电路原理第04章电路的若干定理.ppt

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1、第第4章章 电路的若干定理电路的若干定理(Circuit Theorems)4.1 叠加定理叠加定理(Superposition Theorem)4.2 替代定理替代定理(Substitution Theorem)4.4 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)4.5 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)4.3 互易定理互易定理(Reciprocity Theorem)4.6 对偶原理对偶原理(Dual Principle)4.1 叠加定理叠加定理(Superposition Theorem)一、线性电路的齐次性和叠加性

2、一、线性电路的齐次性和叠加性线性电路线性电路：由线性元件和独立源构成的电路。：由线性元件和独立源构成的电路。1.齐次性齐次性（homogeneity)(又称又称比例性比例性，proportionality)电路电路x(t)y(t)+-+-齐次性：若输入齐次性：若输入x(t)响应响应y(t)，则则输入输入K x(t)Ky(t)电路电路Kx(t)Ky(t)+-+-2.叠加性叠加性（superposition)若输入若输入x1(t)y1(t)(单独作用）单独作用）,x2(t)y2(t)xn(t)yn(t)则则x1(t)、x2(t)xn(t)同时作用时同时作用时响应响应y(t)=y1(t)+y2(t)

3、+yn(t)注注：x1(t)xn(t)可以是不同位置上的激励信号可以是不同位置上的激励信号电电路路x1(t)y(t)+-+-x2(t)xn(t)+-3.线性线性=齐次性齐次性+叠加性叠加性若输入若输入x1(t)y1(t)(单独作用）单独作用）x2(t)y2(t)xn(t)yn(t)则则:K1 x1(t)+K2 x2(t)+K n xn(t)K1 y1(t)+K2 y2(t)+K n yn(t)注注：齐次性是一种特殊的叠加性。齐次性是一种特殊的叠加性。故，线性电路的根本属性是叠加性故，线性电路的根本属性是叠加性二、二、叠加定理叠加定理叠叠加加定定理理：在在线线性性电电路路中中，任任一一支支路路电

4、电流流(或或电电压压)都都可可以以看看成成是是电电路路中中各各个个独独立立源源分分别别单单独独作作用用时时，在在该该支支路路产产生生的的电电流流(或电压或电压)的代数和的代数和。注注：一个独立源单独作用，其余独立源需置零。一个独立源单独作用，其余独立源需置零。电压源置零电压源置零视为短路。视为短路。电流源置零电流源置零视为开路。视为开路。例例1.求图中电压求图中电压u+10V4A6+4 u解解:(1)10V电压源单独作用，电压源单独作用，4A电流源开路（图电流源开路（图a）u=4V(2)4A电流源单独作用，电流源单独作用，10V电压源短路电压源短路（图（图b）u=-4（6/4）=-9.6V共同

5、作用：共同作用：u=u+u=4+(-9.6)=-5.6V+10V6+4 u（图（图a）4A6+4 u（图（图b）是否可以视为是否可以视为不存在不存在？例例2.求电压求电压Us 。(1)10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解:Us=-10 I1+4=-10 1+4=-6VUs=-10I1+(6/4)4 =-10 (-1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用：Us=Us+Us=-6+25.6=19.6V+10V6 I14A+Us+10 I14+10V6 I1+Us+10 I14 6 I14A+Us+10 I14 例例:如图，如图，N为线性含源电阻

6、网络，为线性含源电阻网络，(a)中中I1=4A，(b)中中I2=6A，求求(c)中中I3=?NI1R1R2(a)NI2R1R2(b)4V+-NI3R1R2(c)6V-+解：解：(a)中仅由中仅由N内独立源单独作用时内独立源单独作用时 I1=4A(b)中由中由N内独立源和内独立源和4V电源共同作用时电源共同作用时 I2=6A故仅由故仅由 4V电源单独作用时电源单独作用时R1支路电流支路电流 I2=6-4=10A若仅由若仅由(c)中中6V电源单独作用时电源单独作用时R1支路电流支路电流 I3 =15A故故(c)中电流中电流I3=I1+I3 =4+15=19A小结小结 :1.叠加定理只适用于叠加定理

7、只适用于线性线性电路。电路。2.某独立源单独作用，其余独立源置零某独立源单独作用，其余独立源置零零值电压源零值电压源短路。短路。零值电流源零值电流源开路。开路。3.功率不能叠加功率不能叠加(功率为电源的二次函数功率为电源的二次函数)。4.u,i叠加时要注意各分量的方向。叠加时要注意各分量的方向。5.受受控控源源不不能能单单独独作作用用。某某独独立立源源单单独独作作用用时时，受受控控源源应应始始终保留。终保留。4.2 替代定理替代定理(Superposition Theorem)替代（置换）定理：替代（置换）定理：含含独立源的任意网络中，若已知其中某一单口网络（或某一支路）独立源的任意网络中，若

8、已知其中某一单口网络（或某一支路）的电压和电流分别为的电压和电流分别为u uK K和和i iK K，则可将此单口网络（或支路）用则可将此单口网络（或支路）用u uK K电压源或电压源或i iK K电流源替代。若替代后网络仍有唯一解，则原网络中电流源替代。若替代后网络仍有唯一解，则原网络中其它部分电压电流分配不变。其它部分电压电流分配不变。NMi=iKu=uK+-(a)原网络原网络NuK+-(b)M被被uK电压源替代电压源替代NiK(c)M被被iK电电流源替代流源替代注注:被替代部分被替代部分N与与M中应无耦合关系中应无耦合关系与理想电与理想电流源串联流源串联电流为零电流为零可以断开可以断开与理

9、想电与理想电压源并联压源并联简证简证替代定理替代定理:uK+-NiKuK+-(a)NiKuK+-(b)uK+-NiKuK+-(c)(d)uK+-等电位点等电位点可以短接可以短接NiKuK+-(a)NiK(b)iKNiK(c)iK(d)iK例：例：如图如图(a)电路电路，运用节点法可以求得运用节点法可以求得I1=-0.5A，I2=0.75A，I3=0.75A，U1=15V。运用替代定理将运用替代定理将I3支路用支路用0.75A电流源替代电流源替代如图如图(b)，试验证其余各支路电流、电压不变。试验证其余各支路电流、电压不变。-+10V10 I12A20 I2I320 U1+-(a)10V-+10

10、 I12A20 I2I3U1+-(b)替代后替代后0.75A由图由图(b)得：得：(0.1+0.05)U1=(10/10)+2-0.75 (节点方程）节点方程）解：解：得：得：U1=15V故故 I1=(10-U1)/10=(10-15)/10=-0.5A I2=U1/20=0.75AI3=0.75A 故故替代后电压、电流分配不变。替代后电压、电流分配不变。N1N2例：例：求求如图如图(a)电路中电流电路中电流i1、i2(分解法和替代定理）分解法和替代定理）+-+2 4 10 1V0.5A1 2 2Vi1i2图图(a)abi+-+abuN1N2图图(b)解：解：(1)将原电路分解为将原电路分解为

11、N1、N2两个单口网络两个单口网络(2)为了求为了求i,将将N1、N2分别等效如图分别等效如图(b)N1+-2 4 10 1V0.5Ai1图图(c)1/3Aab2 4 1/6Ai1图图(d)(3)为求为求i1，将将N2用用1/3A电流源替代（图电流源替代（图(c)、(d)）得得 i1=1/9A （分流）分流）N2-+1 2 2Vi2图图(e)+-8/9Vba(4)为求为求i2，将将N1用用 8/9V 电压源替代（图电压源替代（图(e)）得得 i2=8/9 A替代与等效的区别：替代与等效的区别：如如前例中，前例中，N2可用可用2/3V电压源串联电压源串联2/3 电阻来电阻来等效等效它，也可用它，

12、也可用1/3A电流源来电流源来替代替代它。这时电路中其他部分电压电流分布都不变。但替它。这时电路中其他部分电压电流分布都不变。但替代只针对特定的外电路代只针对特定的外电路N1时才时才成立，外电路改变，替代的电流源大成立，外电路改变，替代的电流源大小也改变。而等效则是指对任意外电路都成立。小也改变。而等效则是指对任意外电路都成立。i-+abuN1-+1 2 2VN2abN1iabuN11/3AN2被被等等效效N2被被替替代代例例.若要使若要使试求试求Rx。0.5 0.5+10V3 1 RxIx+UI0.5 注注：替代是特定条件下的一种等效（即只在一点等效）：替代是特定条件下的一种等效（即只在一点

13、等效）解：解：用替代：用替代：=+0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+UI0.5 0.5 0.5 1+U0.5 U=U+U=(0.1-0.075)I=0.025I工作点工作点替代后唯一解的重要性替代后唯一解的重要性i+-RsUs(a)u+-ui0(b)Us/RsUsIqUqi+-Uq(d)唯一解唯一解u+-(c)解不解不唯一唯一u+-Iqi隧道隧道二极管二极管小结：小结：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后外电路及参数不能改变替代后外电路及参数不能改变(只在一点等效只在一点等效)。2.替代后电路必须有唯一解。

14、替代后电路必须有唯一解。4.3 互易定理互易定理(Reciprocity Theorem)例例:-+4VUs2 6 3 R1R3R2abcdAI2(a)-+4VUs2 6 3 R1R3R2abcdAI1(b)对对(a):对对(b):有有I1=I2 说明说明互易性互易性第一种形式第一种形式:电压源激励，电流响应。电压源激励，电流响应。不含独立源和受控源的线性双口网络，其端口具有互易性。不含独立源和受控源的线性双口网络，其端口具有互易性。令令NR表示具有表示具有互易性互易性的双口网络。的双口网络。互易定理：互易定理：I2NR+us1122(a)22+us11(b)I1NR有有I1=I2第二种形式第

15、二种形式:电流源激励，电压响应。电流源激励，电压响应。有有U1=U2IsNR1122(a)U2+-2211(b)NR+-U1Is第三种形式第三种形式:IsNR1122(a)I22211(b)NR+-U1Us=Is+-有有U1=I2即：当即：当Us数量上等于数量上等于Is时，时，U1数量上等于数量上等于I2练习练习:已知图已知图(a)电路，求图电路，求图(b)中开路电压中开路电压Uab=?1Aabcd(a)Ucd=20mV+-线性纯线性纯电阻无电阻无源网络源网络cdab(b)+-Uab=?2A线性纯线性纯电阻无电阻无源网络源网络答案：答案：Uab=-40mV例：例：2 1 2 4+8V2 Iab

16、cd求电流求电流I。解：解：利用互易定理利用互易定理I1=I 2/(4+2)=2/3AI2=I 2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2 1 2 4+8V2 IabcdI2I解毕！解毕！I1(1)互易定理只适用于互易定理只适用于不含独立源不含独立源和和受控源受控源的的线性线性网络网络(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。电压与电流互易。(3)互易前后要注意激励与响应的参考方向。（如何判断？）互易前后要注意激励与响应的参考方向。（如何判断？）(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的

17、网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：(5)互易前后网络内部电压、电流一般会发生改变。互易前后网络内部电压、电流一般会发生改变。例：例：由图由图(a)中条件求图中条件求图(b)中电流中电流I=?(NR为互易双口网络）为互易双口网络）（互易定理、替代定理及叠加定理综合应用）互易定理、替代定理及叠加定理综合应用）2ANR1122(a)5V+-+-10V2211(b)NRI=?2A5 2211(d)NRI=?2A5 2.5V+-2211(c)NR5+-4A2A5V解：解：(a)中，中，NR的的11 端输入电阻端输入电阻R=10/2=5 ，故有故有(c)图成立。图成立。

18、答案：答案：I=2.5/5=0.5A两种错误应用互易定理的例子：两种错误应用互易定理的例子：U1 U2(a)U2NR+Us1122+-22+Us11(b)U1NR+-IsNR1122(a)I2NR1122(b)I1IsI1 I24.4 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem)工工程程实实际际中中，常常常常碰碰到到只只需需研研究究某某一一支支路路的的情情况况。这这时时，可可以以将将除除我我们们需需保保留留的的支支路路外外的的其其余余部部分分的的电电路路(通通常常为为二二端端网网络络或或称称单单口口网网络络),等等效效变变换换为为较较简简单单的的

19、含含源源支支路路 (电压源与电阻串联或电流源电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路与电阻并联支路),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+us1.戴维南定理戴维南定理:任任何何一一个个含含有有独独立立电电源源、线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控源源的的线线性性二二端端网网络络，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个理理想想电电压压源源(Uoc)和和电电阻阻R0的的串串联联组组合合来来等等效效；此此等等效效电电压压源源的的电电

20、压压等等于于该该二二端端网网络络的的端端口口开开路路电电压压Uoc，而而等等效效电电阻阻等等于于该该二二端端网网络络中中所所有有独独立立源源置零后的输入电阻。置零后的输入电阻。NabiabR0Uoc+-Nabi=0Uoc+-N0abR0其中：其中：N0为将为将N中所有独立源置零后所得无源二端网络。中所有独立源置零后所得无源二端网络。证明证明:（略）（略）(a)(b)(对对a)利利用用替替代代定定理理，将将外外部部电电路路用用电电流流源源替替代代，此此时时u,i值值不变。计算不变。计算u值。值。=+根据叠加定理，可得根据叠加定理，可得电流源电流源i为零为零网络网络N中独立源全部置零中独立源全部置

21、零abNi+u外外iUoc+u外外ab+R0abNi+uabN+uabN0i+uR0u=Uoc (外电路开路时外电路开路时a、b间开路电压间开路电压)u=-R0 i则则u=u+u=Uoc R0 i此关系式恰与图此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！电路相同。证毕！小结小结 ：(1)等效电压源极性与所求等效电压源极性与所求Uoc方向有关。方向有关。(2)等效电阻的计算方法：等效电阻的计算方法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；12外加电源法。外加电源法。开路电压、短路电流法。开路电压、短路电流法。32 3方法更有一般性。方法更有

22、一般性。(3)外电路改变时，含源单口网络的等效电路不变。外电路改变时，含源单口网络的等效电路不变。(4)当当单单口口网网络络内内部部含含有有受受控控源源时时，其其控控制制电电路路也也必必须须包包含含在在被被等效的单口网络中。等效的单口网络中。例例.(1)计算计算Rx分别为分别为1.2、5.2 时的时的I；(2)Rx为何值时，其上可获最大功率为何值时，其上可获最大功率?IRxab+10V4 6 6 4 解解：保留保留Rx支路，将其余单口网络化为戴维南等效电路：支路，将其余单口网络化为戴维南等效电路：ab+10V4 6 6 +U24+U1IRxIabUoc+RxR0(1)求开路电压求开路电压Uoc

23、Uoc=U1+U2 =-10 4/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2Vab+10V4 6 6+U24+U1+-Uoc(2)求等效电阻求等效电阻R0R0=4/6+6/4=4.8(3)Rx=1.2 时，时，I=Uoc/(R0+Rx)=2/6=0.333ARx=5.2 时，时，I=Uoc/(R0+Rx)=2/10=0.2AR0ab4 6 6 4 对本例，即当对本例，即当Rx=R0=4.8 时，其上可获最大功率。时，其上可获最大功率。IabUoc+RxR0（4）求求Rx获获最大功率的条件。最大功率的条件。为了求为了求Rx获最大功率的条件，令：获最大功率的条件，令：Rx=R0 （负载负载匹配

24、匹配条件）条件）Pxmax=U2oc/4R0得：得：上式又称上式又称最大功率传输定理最大功率传输定理例：例：由图由图(a)中条件求图中条件求图(b)中电流中电流I=?(NR为互易双口网络）为互易双口网络）（利用戴文南定理和互易定理）利用戴文南定理和互易定理）2ANR1122(a)5V+-+-10V2211(b)NRI=?2A5 解：解：在在(a)中，中，NR的的11 端输入电阻端输入电阻R0=10/2=5 。2211(c)NR2A-+Uoc11+-Uoc=5V R0=5 (d)5 I=?答案：答案：I=0.5A且有且有(c)图中图中11 端开路电压端开路电压Uoc=5V。作作(c)图中图中11

25、 端以右的戴文南等效电路（端以右的戴文南等效电路（d）含受控源电路戴维南定理的应用含受控源电路戴维南定理的应用求求U0。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例.abUoc+R03 U0-+解：解：(1)求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V3 6 I+9V+Uocab+6I内部独立内部独立源置零源置零(2)求等效电阻求等效电阻R0方法方法1：外加电源法：外加电源法U0=6I+3I=9II=I0 6/(6+3)=(2/3)I0U0=9 (2/3)I0=6I0R0=U0/I0=6 3 6 I+U0ab+6II0方法方法2：开路电压、短路电流法：开路电压、短路电流

26、法(Uoc=9V 已求得已求得)6 I1+3I=93I=-6II=0Isc=9/6=1.5AR0=Uoc/Isc=9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1(3)等效电路等效电路abUoc+R03 U0-+6 9V思考思考：外加电源法外加电源法与与开路电压短路电流法开路电压短路电流法的区别的区别例例.解：解：(1)a、b开路，开路，I=0，Uoc=10V(2)求求R0：加压求流法加压求流法(内部独立源置零内部独立源置零)U0=(I0-0.5 I0)103+I0 103=1500I0R0=U0/I0=1.5k abUoc+U R0.5k R0(含受控源电路含受控源电路)用戴维南定理求用

27、戴维南定理求U。+10V1k 1k 0.5Iab R0.5k+UI1k 1k 0.5Iab+U0II0U=Uoc 500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)103+I 103+10=01500I=-10I=-1/150 A即即 Isc=1/150 A R0=Uoc/Isc=10 150=1500 ab10V+U R0.5k 1.5k(3)等效电路：等效电路：开路电压开路电压Uoc、短路电流短路电流Isc法求法求R0：R0=Uoc/IscUoc=10V（已求出）已求出）求短路电流求短路电流Isc(将将a、b短路短路)：另：另：+10V1k 1k 0.5IabIIsc加流

28、求压法求加流求压法求R0I=I0U0=0.5I0 103+I0 103=1500I0 R0=U0/I0=1500 1k 1k 0.5Iab+U0II0解毕！解毕！(内部独立源置零内部独立源置零)任任何何一一个个含含独独立立电电源源、线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控源源的的单单口口网网络络N，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个电电流流源源和和电电导导(电电阻阻)的的并并联联组组合合来来等等效效；电电流流源源的的电电流流等等于于该该单单口口网网络络的的端端口口短短路路电电流流Isc，而而并并联联电电导导(电电阻阻)等等于于把把该该单单口口网网络络的的所所有有独独立立源源置置零后的输

29、入电导零后的输入电导(电阻电阻)。2.诺顿定理：诺顿定理：NababG0(R0)Isc其中：其中：NabIscN0abR0N0为将为将N中所有独立源置零后所得中所有独立源置零后所得无源无源二端网络。二端网络。诺诺顿顿等等效效电电路路可可由由戴戴维维南南等等效效电电路路经经电电源源等等效效变变换换得得到到。但但须须指指出出，诺诺顿顿等等效效电电路路可可独独立立进进行行证证明明。证证明明过过程从略。程从略。例例.试用试用Norton定理求电流定理求电流I。12V2 10+24Vab4 I+4 IabG0(R0)Isc(1)求求IscI1=12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=

30、-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解：解：2 10+24VabIsc+I1I212V(2)求求R0：串并联串并联R0=10 2/(10+2)=1.67 (3)诺顿等效电路诺顿等效电路:I=-Isc 1.67/(4+1.67)=9.6 1.67/5.67 =2.83AR02 10 abb4 Ia1.67 -9.6A解毕！解毕！小结：小结：几个定理的适用条件：几个定理的适用条件：4.戴文南、诺顿定理戴文南、诺顿定理:适用于线性网络。适用于线性网络。1.叠加定理：适用于线性网络（可含独立源和线性受控源）叠加定理：适用于线性网络（可含独立源和线性受控源）2.替代定理：适用于线性和非线性网络。替代定

31、理：适用于线性和非线性网络。3.互易定理：只适用于不含独立源和受控源的线性网络。互易定理：只适用于不含独立源和受控源的线性网络。4.4 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)1.具有相同拓扑结构（特征）的电路具有相同拓扑结构（特征）的电路两两个个电电路路，支支路路数数和和节节点点数数都都相相同同，而而且且对对应应支支路路与与节节点的联接关系也相同。点的联接关系也相同。NNR5R4R1R3R2R6+us11234R5R4R1R3R6us6is2+1243两个电路支路与节点联接关系相同：两个电路支路与节点联接关系相同：假假设设两两个个电电路路中中对对应应支支路路电电压压方方向向

32、相相同同，支支路路电电流流均均取取和和支支路路电电压压相相同同的的参考方向。参考方向。2.特勒根定理：特勒根定理：4651234231+ukikuk=un -un ，ik=i 则则证明：证明：+3.功率平衡定理：功率平衡定理：在在任任一一瞬瞬间间，任任一一电电路路中中的的所所有有支支路路所所吸吸收收的的瞬瞬时时功功率率的代数和为零，即的代数和为零，即将将特特勒勒根根定定理理用用于于同同一一电电路路中中各各支支路路电电流流、电电压压即即可可证证得得上上述述关系。关系。此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。此亦可认为特勒根定理在同一电路上的表述。特特勒勒根根定定理理适适用用于于一一切切集集总总参

33、参数数电电路路。只只要要各各支支路路u，i满满足足KCL,KVL即即可可。特特勒勒根根定定理理与与KCL,KVL三三者者中中取取其其两两个个即即可。可。注意：注意：例例1：(1)R1=R2=2,Us=8V时时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4 ,R2=0.8,Us=9V时时,I1=3A,求求U2。解解：利用特勒根定理利用特勒根定理由由(1)得：得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A无源无源电阻电阻网络网络 P +U1+UsR1I1I2+U2R2 例例2.U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A解解：P+U1+U2I2I1P+2 4.6 对偶原理对偶原理(D

34、ual Principle)1.对偶电路：对偶电路：例例1.网孔电流方程：网孔电流方程：(R1+R2)il=us节点电压方程：节点电压方程：(G1+G2)un=is若若R1=G1，R2=G2，us=is，则两方程完全相同，解答则两方程完全相同，解答il=un也相同。也相同。R2+usilR1G1G2unis例例2网孔方程：网孔方程：节点方程：节点方程：上述每例中的两个电路称为对偶电路。上述每例中的两个电路称为对偶电路。将方程将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。若若R1=G1,R2=G2,R3=G3,us1=is1,rm=gm，则则两两个个方方程程

35、组组相同，其解答也相同，即相同，其解答也相同，即un1=il1，un2=il2。R3R1R2+us1il1il2i1+rm i1G2G3G1un1un2+u1is1gm u1(R1+R2)il1-R2 il2=us1-R2 il1+(R2+R3)il2=-rm i1 i1=il1(1)(G1+G2)un1-G2 un2=is1-G2 un1+(G2+G3)un2=-=-gm u1 u1=un1(2)2.对偶元素对偶元素：（见书）：（见书）节点节点网孔网孔节点电压节点电压网孔电流网孔电流KCLKVLLCRGisus串联串联并联并联CCVSVCCS3.对偶原理对偶原理：（或陈述）（或陈述）S成立，

36、则将成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶中所有元素，分别以其对应的对偶只有平面电路才可能有对偶电路。只有平面电路才可能有对偶电路。4.如何求一个电路的对偶电路如何求一个电路的对偶电路打点法：网孔电流对应节点电压打点法：网孔电流对应节点电压(外网孔对应参考节点外网孔对应参考节点)。两个对偶电路两个对偶电路N，N，如果对电路如果对电路N有命题有命题元素替换，所得命题（或陈述）元素替换，所得命题（或陈述）S对电路对电路N成立。成立。注意：注意：例例1.R2+usilR1G1G2unis例例2R3R1R2+us1il1il2i1+rm i1G2G3G1un1un2+u1is1gm u1(2)各对

37、偶元素进行替换。各对偶元素进行替换。(i1 u1)数值相同，量纲不同。数值相同，量纲不同。(3)电电源源方方向向：电电压压源源电电压压方方向向与与网网孔孔电电流流方方向向相相同同时时，对对应应电电流流源源方方向向为为离离开开对对应应节节点点，反反之之相相反反。电电流流源源方方向向与与网网孔孔电电流流方方向向相相同同时时，对对应应电电压压源源方方向向与与对对应应节节点点电电压压方方向向相同，反之相反。相同，反之相反。注意：注意：(1)每每一一网网孔孔电电流流对对应应一一节节点点电电压压，外外网网孔孔对对应应参参考考节节点点。网网孔电流取顺时针方向，节点电压指向参考节点。孔电流取顺时针方向，节点电压指向参考节点。标准元件图标准元件图1 1A+-+-+-+-+-+-+-1V标准元件图标准元件图1 1A+-+-+-+-+-+-+-1V