教育专题：求二次函数的解析式 (2).ppt

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1、求二次函数的解析式求二次函数的解析式 1 1、结合二次函数图象的性质，怎样求结合二次函数图象的性质，怎样求抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)与与x x轴、轴、y y轴的轴的交点坐标？交点坐标？2 2、怎样求平面直角坐标系内一点到、怎样求平面直角坐标系内一点到x x轴、轴、y y轴的距离？轴的距离？设平面直角坐标系内任一点设平面直角坐标系内任一点P P的坐标为的坐标为（m m，n n），则：），则：点点P P到到x x轴的距离轴的距离=nn 点点P P到到y y轴的距离轴的距离=mm xyoP（m，n）3 3、怎样求抛物线与、怎样求抛物线与x x轴的两个交点的

2、距离？轴的两个交点的距离？xyx1x2ABo设抛物线与设抛物线与x x轴的两个轴的两个交点坐标为交点坐标为A(x1A(x1，0)0)，B(X2B(X2，0)0)，则：则：AB=x2-x1(x2x1)AB=x2-x1(x2x1)4.二次函数的解析式有哪几种形式？1、一般式：、一般式：2、顶点式：、顶点式：3、交点式：、交点式：对称轴对称轴1,某二次函数图象是由某二次函数图象是由yax2(a0)的图象向左的图象向左平移平移3个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位得到个单位得到2,当当x-3时，函数有最大时，函数有最大(或最小或最小)值值2 3,当当x-3时，抛物线时，抛物线y随随x的增大而增

3、大，且当的增大而增大，且当x-3时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小 1,当当x-1或或x-5时，时，y的值都是零的值都是零2,ax2bxc=0(a0)的两个根分别为的两个根分别为-5和和-1 3,当当-5x-1时，函数值时，函数值y0(-3,2)(-3,2)对称轴为对称轴为x=-3与与x轴交点的坐标为轴交点的坐标为(-5,0),(-1,0)根据以下信息根据以下信息,试确定二次函数的顶点坐标或试确定二次函数的顶点坐标或对称轴对称轴根据以下信息根据以下信息,试确定二次函数与试确定二次函数与x轴的交点坐标轴的交点坐标课前小练习课前小练习例题例题1设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为 ,则则a(

4、3-1)a(3-1)2 2-1=-3,-1=-3,解得解得:a=-:a=-抛物线的解析式为抛物线的解析式为:某抛物线是将抛物线某抛物线是将抛物线yax2向右平移一个单向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，且位长度，再向下平移一个单位长度得到的，且抛物线过点抛物线过点(3，-3)求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式 解解:例题例题2 2 抛物线与抛物线与y=-xy=-x2 2的形状、开口方向相同的形状、开口方向相同,且与且与x x轴两交点的横坐标分别为轴两交点的横坐标分别为2,6.2,6.求抛物线的解求抛物线的解析式析式.分析分析:所求抛物线与所求抛物线与x轴两交点轴两交点的横坐标

5、分别为的横坐标分别为2，6相应一元二次方程的两根为相应一元二次方程的两根为x12，x26，可设抛物线解析式为，可设抛物线解析式为ya(x-x1)(x-x2)所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为例题例题3 已知二次函数的图象在已知二次函数的图象在x轴上截得的轴上截得的线段长是线段长是4，且当，且当x1，函数有最小值，函数有最小值-4，求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式(-1,0)(3,0)X=1由题意由题意,得得:解解:设图象与设图象与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0),设设把把(1,-4)代入上式得代入上式得:-4=a(1-3)(1+1)解得解得:a=1y=x2

6、-2x-300ABAB 对称是一种数学美，它展示出对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应积极捕捉，轴对称图形，解题中应积极捕捉，创造对称关系，以便从整体上把握创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有：式有：1.1.从抛物线上两点的纵坐标从抛物线上两点的纵坐标 相等相等获得对称信息获得对称信息;2.2.从抛物线上两点之间的从抛物线上两点之间的线段被抛物线的对称轴线段被抛物线的对称轴垂垂直平分直平分获得对称信息获得对称信息.图象的对称图象的对称例例5.抛物线抛物线y=x2+2x

7、-3关于关于y轴对称后的解析式是轴对称后的解析式是关于关于x轴对称后的解析式是轴对称后的解析式是关于原点对称后的解析式是关于原点对称后的解析式是关于顶点对称后的解析式是关于顶点对称后的解析式是结论：图象结论：图象的对称和点的对称和点的对称一样。的对称一样。关键要确定关键要确定对称以后的对称以后的顶点坐标和顶点坐标和开口方向开口方向.例例4.若若y=ax2+bx+c(a 0)经过点经过点A(2,m),B(4,m),则对称轴是则对称轴是_ A直线直线x=3 B直线直线x=4 C直线直线x=-3 D直线直线x=2A A(-1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,4)y=(x-1)2-4y=-(x+1

8、)2+4y=(x+1)2+4y=-(x+1)2-4(-1,-4),形状一样形状一样,但开口方向相反但开口方向相反 已知抛物线已知抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形状相同形状相同,顶点在直线顶点在直线x=1x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距离轴的距离 为为5,5,请写出满足此条件的抛物线的解析式请写出满足此条件的抛物线的解析式.解解:抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形状的形状 相同相同 a=1a=1或或-1-1 又又顶点在直线顶点

9、在直线x=1x=1上上,且顶点到且顶点到x x轴的距离为轴的距离为5,5,顶点为顶点为(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5)所以其解析式为所以其解析式为:(1)y=(x-1)(1)y=(x-1)2 2+5 (2)y=(x-1)+5 (2)y=(x-1)2 2-5-5 (3)y=-(x-1)(3)y=-(x-1)2 2+5 (4)y=-(x-1)+5 (4)y=-(x-1)2 2-5-5 展开成一般式即可展开成一般式即可.练习练习1练习练习2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。的图象如图。(1)、当、当x为何值时，为何值时，y随随x的增大而增大的增大而增大;(2

10、)、当、当x为何值时，为何值时，y2.5时时,y随随x的增大而增大的增大而增大;当当1x4时时，y0。顶点坐标顶点坐标(2.5,-1.8)解析式为解析式为:y=x2-5x+4练习练习3、已知抛物线、已知抛物线y=x2-(m+2)x+1,根据下列条根据下列条件求件求m的值。的值。(1)对称轴是直线对称轴是直线x=4;(2)有最小值有最小值-3；(3)顶点在顶点在x轴；轴；(4)顶点在直线顶点在直线y=x-1上。上。m=6m=2或或-6m=0或或-41.(05绍兴市绍兴市)平移抛物线平移抛物线 ，使，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式析式_2.(05兰州

11、市兰州市)一条抛物线的对称轴是一条抛物线的对称轴是且与轴有惟一的公共点，并且开口方向且与轴有惟一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是向下，则这条抛物线的解析式是(任任写一个写一个)中考链接中考链接3（2006年长春市）如图，二次函数年长春市）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点的图象经过点M（1，2）、）、N（1，6）。）。（1）求二次函数的关系式。（）求二次函数的关系式。（3分）分）（2）把）把RtABC放在坐标系内，其中放在坐标系内，其中CAB=90，点，点A、B的坐标分别为（的坐标分别为（1，0）、（）、（4，0），），BC=5。将。将ABC沿沿x轴向右平移，当点轴

12、向右平移，当点C落在抛物线上时，求落在抛物线上时，求ABC平移的距离。（平移的距离。（4分）分）解：（解：（1）M（1，2），），N（1，6）在二次函数在二次函数y=x2+bx+c的图象上，的图象上，二次函数的关系式为二次函数的关系式为y=x24x+1。（2）RtABC中，中，AB=3，BC=5，AC=4，A（1，0），），点点C落在抛物线上时，落在抛物线上时，ABC向右平移向右平移 个单位。个单位。4.如图，已知抛物线过点如图，已知抛物线过点A(1,0)、B(4,0)、(1)求抛物线对应的函数关系式及对称轴；求抛物线对应的函数关系式及对称轴；(2)点点C是点是点C关于抛物线对称轴的对称点，关于抛物线对称轴的对称点，证明直线证明直线 必经过点必经过点C；(3)问：以问：以AB为直径的圆能否过点为直径的圆能否过点C？并？并说明理由。说明理由。对称轴对称轴x=1.5C以以AB为直径的圆会过点为直径的圆会过点C