什么是高等数学 (2).ppt

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1、引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数,运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 引引 言言一、什么是高等数学一、什么是高等数学?初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数,

2、运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯恩格斯笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束 1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容主要内容多元微积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到

3、薄由厚到薄.马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.第一节 目录 上页 下页 返回 结束 华罗庚华罗庚第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数元素 a 属于集合 M,记作元素 a 不属于集合 M,记作一、一、集合集合1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合

4、称为空集空集,记作 .(或).注注:M 为数集 表示 M 中排除 0 的集;表示 M 中排除 0 与负数的集.机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示法表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例例:有限集合自然数集(2)描述法：x 所具有的特征例例:整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 无限区间点的 邻域邻域其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域:右右 邻域邻域:机动 目录 上页 下页 返回 结束 是 B 的子集子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系及运算集合之间

5、的关系及运算定义定义2.则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如,显然有下列关系:,若设有集合记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 3.给定两个集合 A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 或二、二、映射映射1.映射的概念映射的概念 某校某校学生的集合学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某某班学生的集合班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例1.引例引例2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影机动 目录 上页 下页 返回 结束

6、定义定义4.设 X,Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f,使得有唯一确定的与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射,记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像,记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像.集合 X 称为映射 f 的定义域定义域;Y 的子集称为 f 的 值域值域.注意注意:1)映射的三要素 定义域,对应规则,值域.2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对映射若,则称 f 为满射满射;若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射.引例引例2,

7、3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2引例引例2例例1.海伦公式例例2.如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)例例3.如图所示,则有(满射满射)(满射满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 X(数集 或点集)说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X()Y(数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f 称为X 上的泛函X()X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子.名称.例如,2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1)逆映射的定义 定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成例如,映射其逆映射为其中称

8、此映射为 f 的逆映射.机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)复合映射机动 目录 上页 下页 返回 结束 手电筒D引例.复合映射 定义.则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射,时,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意:构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数三、函数1.函数的概念函数的概念 定义定义4.设数集则称映射为定义在D 上的函数,记为 f(D)称为值域 函数图形函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值 定义域定义域 对应规律对应规律的表示方法:解析法、图象

9、法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有界性使称 使称 说明说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册 P11)(2)单调性单调性为有界函数.在 I 上有界.使若对任意正数 M,均存在 则称 f(x)无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数;单调减函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束(

10、3)奇偶性奇偶性且有若则称 f(x)为偶函数;若则称 f(x)为奇函数.说明说明:若在 x=0 有定义,为奇函数奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束(4)周期性周期性且则称为周期函数,若称 l 为周期(一般指最小正周期).周期为 周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为

11、f 的反函数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减).1)yf(x)单调递增且也单调递增 性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2)复合函数 则设有函数链称为由,确定的复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量.注意:构成复合函数的条件 不可少.例如例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:4.初等函数初等函数(1)基本初等函数幂

12、函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.(自学,P17 P21)机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x=0当 x N 时,用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数 a 有下列关系:当 n N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称

13、该数列的极限为 a,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,趋势不定收 敛发 散机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.已知证明证证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设证明等比数列证证:欲使只要即亦即因此,取,则当 n N 时,就有故的极限为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在

14、 N2,使当 n N2 时,有1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明数列是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,但因交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有

15、数列机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时,有证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准则三、极限存在准则由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.则原数列一定发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:1.夹逼准则夹逼准

16、则(准则1)(P49)证证:由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证证:利用夹逼准则.且由机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)(P52)(证明略)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设证明数列极限存在.(P52P54)证证:利用二项式公式,有机动 目录 上页 下页 返回 结束 大大 大大 正正又比较可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据准则 2 可知数列记此极限为 e,e 为无理数,其值为即有极限.原题 目录 上页 下页 返回 结束 又*3.柯西极限存在准则柯西

17、极限存在准则(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数 N,使当时,证证:“必要性”.设则时,有 使当因此“充分性”证明从略.有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;柯西准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 3(2),(3),4 ,6P56 4(1),(3)4(3)提示:可用数学归纳法证 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设,且求解：解：设则由递推公式有数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设证证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相拆项相消消”法法