理论力学第十六章.ppt

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1、十二、钱的问题十二、钱的问题十二、钱的问题十二、钱的问题 社会生活中十二大著名法则:马克思说，金钱是马克思说，金钱是“人情的离心力人情的离心力”。当某人告诉你：当某人告诉你：“不是钱，而是原则问不是钱，而是原则问题题”时，十有八九就是钱的问题。时，十有八九就是钱的问题。1动力学 第第16章章 碰撞碰撞12/20/20222第十六章第十六章第十六章第十六章 碰撞碰撞碰撞碰撞161 碰撞的特征碰撞的特征 和恢复因数和恢复因数 162 研究碰撞过程的基本定理研究碰撞过程的基本定理163 两物体的对心正碰撞两物体的对心正碰撞 动能损失动能损失164 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的碰撞冲量对绕定轴转动刚体的

2、 作用作用 撞击中心撞击中心165 刚体碰撞问题举例刚体碰撞问题举例 3 在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象碰碰撞撞，物体发生碰撞时，会在非常短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。本章研究的主要内容有本章研究的主要内容有碰撞现象的特征，碰撞现象的特征，用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中用于碰撞过程的基本定理，碰撞过程中的动能损失，撞击中心。心。416-1碰撞的特征和恢复因数 碰撞现象的基本特征：碰撞现象的基本特征：物体的物体的运动速度运动速度或或动量动量在在极短极短的的时间内发生时间内发生有限的改变有限的改变。碰

3、撞时间之短往往以千分之一秒甚。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。非常大。运动着的物体突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）运动着的物体突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化的现象称为碰撞。时，其运动速度发生急剧的变化的现象称为碰撞。碰撞力（瞬时力）：碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。一、碰撞：5 (1)

4、在碰撞过程中，重力、弹性力等在碰撞过程中，重力、弹性力等普通力普通力与碰撞力相比与碰撞力相比小得多，小得多，其冲量可以忽略不计其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞。但必须注意，在碰撞前和碰撞后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。(2)由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始时和碰撞结束时的时和碰撞结束时的位置相同位置相同。二、两个基本假设：碰撞过程分为两碰撞过程分为两个阶段：个

5、阶段：三、恢复因数6第一阶段第一阶段：开始接触至变形达到最大。：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小该阶段中，小球动能减小,变形增大。变形增大。设碰撞冲量为设碰撞冲量为 ，则应用冲量定理在，则应用冲量定理在y 轴投影式轴投影式:第二阶段第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为 ，则：，则：一般地，对于给定材料，一般地，对于给定材料，|u|与与|v|的比值是不变的，该的比值是不变的，该比值称为比值称为恢复系数恢复系数。由实验测定由实验测定7

6、 一般一般0e1，为弹性，为弹性碰撞碰撞，e=1 理想情况理想情况完全弹性碰撞。完全弹性碰撞。e=0 极限极限情况情况非弹性碰撞或塑性碰撞。非弹性碰撞或塑性碰撞。各种材料的恢复系数，可查阅书中表格。各种材料的恢复系数，可查阅书中表格。8 1、碰撞的动量定理、碰撞的动量定理冲量定理冲量定理 在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用在理论力学中，我们关心的主要是由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定而使物体运动速度发生的变化。因此，动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的主要工具。理就成了研究碰撞问题的主要工具。设质点的质量为设质点的质量为 m，碰撞开始时的

7、速度碰撞开始时的速度 ，结束瞬时的速度，结束瞬时的速度 ，碰撞冲量，碰撞冲量 ，不计普通力的冲量，则质点动量定理的积分，不计普通力的冲量，则质点动量定理的积分形式为：形式为：16-2 研究碰撞过程的基本定理9 对于有对于有n个质点组成的质点系，则有：个质点组成的质点系，则有：或或 M为为质点系总质量，质点系总质量，分别为碰撞结束和碰撞开分别为碰撞结束和碰撞开始时质心的速度，始时质心的速度，表示外碰撞冲量。表示外碰撞冲量。碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰撞时质点系动量的改变等于作用在质点系上所有外碰撞冲量的矢量和。碰撞冲量的矢量和。10 由假设由假设(2)知，碰撞过程中，质点的矢

8、径知，碰撞过程中，质点的矢径 保持不变，保持不变，则有：则有：2、碰撞的动量矩定理、碰撞的动量矩定理冲量矩定理冲量矩定理 而而 ；为碰撞始末时质点对为碰撞始末时质点对O点的动量矩。所以：点的动量矩。所以：碰撞时，质点对任一固定点动量矩的改变，等于作用于该碰撞时，质点对任一固定点动量矩的改变，等于作用于该质点的碰撞冲量对同一点之矩。质点的碰撞冲量对同一点之矩。11 对于质点系对于质点系,由于内碰撞冲量对任一点的矩之和等于零由于内碰撞冲量对任一点的矩之和等于零,于是于是有：有：在碰撞过程中，质点系对任一固定点的动量矩的改变，等在碰撞过程中，质点系对任一固定点的动量矩的改变，等于作用于质点系的外碰撞

9、冲量，对同一点之矩的矢量和。于作用于质点系的外碰撞冲量，对同一点之矩的矢量和。12对心碰撞对心碰撞：碰撞时两物体质心的连线与接触点公法线重合。：碰撞时两物体质心的连线与接触点公法线重合。16-3 两球的正碰撞 动能损失对心正碰撞与对心斜碰撞对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时两质心的速度也都沿两质：碰撞时两质心的速度也都沿两质心连线方向，则称为对心正碰撞（正碰撞），否则称为对心心连线方向，则称为对心正碰撞（正碰撞），否则称为对心斜碰撞（斜碰撞）。斜碰撞（斜碰撞）。请看动画请看动画13 1、正碰撞结束时两质心的速度、正碰撞结束时两质心的速度例如：两物体碰撞例如：两物体碰撞 碰撞前：碰撞前：碰撞结束：碰

10、撞结束：（沿质心连线）（沿质心连线）分析碰撞结束时两质心的速度。分析碰撞结束时两质心的速度。14 研究对象：两物体组成的质点系。研究对象：两物体组成的质点系。由冲量定理，得：由冲量定理，得：分析：分析：列出补充方程：列出补充方程：（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地对于第一阶段：对于第一阶段：对于第二阶段：对于第二阶段：15 对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。联立联立(1),(2)

11、式，解得：式，解得：对于完全弹性碰撞（对于完全弹性碰撞（e=1）：）：(碰撞后两物体交换速度碰撞后两物体交换速度)16 对于塑性碰撞（对于塑性碰撞（e=0）：）：对于一般情况（对于一般情况（0e 1）：）：2、正碰撞过程中的动能损失、正碰撞过程中的动能损失 碰撞开始：碰撞开始：碰撞结束：碰撞结束：则动能损失：则动能损失：17 由正碰撞结束时两质心的速度公式知：由正碰撞结束时两质心的速度公式知：代入上式中，得：代入上式中，得：18 系统动能没有损失系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。或或塑性碰撞时损失的动能等于速度损耗的动能。塑性碰撞时损

12、失的动能等于速度损耗的动能。(1)对于完全弹性碰撞（对于完全弹性碰撞（e=1）：）：(2)对于塑性碰撞对于塑性碰撞（e=0）：）：若若v2=0，则则(3)对于弹性碰撞对于弹性碰撞（0e 1）：）：(恒为正值）恒为正值）19 例例1 打桩机。锤：打桩机。锤：m1，下落高度下落高度h；桩：桩：m2，下沉下沉 。两。两者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。解：碰撞开始时，解：碰撞开始时，锤速锤速 ，桩速桩速 塑性碰撞后，塑性碰撞后，根据动能定理根据动能定理,计算下沉计算下沉 过程中过程中,泥土对桩的平均阻力泥土对桩的平均阻力R。20 由于

13、右端前两项远比由于右端前两项远比第三项小第三项小,往往可以略去往往可以略去,于是上式可写为：于是上式可写为：21 例例2 汽锤锻压金属。汽锤汽锤锻压金属。汽锤m1=1000kg，锤件与砧块总质量锤件与砧块总质量m2=15000kg，恢复系数恢复系数k=0.6，求汽锤的效率。求汽锤的效率。若将锻件加热，可使若将锻件加热，可使k 减小。当达到一定温度时，可使减小。当达到一定温度时，可使锤不回跳，此时可近似认为锤不回跳，此时可近似认为k=0，于是汽锤效率于是汽锤效率:解：汽锤效率定义为解：汽锤效率定义为22 16-4 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴z 转动，转

14、动惯量为转动，转动惯量为JZ，受到外碰撞冲量受到外碰撞冲量 的作用。的作用。碰撞开始时碰撞开始时 碰撞结束时碰撞结束时 由冲量矩定理在由冲量矩定理在 z 轴上的投影式，有：轴上的投影式，有：23 下面研究碰撞时轴承反力的碰撞冲量下面研究碰撞时轴承反力的碰撞冲量 的计算及消除条件：的计算及消除条件：设刚体有对称面，绕垂直此平设刚体有对称面，绕垂直此平面的固定轴面的固定轴Oz转动，质量转动，质量M，质心质心C点且点且OC=a，作用在对称平面作用在对称平面内内K点，点，OK=l，则有则有:碰撞时刚体角速度的改变，等于作用于刚体的外碰撞冲碰撞时刚体角速度的改变，等于作用于刚体的外碰撞冲量对转轴之矩的代

15、数和量对转轴之矩的代数和 除以刚体对该轴的转动惯量。除以刚体对该轴的转动惯量。24 应用冲量定理，有应用冲量定理，有于是于是 若使刚体在轴承处不受碰撞若使刚体在轴承处不受碰撞冲量作用冲量作用,即使即使25 满足满足 的点的点k 称为撞击中心。称为撞击中心。欲使转动刚体（具有与欲使转动刚体（具有与 转轴垂直的转轴垂直的对称面）的轴承处不产生碰撞冲量，对称面）的轴承处不产生碰撞冲量，必须使碰撞冲量（作用在刚体对称面必须使碰撞冲量（作用在刚体对称面内）垂直于转轴内）垂直于转轴O与质心与质心C的连线，并的连线，并作用于撞击中心。作用于撞击中心。则须则须撞击中心的概念在实践中有许多应用。撞击中心的概念在

16、实践中有许多应用。26 例例3 均质杆质量均质杆质量M，长，长2a，可绕通过可绕通过O点且垂直于图面点且垂直于图面的轴转动，如图所示，杆由水平无初速落下，撞到一质量为的轴转动，如图所示，杆由水平无初速落下，撞到一质量为m 的固定物块。设恢复系数为的固定物块。设恢复系数为k，求碰撞后杆的角速度，碰撞时求碰撞后杆的角速度，碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。解：碰撞开始时，由动能定理：解：碰撞开始时，由动能定理：碰撞结束时：碰撞结束时：求得：求得：27 根据冲量定理，得：根据冲量定理，得：撞击中心的位置：撞击中心的位置：2816-5 刚体碰撞问题举例 例例1均质细

17、杆长均质细杆长l，质量为质量为m，速度为速度为 v 平行于杆，杆与地平行于杆，杆与地面成面成角，斜撞于光滑地面，如图所示。如为完全弹性碰撞，角，斜撞于光滑地面，如图所示。如为完全弹性碰撞，求撞后杆的角速度。求撞后杆的角速度。29解：解：（a）（b）（c）地面光滑，地面光滑，杆只受有杆只受有y方向的碰撞冲量方向的碰撞冲量I,故故有有选质心为基点选质心为基点有有沿沿y轴投影轴投影有有（d）30由恢复因数由恢复因数代入式（代入式（d）得得（e）由（由（b）和（）和（c）两式得）两式得（f）（g）由（由（f）（）（g）两式消去）两式消去S 得得代入式（代入式（e）解得解得31 2、研究碰撞问题的两个基

18、本假设：、研究碰撞问题的两个基本假设：(1)在碰撞过程中，普通力远远小于碰撞力，可以忽略不计；在碰撞过程中，普通力远远小于碰撞力，可以忽略不计；(2)物体在碰撞过程中不发生位移。物体在碰撞过程中不发生位移。小 结 1、碰撞现象的主要特征、碰撞现象的主要特征：碰撞过程时间极短，碰撞力非常大，它使物体的速度在极碰撞过程时间极短，碰撞力非常大，它使物体的速度在极短的时间内发生有限的变化。短的时间内发生有限的变化。3、研究碰撞问题的两个基本定理是冲量定理和冲量矩定理。、研究碰撞问题的两个基本定理是冲量定理和冲量矩定理。4、两物体碰撞的恢复系数、两物体碰撞的恢复系数 k 等于碰撞结束和开始时，两物体等于

19、碰撞结束和开始时，两物体接触点沿公法线方向相对速度大小的比值。接触点沿公法线方向相对速度大小的比值。32 当外碰撞冲量作用在刚体的垂直于转轴的对称面内的撞当外碰撞冲量作用在刚体的垂直于转轴的对称面内的撞击中心，且垂直于质心与轴心的连线时，可使轴承的反碰撞击中心，且垂直于质心与轴心的连线时，可使轴承的反碰撞冲量等于零。冲量等于零。0e 1 为弹性碰撞，为弹性碰撞，e=1为完全弹性碰撞，为完全弹性碰撞，e=0为非弹性为非弹性碰撞或塑性碰撞。碰撞或塑性碰撞。5、在碰撞过程中有动能损失、在碰撞过程中有动能损失，动能损失的多少取决于恢复系，动能损失的多少取决于恢复系数数k 值的大小。值的大小。6、作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度、作用于绕定轴转动刚体上的外碰撞冲量将引起刚体角速度的突变，并引起轴承的反碰撞冲量。的突变，并引起轴承的反碰撞冲量。33 34