布律及边缘分布律如下的联合分布律及边缘分布律如下表所示表所示:故故 不是相互独立不是相互独立.由上表知由上表知:可见可见三、课堂练习三、课堂练习 1.设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度是的概率密度是问问 X 和和 Y 是否相互独立是否相互独立?2.证明证明 对于二维正态随机变量对于二维正态随机变量(X,Y),X 和和 Y 相互独立的充要条件是参数相互独立的充要条件是参数 .这一讲，我们由两个事件相互独立的概念这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握们牢固掌握.四、小结四、小结五、布置作业五、布置作业概率统计概率统计标准化作业标准化作业(三三)