线性代数2-1.ppt

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1、当当 y=0 时时,由由(1)(1)有有 何为线性代数何为线性代数任何一条直线任何一条直线,都可以用两个变量的一次方程表示都可以用两个变量的一次方程表示(1)(1)所以所以,一次方程也叫做直线方程或线性方程一次方程也叫做直线方程或线性方程.(2)(2)解方程解方程:当当a 0 时时,有有(3)(3)其中其中解一元一次代数方程是解一元一次代数方程是线性代数的原始问题线性代数的原始问题.虽然这个问题并不困难虽然这个问题并不困难,但其解题的原理但其解题的原理,是全部是全部线性代数的思想与方法的线性代数的思想与方法的原始标本原始标本.例如线性方程组例如线性方程组可以写成可以写成其中其中(4)(4)上述

2、问题归结为线性型问题或双线性型问题上述问题归结为线性型问题或双线性型问题.是我们要掌握的重点是我们要掌握的重点.在科学实验及生产实践中在科学实验及生产实践中,变量与变量与变量之间的依赖关系是多种多样的变量之间的依赖关系是多种多样的,但总可以直接表示或近似地转化为但总可以直接表示或近似地转化为线性型问题线性型问题.是研究各种重数线性型问题的科学是研究各种重数线性型问题的科学.线性型线性型双线性型双线性型多重线性型多重线性型向量向量矩阵矩阵张量张量线性代数线性代数线性代数线性代数第二章第二章 矩阵矩阵21 矩阵的概念矩阵的概念22 矩阵的运算矩阵的运算23 逆矩阵逆矩阵24 分块矩阵分块矩阵21

3、矩阵的概念矩阵的概念 由由 mn 个数个数 aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的排成的 m 行行 n 列的数列的数表表,记为记为 定义定义定义定义简记为简记为叫做叫做 m 行行 n 列矩阵列矩阵,简称为简称为 mn 矩阵矩阵,aij 叫作矩阵叫作矩阵 A 的第的第 i 行行 第第 j 列元素列元素.元素是实数的矩阵称元素是实数的矩阵称为为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称元素是复数的矩阵称为为复矩阵复矩阵.是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如几种特殊矩阵几种特殊矩阵例如例如是一个是一个3

4、 阶方阵阶方阵.(2)(2)只有一行的矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵称为行矩阵(或或行向量行向量).(1)(1)行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵 ，称为，称为 阶阶方阵方阵.也可记作也可记作只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵(或或列向量列向量).).称为称为对角对角对角对角矩阵矩阵矩阵矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（3 3）形形如如 的的方方阵阵,不全为不全为0 0记作记作(4)(4)上（下）三角矩阵上（下）三角矩阵-主对角线的下主对角线的下 （上）方元素都为零的（上）方元素都为零的方阵方阵.如如-上三角矩阵上三角矩阵-下三角矩阵下三角矩阵 （5 5）元素全为

5、零的矩阵称为零矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(6)(6)单位矩阵单位矩阵称为称为单位矩阵单位矩阵（或单位阵）（或单位阵）.全为全为1 1方阵方阵简记作简记作E 或或I，其特点是主对角线上的元素，其特点是主对角线上的元素 aii=1,主对角线以外的元素主对角线以外的元素aij=0 (ij)，即，即 同型矩阵与矩阵相等的概念同型矩阵与矩阵相等的概念 1.1.两个矩阵的行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同型矩阵型矩阵.2.2.两个矩阵两个矩阵 为同型矩阵为同型矩阵,并且并

6、且对应元素相等对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为同型矩阵为同型矩阵.例例1 1之间之间的的关系式关系式线性变换线性变换.系数矩阵系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为若线性变换为称之为称之为恒等变换恒等变换.对应对应 单位阵单位阵.例如线性变换例如线性变换对应对应这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.例例2 对对mn 线性方程组线性方程组m(n+1)增广矩阵增广矩阵（*）线性方程组（线性方程组（*）与）与之间的关系是之间的关系是1-11-1对应的对应的=线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.mn=A系数矩阵系数矩阵m1=b常数矩阵常数矩阵n 1=X未知量矩阵未知量矩阵其中其中mn 线性方程组可表为线性方程组可表为例如：用消元法解方程组：例如：用消元法解方程组：对对（a）（b）（c）a（-2）加到加到b,a1加到加到c cb2加到加到c cc1加到加到bb1加到加到a