教育专题：2412垂直于弦的直径课件2.ppt

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1、人教版九年级上册人教版九年级上册垂径定理垂径定理 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦,并且平并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。CDABCDAB CDCD是直径，是直径，AE=BE,AE=BE,AC=BC,AC=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDE例：已知：如图，在以例：已知：如图，在以O为圆心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的两个同心圆中，大圆的弦AB交交小圆于小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO1如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相

2、垂直且相等的两条弦，为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方是正方形形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.(有一组邻边相等的矩形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形)CDAB,如图，如图，AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.图中有哪些等量关系图中有哪些等量关系?过点过点M作直径作直径CD.OCD CD是直径是直径AM=BM可推得可推得AC=BC,AD=BD.M AB如图如图,连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在OA

3、M和和OBM中中,OA=OB，OM=OM，AM=BMOAMOBM.AMO=BMO.CDABO关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理的垂径定理的逆定理逆定理 平分平分弦的直径弦的直径垂直垂直于弦于弦,并且并且平分平分弦所对的弦所对的两条两条弧弧。垂径定理推论垂径定理推论 平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。CDAB,CDAB,CDCD是直径，是直径，AE=BEAE=BE AC=BC,A

4、C=BC,AD=BD.AD=BD.OABCDEAB垂径定理的本质是：垂径定理的本质是：已知其中任意两条，已知其中任意两条，就能推出另外三条就能推出另外三条（1）（一条直线）（一条直线）过圆心过圆心（2）（这条直线）（这条直线）垂直于弦垂直于弦（3）（这条直线）（这条直线）平分弦平分弦（4）（这条直线）（这条直线）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧（5）（这条直线）（这条直线）平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧小 结 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a a，弦弦心距心距d

5、d，弓形高弓形高h h，半径半径r r之间有以下关系：之间有以下关系：ABC DO d+h=r 垂径定理的应用垂径定理的应用hrd1 1、两条辅助线：两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段半径、圆心到弦的垂线段2 2、一个一个RtRt：半径、圆心到弦的垂线段、半弦半径、圆心到弦的垂线段、半弦OABC3 3、两个定理、两个定理：垂径定理、勾股定理垂径定理、勾股定理 2.如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E，CEB=30，DE=9，CE=3，求弦求弦AB的的长。长。（精确到（精确到0.1）F解：连接解：连接OA，作，作OFAB于于F,DE=9，CE=3 DC=12cmOA=

6、6cm,OE=3cmCEB=30在在RTAFO中中AF=OA2-OF23.6AB=7.2cm3.3.如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，OCA=30OCA=300 0，OB=5cmOB=5cm，OC=8cmOC=8cm，则，则AB=AB=；OABC30308 85 54 4D解：作ODAB于D,C=30,在RTOBD中 BD=3cmAB=2BD=6cm6cm垂径定理的应用垂径定理的应用例、如图，一条公路的转变处是一段圆弧例、如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为为CDCD上

7、的上的一点一点,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求求这段弯路的半径这段弯路的半径.n解解:连接连接OC.OC.OCDEF一弓形弦长为一弓形弦长为cmcm，弓形所在的圆的半径为弓形所在的圆的半径为7cm7cm，则弓形的高为则弓形的高为.巩固训练巩固训练 D DC CBOADO OA AB BC达标检测达标检测一、填空一、填空1 1、已知、已知ABAB、CDCD是是O O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且ABAB把把CDCD分成分成3cm3cm和和7cm7cm的两部分，则圆心的两部分，则圆心O O和弦和弦ABAB的距离为的距离为 cm.cm.2 2、已知已

8、知O O的的半径为半径为10cm10cm，弦，弦MNEF,MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MNMN和和EFEF之间的距离为之间的距离为 .3 3、已知、已知O O中，弦中，弦AB=8cmAB=8cm，圆心到圆心到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，则此圆的半径则此圆的半径为为 .4 4、在半径为、在半径为25cm25cm的的O O中，弦中，弦AB=40cmAB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中则此弦和弦所对的弧的中点的距离是点的距离是 .5 5、O O的直径的直径AB=20cm,BAC=30AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=AC=.14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm