一阶微分方程(80).ppt

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1、15.2 一阶微分方程（80）25.2 一阶微分方程（80）5.2.1 5.2.1 变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程形如形如 的微分方程成为的微分方程成为变量变量可可分离分离的微分方程的微分方程.解法解法分离变量法分离变量法35.2 一阶微分方程（80）例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分45.2 一阶微分方程（80）通解为通解为解解55.2 一阶微分方程（80）例例 3求解微分方程：求解微分方程：解解两端作不定积分，得两端作不定积分，得所求解为：所求解为：65.2 一阶微分方程（80）解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律衰变速度衰变速度（衰变系

2、数）（衰变系数）75.2 一阶微分方程（80）解解例例5 5 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米,开始时空气中开始时空气中含有含有 的的 ,为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中 的含量的含量,用一台风量为每分用一台风量为每分2000立方米的鼓风机立方米的鼓风机通入含通入含 的的 的新鲜空气的新鲜空气,同时以同样的同时以同样的风量将混合均匀的空气排出风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动问鼓风机开动6分分钟后钟后,车间内车间内 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?设鼓风机开动后设鼓风机开动后 分后分后 的含量为的含量为在在 内内,的通入量的通入量的排出量的排出量车间内车间内 的

3、改变量为的改变量为85.2 一阶微分方程（80）的通入量的通入量的排出量的排出量的改变量的改变量答：答：6分钟后分钟后,车间内车间内 的百分比降低到的百分比降低到95.2 一阶微分方程（80）分离变量法步骤分离变量法步骤:1.分离变量分离变量;2.两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.5.2.5 5.2.5 小结与思考题小结与思考题1 1105.2 一阶微分方程（80）思考题思考题求解微分方程求解微分方程115.2 一阶微分方程（80）思考题解答思考题解答为所求解为所求解.125.2 一阶微分方程（80）课堂练习题课堂练习题135.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案课堂练习题答案145.2

4、一阶微分方程（80）5.2.2 5.2.2 齐次微分方程齐次微分方程形如形如 的方程称为的方程称为齐次微分方程齐次微分方程.解法解法作变量代换作变量代换代入原式，得代入原式，得变量可分离方程变量可分离方程155.2 一阶微分方程（80）方程方程的奇解的奇解165.2 一阶微分方程（80）例例 6 6 求解微分方程：求解微分方程：微分方程的解为微分方程的解为解解175.2 一阶微分方程（80）例例 7 7 求解微分方程求解微分方程解解185.2 一阶微分方程（80）微分方程的解为微分方程的解为195.2 一阶微分方程（80）例例 8 8 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车

5、灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解(如图如图)205.2 一阶微分方程（80）所以由夹角正所以由夹角正切公式得：切公式得：215.2 一阶微分方程（80）从而得微分方程：从而得微分方程：225.2 一阶微分方程（80）分离变量分离变量积分得积分得235.2 一阶微分方程（80）平方化简得平方化简得抛物线抛物线245.2 一阶微分方程（80）称为称为可化为齐次方程可化为齐次方程的微分方程的微分方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）解法解法1 1、可化为齐次的微分方程、可化为齐次的微分方程形如形如 的微分方程的微分方程255.2 一阶微分方程（80）有唯一一组解有唯一一组解.得

6、通解代回得通解代回 上述方法不能用上述方法不能用.265.2 一阶微分方程（80）可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.否则否则275.2 一阶微分方程（80）解解代入原方程得代入原方程得285.2 一阶微分方程（80）分离变量法得分离变量法得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为295.2 一阶微分方程（80）2、利用变量代换求、利用变量代换求解解微分方程微分方程解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为305.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题小结与思考题2齐次方程齐次方程齐次方程的解法齐次方

7、程的解法可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程315.2 一阶微分方程（80）思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?325.2 一阶微分方程（80）思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.335.2 一阶微分方程（80）课堂练习题课堂练习题345.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案课堂练习题答案355.2 一阶微分方程（80）一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的，上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程例如例如线性的线性的;非线性的

8、非线性的.365.2 一阶微分方程（80）齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法:分离变量并积分：分离变量并积分：375.2 一阶微分方程（80）2.线性非齐次方程线性非齐次方程讨论：讨论：两边积分两边积分令令 385.2 一阶微分方程（80）即，即，常数变易法：常数变易法：把齐次方程通解中的常数易为函数的方法把齐次方程通解中的常数易为函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:395.2 一阶微分方程（80）积分得积分得一阶线

9、性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解405.2 一阶微分方程（80）解解例例1111415.2 一阶微分方程（80）例例1212 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .两边求导得两边求导得解解解此微分方程解此微分方程425.2 一阶微分方程（80）所求曲线为所求曲线为435.2 一阶微分方程（80）伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式方程为方程为线性微分方

10、程线性微分方程,方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.解法解法:需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.1 1、可化为一阶线性的微分方程：、可化为一阶线性的微分方程：伯努利方程伯努利方程445.2 一阶微分方程（80）求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得代入上式代入上式令令455.2 一阶微分方程（80）解解例例 13465.2 一阶微分方程（80）2 2、用适当的变量代换求解微分方程用适当的变量代换求解微分方程解解1所求通解为所求通解为475.2 一阶微分方程（80）解解2所求通解为所求通解为485.2 一阶微分方程（80）解解1代入原式代入原式分离变量法

11、求解得分离变量法求解得所求通解为所求通解为解解2495.2 一阶微分方程（80）解解分离变量法求解得：分离变量法求解得：所求通解为所求通解为505.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题小结与思考题31.一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程2.伯努利方程伯努利方程515.2 一阶微分方程（80）思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.525.2 一阶微分方程（80）思考题解答思考题解答535.2 一阶微分方程（80）课堂练习题课堂练习题545.2 一阶微分方程（80）555.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案课堂练习题答案565.2 一阶微分方程（80）5.2.4 一阶微

12、分方程一阶微分方程前面主要讨论了显式形式前面主要讨论了显式形式一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式的求解问题，这里介绍两类特殊情形的求解问题，这里介绍两类特殊情形：575.2 一阶微分方程（80）引入参量引入参量 p,即令即令1、情形：、情形：方程化为方程化为两边对两边对 x 求导，得求导，得对此方程求解即可对此方程求解即可.585.2 一阶微分方程（80）解解从微分方程中解出从微分方程中解出 y,得得令令 ，则，则例例1717两边对两边对 x 求导求导,得变量可分离方程得变量可分离方程595.2 一阶微分方程（80）分离变量并积分分离变量并积分,得得于是于是,原方程的通解可由下面参数

13、方程表示：原方程的通解可由下面参数方程表示：605.2 一阶微分方程（80）解解从微分方程中解出从微分方程中解出 y,得得令令 ，则，则例例1818两边对两边对 x 求导求导,得变量可分离方程得变量可分离方程615.2 一阶微分方程（80）分离变量并积分分离变量并积分,得得于是于是,原方程的通解可由下面参数方程表示：原方程的通解可由下面参数方程表示：625.2 一阶微分方程（80）引入参量引入参量 p,即令即令2、情形：、情形：方程化为方程化为两边对两边对 y 求导，得求导，得对此方程求解即可对此方程求解即可.635.2 一阶微分方程（80）解解微分方程的参数表达形式为微分方程的参数表达形式为

14、例例1919微分上式第一函数微分上式第一函数,得得将此结果代入第二个函数将此结果代入第二个函数,得得645.2 一阶微分方程（80）于是于是,上式两边积分，得上式两边积分，得因此因此,方程的通解可表为：方程的通解可表为：655.2 一阶微分方程（80）解解令令 ，则，则例例2020两边对两边对 y 求导求导,得得积分得积分得通解为：通解为：665.2 一阶微分方程（80）3、全微分方程或恰当方程、全微分方程或恰当方程则微分方程则微分方程若有全微分形式若有全微分形式称为称为全微分方程或恰当方程全微分方程或恰当方程.其其通解通解为为全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程675.2 一阶微分方程（

15、80）例如例如所以，此方程是全微分方程所以，此方程是全微分方程.685.2 一阶微分方程（80）解法解法:应用曲线积分与路径无关：应用曲线积分与路径无关：通解：通解：用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程695.2 一阶微分方程（80）解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例2121705.2 一阶微分方程（80）解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例22715.2 一阶微分方程（80）解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例23 求微分方程求微分方程原方程的通解为原方程的通解为725.

16、2 一阶微分方程（80）解解1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:例例24735.2 一阶微分方程（80）解解2 2整理得整理得A A 曲线积分曲线积分法法:B B 凑微分法凑微分法:745.2 一阶微分方程（80）C C 不定积分不定积分法法:原方程的通解为原方程的通解为755.2 一阶微分方程（80）5.2.5 小结与思考题小结与思考题4765.2 一阶微分方程（80）思考题思考题.利用曲线积分法求解全微分方程利用曲线积分法求解全微分方程775.2 一阶微分方程（80）故方程的通解为故方程的通解为思考题解答思考题解答785.2 一阶微分方程（80）课堂练习题课堂练习题795.2 一阶微分方程（80）课堂练习题答案课堂练习题答案805.2 一阶微分方程（80）