线性代数1-1.ppt

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1、第一章 行列式1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义1.2 1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 1.3 Cramer法则法则（一）（一）二阶行列式二阶行列式 对二元线性方程组对二元线性方程组1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算（每项是位于不同行（每项是位于不同行,不同列两个元素的乘积）不同列两个元素的乘积）注意注意:分母分母D为原方程组的系数行列式为原方程组的系数行列式.例

2、例例例1 1 1 1解解(二二)、三阶行列式、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表式称为数表（5）所确定的所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.三阶行列式的计算三阶行列式的计算对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则说明说明 1 1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式2.2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为负三项为负.如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线

3、性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组则有解：则有解：例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算小结小结三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,且三项为正且三项为正,三项为负三项为负.(三三)排列与逆序排列与逆序 由自然数由自然数1、2、3、4、n组成的一个

4、组成的一个有序有序 数组数组称为一个称为一个n级排列，简称为排列。级排列，简称为排列。排列：排列：自然排列：自然排列：n级排列级排列123n 称为自然排列。称为自然排列。n级排列的三要素级排列的三要素 n个数中不能有重复数个数中不能有重复数 不能有大于不能有大于n的数的数 由由n个自然数组成个自然数组成 n级排列的总数级排列的总数n!个个逆序：逆序：在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如：在三级排列例如：在三级排列312312中，中，逆序：逆序：31 31 、3232在四级排列在四级排列42314231中，中，逆序：逆序：4242、212

5、1、3131 一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆一个排列中逆序的个数称为这个排列的逆 序数序数 。例如例如记为记为逆序数逆序数:（2 2）12345671234567逆序：无逆序：无 （1 1）32413241逆序：逆序：3232、3131、2121、4141逆序数的计算方法逆序数的计算方法:=j1后面比后面比j1 1小的数的个数小的数的个数 +j2 2后面比后面比j2 2小的数的个数小的数的个数 +jn-1-1后面比后面比jn-1-1小的数的个数小的数的个数例如例如逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶

6、性排列的奇偶性对换：对换：在一个在一个n级排列（级排列（j1 1 j2 2 ji jkjn ）中，若仅）中，若仅将其中两个数将其中两个数ji、jk对调对调,其余不动，可得一个其余不动，可得一个新的排列（新的排列（j1 1 j2 2 jk jijn ）,对排列所施行对排列所施行的这样一次对调称为一个的这样一次对调称为一个对换对换。定理：一次对换改变排列的奇偶性。定理：一次对换改变排列的奇偶性。则则奇奇偶性不同偶性不同与与即：即：若若例如例如2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3.3.一次对换改变排列的奇偶性一次对换改变排列的奇偶性1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为

7、小结小结（四）（四）n阶行列式的定义阶行列式的定义二阶行列式二阶行列式=两项两项的代数和，每一项是行列式中的代数和，每一项是行列式中不同行不同列的两个元素的乘积不同行不同列的两个元素的乘积概念的引入概念的引入其中其中三阶行列式三阶行列式=六项六项的代数和，的代数和，每一项是行列式中每一项是行列式中不同行不同列的三个元素的乘积不同行不同列的三个元素的乘积=求和号求和号n级排列级排列（由（由1、2n组成，共组成，共n!个）个）n级排列级排列的逆序数的逆序数行列式中行列式中n个不同行不同列个不同行不同列的元素的乘积的元素的乘积=n!项项的代数和，每一项是行列式中的代数和，每一项是行列式中不同行不同列

8、的不同行不同列的n个元素的乘积个元素的乘积定义定义说明说明1 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2 2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3 3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4 4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是从而这个项为零从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式分析分析展开式中项的一般形式展开式中项的一般形式是是所以不为零的项只有所以不为零的项只有解解例例3