二重积分的变量变换 (2).ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4 二重积分的变量变换 一、二重积分的变量变换公式返回返回返回返回三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、二重积分的变量变换公式在定在定积积分的分的计计算中算中,我我们们得到了如下得到了如下结论结论:设设在区在区间间 上上连续连续,当当 从从变变到到 时严时严格格 单调单调地从地从a 变变到到 b,且且 连续连续可可导导,则则 当当(即即)时时,记记 则则 利用利用这这些些记记号号,公式公式(1)又可又可 写成写成返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当当(即即)时时,

2、(1)式可写成式可写成 故当故当为严为严格格单调单调且且连续连续可微可微时时,(2)式和式和(3)式可式可 统一写成如下的形式统一写成如下的形式:下面要把公式下面要把公式(4)推广到二重积分的场合推广到二重积分的场合.为此先给为此先给 出下面的引理出下面的引理.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页引理引理 设变换设变换 将将 uv 平面平面 上由按段光滑封上由按段光滑封闭闭曲曲线线所所围围的的闭闭区域区域 ,一一对对一地一地 映成映成 xy 平面上的平面上的闭闭区域区域 D.函数函数 在在内分内分别别具有一具有一阶连续阶连续偏偏导导数且它数且它们们的函数行列式的函数行列式 则区域则

3、区域 D 的面积的面积 (5)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 下面下面给给出当出当 在在 内具有二内具有二阶连续阶连续偏偏导导数数 时时的的证证明明.(注注:对对具有一具有一阶连续阶连续偏偏导导数条件数条件 下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章9 中给出中给出.)由于由于 T 是一是一对对一一变换变换,且且因而因而 T 把把的的 内点内点变为变为 D 的内点的内点,所以所以的按段光滑的按段光滑边边界曲界曲线线 也也变换为变换为 D 的的按段光滑按段光滑边边界曲界曲线线 .设设曲曲线线的参数方程的参数方程为为由于由于按段光滑按段光滑,因此因此在在 上至多除上至多除 返

4、回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页去有限个第一类间断点外去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续在其他的点上都连续.又又 因因所以所以 的参数方程的参数方程为为若若规规定定 从从 变变到到 时时,对应对应于于 的正向的正向,则则根据格根据格 林公式林公式,取取 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页另一方面另一方面,在在 uv 平面上平面上 其中正号及其中正号及负负号分号分别别由由 从从 变变到到 时时,是是对应对应于于 的正方向或的正方向或负负方向所决定方向所决定.由由(6)及及(7)式得到式得到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令在在uv平平

5、面上对上式应用格林公式面上对上式应用格林公式,得到得到 由于函数由于函数 具有二具有二阶连续阶连续偏偏导导数数,即有即有 因此因此 于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又因又因为为 总总是非是非负负的的,而而 在在 上不上不为为零且零且 连续连续,故其函数故其函数值值在在 上不上不变变号号,所以所以定理定理21.13 设设 在有界在有界闭闭区域区域 D 上可上可积积,变变换换 将将 uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭闭曲曲线线所所围围成的成的闭闭区域区域 一一对对一地映成一地映成 xy 平面上平面上 的的闭闭区域区域 D,函数函数 在在内分内分别别具有具有 返回返回

6、返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一阶连续偏导数且它们的函数行列式一阶连续偏导数且它们的函数行列式 证证 用曲用曲线线网把网把分成分成 n 个小区域个小区域,在在变换变换 T 作用作用 下下,区域区域 D 也相也相应应地被分成地被分成 n 个小区域个小区域.记记及及 的面的面积为积为及及在对在对 y 的的 则有则有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中令令则则作二重作二重积积分分的的积积分和分和加强条件下加强条件下,由引理及二重积分中值定理由引理及二重积分中值定理,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这这个和式是个和式是可积函数可积函数 的分割的分割

7、的的细细度度 时时,D 的的 相相应应分割分割 的的细细度度 也也趋趋于零于零.因此得到因此得到 在在 上的上的积积分和分和.又由又由变换变换 T 的的连续连续性可知性可知,当当 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 求求其中其中 D是由是由解解 为了简化被积函数为了简化被积函数,令令所围的区域所围的区域(图图21-23).即作即作变换变换 它的函数行列式为它的函数行列式为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 T 的作用下的作用下,区域区域 D 的的 如如图图 21-24 所示所示.原象原象 所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2

8、求抛物求抛物线线和直和直线线所所围围区域区域 D 的面的面积积解解 D 的面的面积积为为了化了化简积简积分区域分区域,作作 变换变换 它把它把 xy 平面上的区域平面上的区域 D (见图见图21-25)对应到对应到 uv 平面上的矩形平面上的矩形 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于 因此因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 设设上可上可积积,是由曲是由曲线线 所围成的区域在第一象限中的部分所围成的区域在第一象限中的部分.证明证明:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 令令 则则 因此因此 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页

9、前页二、二重积分的极坐标变换 当积分区域是圆域或圆域的一部分当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数或者被积函数 的形式的形式为为时时,采用极坐采用极坐标变换标变换 (8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时此时,变换变换 T 的函数行列式为的函数行列式为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页容易知道容易知道,极坐极坐标变换标变换 T 把把平面上的矩形平面上的矩形 此此对应对应不是一不是一对对一的一的,例例如如,xy 平面上原点平面上原点于于平面上两条直平面上两条直线线段段 CD 和和 EF(图图21-26).又当又当时时,因此不因

10、此不满满足足定理定理21.13 的条件的条件.但是仍然有下面的结论但是仍然有下面的结论.变换变换成成 xy 平面上的平面上的圆圆域域但但 与与平面上直平面上直线线 相相对对应应,x 轴上线段轴上线段 对应对应 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21.14 设设满满足定理足定理21.13 的条件的条件,且且在在 极坐极坐标变换标变换(8)下下,平面上的有界平面上的有界闭闭域域 D 与与平平 面上区域面上区域 对应对应,则则成立成立 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 若若 为为 的的扇形扇形 后所得的区域后所得的区域(图图21-26(a),),则则(图图

11、21-26(b).又因在又因在 与与之之间间是一一是一一对应对应的的设设 除去中心角除去中心角 在在变换变换(8)下下,对应对应于于且且 上上 于是由定理于是由定理 21.13,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因因 在在 D 上有界上有界,故可故可设设 于是由于是由同理又有同理又有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若若 D 是一般的有界是一般的有界闭闭域域,则则取足取足够够大的大的 使使 即得即得 所以所以,对对 (10)式取极限式取极限返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在 中中函数函数 F 至多在有限条按段光滑曲至多在有限条按段光滑曲线线

12、上上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到 其中其中为为平面上矩形区域平面上矩形区域由函数由函数 的定的定义义,(9)式式对对一般的一般的 D 也成立也成立.上定上定义义函数函数 并且在并且在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由定理由定理21.14 看到看到,用极坐标变换计算二重积分时用极坐标变换计算二重积分时,除除变变量作相量作相应应的替的替换换外外,还须还须把把“面面积积微元微元”换换 成成下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算来计算.1.常用的是将常用的是将分解分解为为平面中的平面中的型区域型区域.(i)若原点若原

13、点则则 型区域型区域必可表示成必可表示成(图图21-27)于是有于是有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(ii)若原点为若原点为 D 的内点的内点(图图21-28(a),D 的边界的极坐的边界的极坐 标标方程方程为为 则则 一般可表示成一般可表示成 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是有于是有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(iii)若原点在若原点在 D 的边界上的边界上 (图图21-28(b),则则为为:于是有于是有 2.也可将也可将分解分解为为平面中的平面中的 型区域型区域(图图21-29).(1)令令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前

14、页前页前页(2)作半径作半径为为的的圆圆穿穿过过 D,按逆按逆时针时针方方 向首先向首先由边界曲线由边界曲线 穿入穿入,而后由而后由边边界曲界曲线线 穿出穿出.则则有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例4 对积对积分分作极坐作极坐标变换标变换,并表示并表示为为 不同次序的累次积分不同次序的累次积分,其中其中(见图见图21-30(a)解解 经过经过极坐极坐标变换标变换后后,可分解可分解为为二个二个型区域型区域:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(a)(b)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又可分解又可分解为为四个四个 型区域型区域(见图见图21-3

15、0(b):返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是 其中其中 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 计算计算 其中其中 D 为圆为圆域域:解解 由于原点为由于原点为 D 的内点的内点,故由故由 (12)式式,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 求球体求球体 被被圆圆柱面柱面所割下部分的体积所割下部分的体积 (称为维维安尼称为维维安尼 (Viviani)体体 ).解解 由所求立体的对称性由所求立体的对称性(图图21-31),),只要求出在第只要求出在第 一卦限内的部分体积一卦限内的部分体积

16、,再乘以再乘以4,即得所求立体的体即得所求立体的体 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(图图21-32),而曲而曲顶顶的方程的方程为为 所以所以 后后,由由 (13)式便可求得式便可求得 xy 平面内由平面内由和和所确定的区域所确定的区域 D 积积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为其底为 其中其中 用极坐标变换用极坐标变换 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例7 计计算算 其中其中 D 为圆为圆域域:解解 利用极坐标变换利用极坐标变换,由公式由公式 (12),容易求得容易求得 若不用极坐标变换若不用极坐标变换,而直接在直角坐

17、标系下化为累而直接在直角坐标系下化为累次次积积分分计计算算,则则会遇到无法算出会遇到无法算出 的难的难题题.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、二重积分的广义极坐标变换 当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时,可考虑用如可考虑用如 下的下的广义极坐标变换广义极坐标变换:并计算得并计算得对广义极坐标变换也有与定理对广义极坐标变换也有与定理21.14 相应的定理相应的定理,这这 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 求椭球体求椭球体 的体积的体积.解解 由对称性由对称性,椭球体的体积椭球体的体积 V 是第一卦限部分体是第一卦限部分体 积积的的 8 倍倍,而而这这部分是以部分是以为为曲曲顶顶,里就不再赘述了里就不再赘述了.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应应用广用广义义极坐极坐标变换标变换,由于由于因此因此特特别别当当时时,得到球的体得到球的体积为积为为底的曲顶柱体为底的曲顶柱体,所以所以