第5章 债券价格波动性的衡量.ppt

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1、第第5 5章章 债券价格波动性的衡量债券价格波动性的衡量债券价格与收益反方面变动。市场利率票面利率，价格面值；市场利率票面利率，价格面值；市场利率面值。第一节第一节 债券价格与收益率的关系债券价格与收益率的关系随着到期日的临近，债券的价格向面值趋近。8%6%10%价格距到期日的年数价格的利率敏感性价格的利率敏感性：债券价格波动对收益率变化的敏感程度。一、票面利率大小与债券价格波动票面利率大小与债券价格波动 保持其他因素不变，票面利率越低，债券价格的利率敏感性越大，利率风险越大。第二节第二节 债券价格波动性的特点债券价格波动性的特点例1:有A、B两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年以后，相关

2、资料见表：AB票面利率8%10%面值(元)100100信用评级AaAa到期时间10年10年收益率8%8%价格(元)100.00113.59分别计算并比较收益率上升两个百分点时两者的价格波动百分比。A:-12.46%;B:-11.96%二、到期时间与债券价格波动保持其他因素不变时，长期债券的价格对利率变动的敏感性比短期债券更强。债券的到期时间越长，利率风险也就越大。随着到期时间的增长，价格的利率敏感性以递减的速度增加。例2.有三种息票债券A、B、C，半年付息一次，下一次付息在半年以后，其他资料如下：ABC票面利率8%8%8%面值(元)100100100信用评级AaAaAa到期时间5年10年15年

3、收益率8%8%8%价格(元)100.00100.00100.00分别计算并比较收益率上升两个百分点时三者的价格波动百分比。-7.72%-12.46%-15.37%三、债券价格波动的不对称性 即债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感。价格收益率四、初始收益率与债券价格波动其他因素不变时，初始收益率水平越低，债券价格的利率敏感性越强。两层含义：一是市场利率水平越低时，债券价格的利率敏感性越强；二是到期收益率水平越低，债券价格的利率敏感性越强。例例例例3:3:3:3:有有有有A A A A、B B B B两种债券，半年付息一次，下一次付息两种债券，半年付息一次，下一次付息两种债券，半年付息

4、一次，下一次付息两种债券，半年付息一次，下一次付息在半年之后，相关资料如下：在半年之后，相关资料如下：在半年之后，相关资料如下：在半年之后，相关资料如下：AB票面利率8%8%面值(元)100100信用评级AaAa到期时间10年10年收益率8%10%价格(元)100.0087.54分别计算并比较收益率上升分别计算并比较收益率上升1个百分点时两者的个百分点时两者的价格波动百分比。价格波动百分比。-6.5%-6.25%一、基点价格值指收益率变化一个基点，也就是0.01个百分点时，债券价格的变动值。（绝对值）价格变动百分比基点价格值/初始价格（相对值）第三节第三节 价格波动性的衡量价格波动性的衡量I

5、I：基点价格值和价格变化的收益值基点价格值和价格变化的收益值例4.有三种息票债券A、B、C，半年付息一次，下一次付息在半年以后，其他资料如下：ABC票面利率8%8%8%面值(元)100100100信用评级AaAaAa到期时间5年10年15年收益率8%8%8%价格(元)100.00100.00100.00计算他们的基点价格值。0.0405 0.0679 0.0864二、价格变化的收益值债券价格变动一定数量时，对应的收益率变动值。基点价格值越小，价格变化的收益值越大。反之亦然。第四节第四节 价格波动性的衡量价格波动性的衡量II II：凸性和久期凸性和久期一、久期(持续期)（一）定义衡量债券价格的收

6、益率敏感性。久期是价格变化的百分比除以收益率变化的百分比。式中：式中：P是债券的初始价值；是债券的初始价值；y是初始收益率。是初始收益率。即：CF:每期现金流（包括利息和本金）每期现金流（包括利息和本金）麦考利久期公式：麦考利久期公式：普通债券久期是普通债券久期是债券现金流时间的加权平均债券现金流时间的加权平均。其权。其权重是每次现金流现值占现金流现值总和（即债券价重是每次现金流现值占现金流现值总和（即债券价格）的比例。格）的比例。（二）如何计算普通债券的久期其中：权重其中：权重 价格价格例5:面值为100元，票面利率为8%的三年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后。如果到期收益率为10%

7、,计算它的久期。解：时间（期数）现金流现金流的现值权重时间权重143.80950.04010.0401243.62810.03820.0764343.45540.03640.1092443.29080.03470.1388543.13410.03300.1650610477.60640.81764.9056总计94.924394.924315.43515.4351例6:有一种面值为100元的三年期零息债券，如果到期收益率为10%，计算它的久期。解：零息债券的久期就等于它的到期时间。时间（期数）现金流现金流的现值权重时间权重1-50000610074.621516总计74.621516（三）久期

8、的规则保持其他因素不变，票面利率越低，息票债券的久期越长。保持其他因素不变，到期收益率越低，息票债券的久期越长。保持其他因素不变，到期时间越长，久期越长。二、久期与价格波动的关系定义D/(1+y)为修正久期，用D*表示，则：债券价格的变动百分比（相对数）等于修正的久期与到期收益率变动值（绝对数）的乘积。例7:有一种息票债券，同例5，久期是2.7176年。还有一种面值为100元，距到期日还有2.7176年的零息债券，它的久期也是2.7176年。比较两者价格的利率敏感性。解：假设收益率上升一个基点，为10.01%。息票价格变动百分比为：-0.0259%;零息债券变动百分比为：-0.0259%。例8

9、.有5年期息票债券A，面值100元，票面利率8%，半年付息一次，下一次付息在半年以后。若到期收益率为8%，计算它的价格价格波动。解：解：可计算出D=8.4353(半年)当收益率上升1个基点,价格波动为-0.0406%;当收益率下降1个基点,价格波动为0.0406%。当收益率上升100个基点.价格波动为-4.0555%;当收益率下降100个基点,价格波动为4.0555%。利用久期得到的价格波动百分比与收益率之间是线性关系。而事实上价格与收益率之间的关系是一条凸形的曲线。所以久期估计存在误差。三、资产组合的久期资产组合的有效平均到期时间有效平均到期时间。对组合中所有资产的久期求加权平均数。权重是各

10、种资产的市场价格占资产组合总价值的比重。例例9.9.有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：债券票面利率 到期时间（年）面值（元）市场价格（元）到期收益率（年率）A6%61,000951.687%B5.5%520,00020，0005.5%C7.5%410,0009，831.68 8%求该债券组合的久期。求该债券组合的久期。解：先分别计算出每种债券的久期。DA=10.2001(半年)DA*=4.9276(年)DB=8.8777(半年)DB*=4.3201(年)DC

11、=7.0484(半年)DC*=3.3887(年)四、凸性四、凸性（一）定义价格与收益率的关系曲线是凸状的。在收益率更高是变得更加平缓，在收益率更低时变得更加陡峭。为了更精确地估计债券价格的变化，引入凸性。（二）计算即：即：其中：其中：对于零息债券：对于零息债券：例例10:10:计算例计算例6 6中的三年期债券的凸性中的三年期债券的凸性时间（期数）现金流现金流的现值权重t(t+1)权重143.80950.04010.0802243.62810.03820.2292343.45540.03640.4368443.29080.03470.6940543.13410.03300.9900610477.

12、60640.817634.3392总计94.924394.9243136.769436.7694则半年期凸性则半年期凸性=36.7694/1.052=33.3509年凸性年凸性=33.3509/22=8.3377（三）凸性与价格波动的关系其中：右边第一项：基于修正久期对债券价格波动的近似估计。右边第一项：基于修正久期对债券价格波动的近似估计。第二项：引入凸性以后对久期估计的价格波动做出的修正。第二项：引入凸性以后对久期估计的价格波动做出的修正。对于有一正的凸度的债券（不含期权的债券都有正的凸度），无论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。这就解释了久期近似值为什么在收益率下降时低估债券价格的增

13、长程度，而在收益率上升时高估债券价格的下跌程度。(四四)可赎回债券的凸性可赎回债券的凸性随着市场利率的降低，发行人将可以从赎回债券中受益。当市场利率较高时，可赎回债券表现出正凸性；当市场利率较低时，可赎回债券表现出负凸性。五、久期与凸性的近似求法五、久期与凸性的近似求法P+是收益上升一个很小幅度时债券的新价格；P-是收益下降一个很小幅度时债券的新价格。当收益率下降时，当收益率上升时，则：类似可推出：例11：有一债券，到期收益率与债券价格的对应关系如下表所示：到期收益率债券价格6.0%134.676.2%131.845.8%137.59请估计当期收益率从6%上升到8%时债券价格的波动幅度。练习1

14、：考察这样一个5年期债券，息票率为7%,每年付息2次，设收益率为8%。计算该债券的久期和凸度，以及价格波动与收益率之间的关系。练习2：有一个5年期债券，票面利率为6%，1年支付2次利息。到期收益率如下表所示，求凸性。期限（年）到期收益率0.54.4181%14.5056%1.54.5914%24.6753%2.54.7574%34.8377%3.54.9122%44.9927%4.55.0711%55.1404%补充：马凯尔债券价格五大定理补充：马凯尔债券价格五大定理由债券价格的决定我们看出：债券价格与债券本身的票面利率、复利年收益率、到期期间均有关系。马凯尔（Burton G.Malkiel

15、）的研究将债券价格的特性归纳成五点，称为马凯尔债券价格五大定理。第一定理：债券价格与到期收益率成反比1、如果一种附息债券的市场价格等于其面值，则到期收益率等于其票面利率；如果债券的市场价格低于其面值（当债券贴水出售时），则债券的到期收益率高于票面利率。反之，如果债券的市场价格高于其面值（债券以升水出售时），则债券的到期收益率低于票面利率。2、如果一种债券的市场价格上涨，其到期收益率必然下降；反之，如果债券的市场价格下降，其到期收益率必然提高。债券价格与到期收益率成反比。第二定理：到期期间越长，债券价格对利率的敏感性越大其他条件相同下，若同时有到期期间长短不同的两种债券，当市场利率变动1%时，到

16、期期间较长的债券价格波动幅度较大，而到期期间较短的债券价格波动幅度较小。也就是说长期债券相对于短期债券具有较大的价格波动性，风险较大。第三定理：债券价格对利率变动的敏感性之增加程度随到期期间延长而递减虽然到期期间越长，债券价格对利率变动之敏感性越高，但随着到期期间的拉长，敏感性增加的程度却会递减。例如2年期债券价格对于利率变动的敏感性固然比1年期的债券高，但前者对利率变动的敏感性却不及后者的两倍。第四定理：到期收益率下降使价格上涨的幅度，高于到期收益率上扬使价格下跌的幅度到期收益率同样变动1%，当到期收益率下降1%造成债券价格上涨的幅度，会比到期收益率上扬1%时造成债券价格下跌的幅度高。第五定理：低票面利率债券对利率变动的敏感性高于高票面利率债券其他条件相同，若有票面利率不同的两种债券，当利率变动1%时，低票面利率债券价格之波动，会比高票面利率债券价格波动大。