天津市河西区2021-2022高一数学下学期期中试题(含解析).docx

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1、 优质资料word 可编辑天津市河西区 2021-2022 高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（共 9 小题）.1.如果a， 是两个单位向量，则a与 一定（）bbA. 相等等B. 平行C. 方向相同D. 长度相【答案】D【解析】【分析】根据a， 是两个单位向量；可得到其模长相等，方向不定，即可判断答案b【详解】因为a， 是两个单位向量；b所以其模长相等，方向不定；故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的概念和关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。= (x -1)+ (x -1)i2.若复数 z2为纯虚数，则实数 x 的值为 （ ）-1-1 1或A. 1B.C.D.0【答案】C【解析】

2、z = (x -1)+ (x -1)ix -1= 0且x-1 022解：因为故有x=-1选 C3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为 50，将数据分组整理后，列表如表：01234567观看人数占调查人数的百分比m%6%2%从表中可以得出正确的结论为（A. 表中 m 的数值为 8）1 / 151 优质资料word 可编辑B. 估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人C. 估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 720 人D. 估计观看比赛场数 众数为 2【答案】B的【解析】【分析】由频率分布表的性质，求出m1

3、2,否定 A;先由频率分布表求出观看比赛不低于 4 场的学生所占比率为 36%，由此估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人；出现频率最高的为 3即可作出选择.【详解】由频率分布表的性质，得：m1008102026166212，故A错误；观看比赛不低于 4 场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%36%，估计观看比赛不低于 4 场的学生约为：100036%360 人，故B正确，C错误；出现频率最高的为 3故D错误；故选：B【点睛】本题考查频率分布表以及利用频率分布表估计人数与众数，考查基本分析判断能力，属基础题.4.甲、乙两个元件构成一串联电路，设E =“甲元件故障”，F =“乙

4、元件故障”，则表示电路故障的事件为()A. E FB. E FC. D. E FE F【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，E =“甲元件故障”，F =“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：E F.2 / 152 优质资料word 可编辑故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.5.若a,b R,i为虚数单位，且+ = +(a i)i b i，则A. a =1,b =1B.1,b

5、1= - =C.a =1,b = -1D.aa = -1,b = -1【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为(a + i)i = b + i，即-1+ ai = b +i，因为a,b R,i 为虚数单位，所以a =1,b = -1，故选C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.6. 小波一星期的总开支分布如图 1 所示，一星期的食品开支分布如图 2 所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为A. 30%定B. 10%C. 3%D. 不能确【答案】C【解析】30鸡蛋开支占食品开支=10% ，小波一星期的鸡蛋

6、开支占总开支的百30 + 40 +100 +80 + 503 / 153 优质资料word 可编辑分比为30%10% = 3%7.设A、B是两个概率大于 0 的随机事件，则下列论述正确的是（A. 事件A B，则P（A）P（B）B. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立C. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥D. P（A）+P（B）1）【答案】C【解析】【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断【详解】若事件B包含事件A，则P（A）P（B），故A 错误；若事件A、B互斥，则P（AB）0，若事件A、B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）0，故 B 错误，C 正确；11

7、2若事件A，B相互独立，且P（A） ，P（B），则P（A）+P（B）1，故 D 错误2故选：C【点睛】本题考查概率的性质，属于基础题.8.设在DABC中,角A B,C 所对的边分别为，a，b,c+ =, 若 bcosC ccos B asin A , 则DABC的形状为 （ ）A. 锐角三角形【答案】BB. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【解析】【分析】( )sin B +C = sin2 A利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得psin A = 1,A = ，从而可得结果.2【详解】因为bcosC +ccosB = asin A，所以由正弦定理可得sin B cosC

8、+ sin C cos B = sin A ，2( )sin B +C = sin A sin A = sin A，224 / 154 优质资料word 可编辑p所以sin A = 1,A =，所以是直角三角形.2【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.已知向量 ， 是两个不共线的向量，且向量m - 3 与 + （2m） 共线，则实数ma ba b ab的值

9、为（）A. 1或3B.C. 1或4D. 3或43【答案】A【解析】分析】由向量共线可得存在实数 k 使得 m - 3 = k + （2m） ，整理，利用平面向量基本a bab【定理列关于k，m的方程组，解出即可.【详解】解：向量m - 3 与 + （2m） 共线，a b ab存在实数k使得：m - 3 = k + （2m） ，a bab化为：（mk） + 3k（2m） = ，ab 0向量 ， 是两个不共线的向量，a bm - k = 0( ) ，解得m3 或1.-3- k 2 - m = 0故选：A.【点睛】本题考查向量共线定理的应用以及平面向量基本定理的应用，是基础题.二、填空题：本大题共

10、6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.6 + 7i10.i 是虚数单位，复数= _.1+ 2i【答案】4i【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.5 / 155 优质资料word 可编辑( )( )( )( )1+ 2i 1- 2i6 + 7i 1- 2i6 + 7i1+ 2i20 5i-= 4 -i.详解：由复数的运算法则得：5点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查已知该校一年级、二

11、年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_名学生【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查的.【详解】该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，4应从一年级本科生中抽取学生人数为：300= 60.4 + 5+ 5+ 6故答案为 60.12.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y则事件“x+y3”的概率为_1【答案】12【解析】【分析】基本事件总数 n6636，利用列举法求

12、出事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有 3个，由此能求出事件“x+y3”的概率【详解】将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 x，第二次出现的点数为 y基本事件总数 n6636，事件“x+y3”包含的基本事件（x，y）有：（1，1），（1，2），（2，1），共 3 个，6 / 156 优质资料word 可编辑31则事件“x+y3”的概率为 p=36 121故答案为：12【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.p13.在三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对应的长分别为 a，b，c，若 a=2，B=

13、 ，c=2 3 ，则 b=6【答案】：2【解析】【 详 解 】 因 为 已 知 两 边 及 其 夹 角 ， 所 以 直 接 用 余 弦 定 理3b = a + c - 2accos B = 4 +12 - 222 3 = 4 得 b=2.22222p314.已知e ，e 是夹角为的两个单位向量， e 2e ， ke e ，若 a b a b2121120，则实数 k 的值为_5【答案】4【解析】2p与ea=e - 2e b=ke + e，解：因为e为两个夹角为的单位向量，31212125（e - 2e ）（ ke + e ）= ke + e + (1- 2k)e ?e = 2k - = 022

14、212121212所以= 即为ab 05k =4 BC，15.如图，在平面四边形ABCD 中，AB若点 为 DC 上的动点，则，AD CD，BAD =120 AB=AD=1.AE BE的最小值为_.E7 / 157 优质资料word 可编辑2116【答案】【解析】【分析】33BE = - ,t -建立直角坐标系，得出AE = (-1,t) ，利用向量的数量积公式即可得223 3 BE = t -t +，结合t 0, 3 ，得出AE BE出 AE的最小值.222【详解】因为AD CD，所以以点 为原点，D为 x 轴正方向，y为 轴正方向，建DADC立如图所示的平面直角坐标系，因为 AD= AB

15、=1，所以 A(1,0)，3 3又因为DAB =120，所以直线的斜率为，易得B ,，AB32 23 BCBC因为 AB，所以直线的斜率为-，3323 3 -= -x -所以直线 BC 的方程为 y，3 2 8 / 158 优质资料word 可编辑令x = 0，解得y= 3 ，所以C(0, 3) ，设点 坐标为E(0,t)，则t 0, 3 ，E33BE = - ,t -则AE = (-1,t) ，22 3 33 3t +AE BE = -1 - + t t - = t2 -所以 2 222213又因为t 0, 3，所以当t=时，AE BE取得最小值为164【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及

16、坐标表示、平面向量的数量积以及直线与方程三、解答题：本大题共 5 小题，共 49 分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤16.随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数（40，45 n1（45，50 nf22（1）确定样本频率分布表中n，n，f 和f 的值；1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取

17、4 人，至少有 1 人 日加工零件数落在区间（30，35的概率【答案】（1）n7，f0.28； n2， f0.08；（2）见解析（3）0.590411229 / 159 优质资料word 可编辑【解析】【分析】（1）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n ，n ，f 和 f 的值；（2）根据上述频率分布1212表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率【详解】（1）（40，45的频数 n 7，频率 f 0.28；（45，50的频数 n 2，频率 f 0.08；1122（2）分组频数频率频率/组距0.0240.0425，30（30，35（35，40（40，45（45，50358720

18、.120.200.320.280.080.0640.0560.016绘制频率分布直方图如图所示：（3）设在该厂任取 4 人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件 A，则至少有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件 ，A5 1=25 5已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35的概率为，( )( )1( )P A = C (1- ) = 0.4096， P A=1- P A = 0.5904，045410 / 1510 优质资料word 可编辑在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率 0.5904【点睛】本题考查频率分布表、频率分布直方图、求

19、事件的概率，属于中档题.17.在一次猜灯谜活动中，共有 20 道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12 个，乙同学猜对了 8 个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率13256【答案】（1）（2）25【解析】【分析】( ) ( )（1）设事件 A 表示“甲猜对”，事件 B 表示“乙猜对”，求出p A p B，任选一道( ) ( )( )( )( )+ AB = P A P B + P A P B灯谜，恰有一个人猜对的概率为：P AB，由此能求出结果( ) ( ) ( )P AB = P A P B（2）任选一

20、道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为，由此能求出结果.【详解】（1）设事件 A 表示“甲猜对”，事件 B 表示“乙猜对”，12 3=20 58 2=20 5=则 P（A），P（B），任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：3 2 352 13= 1- +） =P（A +）P（A）P（ ）+P（ ）P（B）（1B ABBA5 5 5 25（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：35256-=）P（）P（ ）P（ ）（1）（1ABAB25【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18.在ABC 中的内角 A，B，C 所对的

21、边分别为 a，b，c，已知 B30，b=，c2，解2这个三角形【答案】a= 3 -【解析】1，A15， 135或C=3 +1，A105，C45a11 / 1511 优质资料word 可编辑【分析】根据正弦定理求得 C，进而得到 A，根据余弦定理求得 a 即可c1sinB= 2 =22【详解】解：由正弦定理可得 sinC=，b2因为 bc，则 C135或 45，所以 A15或 105；a + c -b+ 4 - 24a3 a=22222根据余弦定理可得 cosB=，即，解得a=-3 1 或2aca =A 15 时，= = ， A 105 时，3 1，+a3 1a=3 1+故该三角形 a= 3 -

22、1，A15， 135或Ca=3 + 1，A105，C45【点睛】本题考查解三角形，确定选用公式的顺序是解题关键本题根据已知条件先用正弦定理求出 ，从而得 角，然后由余弦定理求出a CA19.已知OP = （2，1），OA =（1，7），OB= （5，1），设 C 是直线 OP 上的一点（其中 O为坐标原点）（1）求使 取到最小值时的OC ；CA CB（2）根据（1）中求出的点 C，求 cosACB( )4 174，2 ；（2）cosACB= -【答案】（1）17【解析】【分析】 1 C x， x（1）根据题意设点 ，从而将CA CB数量积的坐标表示求出来，可得一个关于x 2 的二次函数，利用二

23、次函数的性质，即可求得答案；（2）根据（1）中的点 C，可以求得，CA CB的坐标，利用向量的数量积即可求得 cosACB的值( )1OP = 2，1 ，则直线 OP 的方程为 y= x ，【详解】（1）2 1 ， xC 是直线 OP 上的一点，则设点C x， 2 12 / 1512 优质资料word 可编辑1 1 CA = OA - OC = 1- x，7 - x ，CB = OB - OC = 5 - x，1- x ，2 2 1- x21- x2 = （1x）（5x）+（7）（ 1）CA CB5= x -10x +12245= (x - 4) -8，24当 x4 时， 取到最小值，此时 C

24、（4，2），CA CB( )= 4，2 ；OC（2）由（1）可知，C（4，2），( ) ( )= -3，5 ，CB = 1，-1 ，CACACB-3-54 1717cosACB = -，( )( )| CA CB |-3 + 5 1 + -122224 1717故 cosACB= -【点睛】本题考查向量数量积坐标表示、向量夹角坐标表示、二次函数最值，考查基本分析求角能力，属基础题.1+20.设 z 是虚数，z z是实数，且1z 12z1211（1）求|z |的值以及 z 的实部的取值范围；111- z=（2）若 1+ z1 ，求证 为纯虚数；1（3）求 z 的最小值22121， （2）见解析（

25、3）1-【答案】（1）|z |1，取值范围为12【解析】分析】（1）设 z 代数形式代入 z ，根据 z 是实数，求得|z |，再根据1z 1，求得 z 的实部122121的取值范围；（2）根据复数除法法则化简 ，再根据纯虚数概念判断证明；13 / 1513 优质资料word 可编辑（3）先化简 z ，再利用基本不等式求最小值22【详解】（1）设 z a+bi，（a，bR，且 b0），1a -bi（a+bi） ( )( ) （a+bi）1-+1a bi+ =+=+（a+bi）=+=则 z za+bi a -biz1a bi+21a b22ab（a+）+（b-）i，a + ba + b2222因

26、为 z 是实数，2a2+ b -1b所以 b-2=0，即 b（）0，a + b+ b2a222因为 b0，所以 a +b 1，22即|z |1，且 z 2a，1211- 由1z 1，得12a1，解得a，222121， -即 z 的实部的取值范围为12（2）证明：a +b 1，221- z 1- a -bi 1- a -b - 2bibi22= -，11+ z 1+ a + bi(1+ a) + b2a +121112- 因为a，b0，21- z=所以 为纯虚数11+ z1abbi+）+（b-）i（-（3）z （a） ，22+ b2a + b2a +12a22b22a+（bb）i+(a +1)21- a22a+(a +1)21- a2a+a +1( ) ( )2a a +1 + 1- a=a +12a + a +12a +114 / 1514 优质资料word 可编辑2a2+11a +12(a +1) - 4a - 22a +1( )2(a +1)2 - 4 a +1 + 2a +11 +2+1+2（a+1）4a +1231+-3，a+1 ， ，2（a+1）a +1222=当 2（a+1）时，即 a0 时，z 取最小值 12a +12【点睛】本题考查复数概念、复数的模、纯虚数概念、复数运算以及利用基本不等式求最值，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.15 / 1515