教育专题：等差数列.ppt

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1、高一数学组高一数学组 敖长发敖长发复复 习习 回回 顾顾数列的定义，通项公式，递推公式数列的定义，通项公式，递推公式 按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2,a3,an,，简记为an。如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个数学式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式。如果已知数列an的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。我们经常这样数数，从我们经常这样数数，从0 0开始，每隔开始，每隔5 5数一次，可以得到数列：数一次，可以得到数列：0 0，5 5，1010 ，1515 ，

2、2020 ，20002000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了列为比赛项目。该项目共设置了7 7个级别，其中较轻的个级别，其中较轻的4 4个级别体个级别体重组成数列（单位：重组成数列（单位：kgkg）：）：4848 ，5353，5858，6363.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m18m，自，自然放水每天水位降低然放水每天水

3、位降低2.5m2.5m，最低降至，最低降至5m5m。那么从开始放水算起，。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m m）：）：1818，15.515.5，1313，10.510.5，8 8，5.55.5.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和本利和=本金本金(1+(1+利率利率存期存期)。例如，按活期存入。例

4、如，按活期存入1000010000元钱，元钱，年利率是年利率是0.72%0.72%，那么按照单利，那么按照单利，5 5年内各年末的本利和（单位：年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：元）组成一个数列：1007210072，1014410144，1021610216，1028810288，10360.10360.四四 个个 实实 例例从第二项起，后一项与前一项的差是从第二项起，后一项与前一项的差是5 5。从第二项起，后一项与从第二项起，后一项与前一项的差是前一项的差是5 5。从第二项起，后一项与从第二项起，后一项与前一项的差是前一项的差是-2.5-2.5。从第二项起，后一项从第二项起，后一

5、项与前一项的差是与前一项的差是7272。请同学们请同学们思考，这思考，这四个数列四个数列有何共同有何共同特点特点?一、等差数列的定义一、等差数列的定义一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列an,从第从第2 2项起每项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d d 表示。表示。定义的符号表示是：定义的符号表示是：an-an-1=d(n2,2,nNN*),),这就是数列的递推公式。这就是数列的递推公式。an+1-an=d

6、(nN*)是是不是不是 练习一练习一 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项不是？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d,d,如果不是，如果不是，说明理由。说明理由。（1）1，3，5，7，（2）9，6，3，0，-3（3）-8，-6，-4，-2，0，（4）3，3，3，3，（5）15，12，10，8，6，小结：判断一个数列是不是等差数小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数？是不是同一个常数？思思 考：在数考：在数列（列（1 1），），a100=？我们我们该如何求

7、解该如何求解呢？呢？是是是是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=0二、通项公式的推导二、通项公式的推导设一个等差数列设一个等差数列 an n 的首项是的首项是a1 1,公差是公差是d,d,则有：则有：a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,所以有：所以有：a2=a1+d,a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n-1)d 当当当当n=1n=1n=1n=1时，上式也成立。时，上式也成立。时，上式也成立。时，上式也成立。所以等差数列的通项公式是：所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n-

8、1)d（nN*）问问a an n=?=?通过观察：通过观察：a a2 2，a a3 3，a a4 4都都可以用可以用a a1 1与与d d 表示出来表示出来；a a1 1与与d d的系数有什么特点的系数有什么特点？(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=(n-1)dan-a1=(n-1)d即即an=a1+(n-1)da2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=da1 1 、an n、n、d知知三求一三求一等差数列等差数列的任意两项的任意两项 有什么关系呢？有什么关系呢？思考思考:an=a1+(n-1)dam=a1+(m-1)dam-an=(m-n

9、)dd=(am-an)/(m-n)am=?am-an=?am=an+(m-n)d三、等差中项三、等差中项:若三个数若三个数a a，A A，b b组成等差数列，则数组成等差数列，则数A A叫做叫做a a与与b b的等差中项。的等差中项。由等差数列的定义由等差数列的定义不难发现，在一个等差数列中，从第不难发现，在一个等差数列中，从第2 2项起，项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。一项与后一项的等差中项。四、例四、例 题题例例1 1（1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项；项；（2 2）判断）判断

10、-401-401是不是等差数列是不是等差数列 5,-9,-135,-9,-13的项的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析分析（1 1）由给出的等由给出的等差数列前三项，先找差数列前三项，先找到首项到首项a1 1,求出公差求出公差d,d,写出通项公式，就可写出通项公式，就可以求出第以求出第2020项项a2020.解：解：(1)(1)由题意得：由题意得：a1 1=8,d=5-8=-3,n=20=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an n=a1 1+(n-1)d=-3n+11+(n-1)d=-3n+11 a20

11、20=11-320=-49=11-320=-49分析分析（2 2）要想判断要想判断 -401-401是否为这个数列是否为这个数列中的项，关键是要求中的项，关键是要求出通项公式，看是否出通项公式，看是否存在正整数存在正整数n,n,使得使得an n=-401=-401。(2)(2)由题意得：由题意得：a1 1=-5,=-5,d d=-9-(-5)=-4=-9-(-5)=-4这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1 令令-401=-4-401=-4n-1,n-1,得得 n=100n=100-401-401是这个数列的第是这个数列的第100100项。项。练

12、习二练习二 （1 1）求等差数列）求等差数列3,7,113,7,11的第的第4 4项与第项与第1010项；项；（2 2）判断）判断100100是不是等差数列是不是等差数列22，9 9，1616，的的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（解：（1 1）根据题意得：）根据题意得：a a1 1=3,d=7-3=11-7=4,=3,d=7-3=11-7=4,这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：a an n n n=a a1 1 1 1+(n-1)d=4n-1+(n-1)d=4n-1+(n-1)d=4

13、n-1+(n-1)d=4n-1 a a4 4 4 4=44-1=15,=44-1=15,=44-1=15,=44-1=15,a a10101010=410-1=39.=410-1=39.=410-1=39.=410-1=39.（2）由题意得：由题意得：由题意得：由题意得：a a1 1 1 1=2,d=9-2=16-9=7=2,d=9-2=16-9=7=2,d=9-2=16-9=7=2,d=9-2=16-9=7这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：a an n n n=2+(n-1)7=2+(n-1)7=2+(n-1)7=2+(n-1)7 =7n

14、-5(n1)=7n-5(n1)=7n-5(n1)=7n-5(n1)令令令令100=7100=7100=7100=7n-5,n-5,n-5,n-5,得得得得 n=15n=15n=15n=15100100100100是这个数列的第是这个数列的第是这个数列的第是这个数列的第15151515项。项。项。项。例例2 2在等差数列在等差数列 an n 中，已知中，已知a5 5=10,=10,a1212=31,=31,求首项求首项a1 1与公差与公差d.d.这是一个以这是一个以a1和和d 为未知数的二元一次方程组，为未知数的二元一次方程组，解之得：解之得：解：由题意得：解：由题意得：这个数列的首项这个数列的

15、首项a1是是-2，公差，公差d=3.小结：小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。例例 题题解法一解法一:依题意得：依题意得：a1+2d=9 解之得解之得 a1=11 a1+8d=3 d=-1 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n 故故 a12=0,a 3n=12 3 n.已知等差数列已知等差数列 an n 中，中，a3 3=9,=9,a9 9=3=3，求，求 a12

16、12,a3n3n.解法二：解法二：练习练习三三例例3 3、三个数成等差数列、三个数成等差数列,它们的和为它们的和为18,18,它们它们的平方和为的平方和为116,116,求这三个数求这三个数.解解：设这三个数为设这三个数为:a a-d d,a a,a a+d d则则解得解得:a=6,d=:a=6,d=2 2这三个数依次为这三个数依次为4 4，6 6，8 8或或8 8，6 6，4 4 注注（1 1）设未知数时尽量减少未知数的个数）设未知数时尽量减少未知数的个数.（2 2）结果应给出由大到小和由小到大两种情况）结果应给出由大到小和由小到大两种情况.课时小结课时小结1 1、通过本通过本节节课的学习，

17、课的学习，同学们同学们理解和掌握理解和掌握了了等差数列的等差数列的定义及数学表达式：定义及数学表达式：an+1-an=d(n1且且n N*);2 2、其次推导其次推导了了等差数列的通项公式等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d(n1)3 3、再次了解了等差中项的定义再次了解了等差中项的定义4 4、本本节节课的重点是通项公式的灵活应用课的重点是通项公式的灵活应用,知道知道a an n,a a1 1,d d,n n中任中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。还要注意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。还要注意一重要关系式意一重要关系式，an=am+(n-m)d的理解与应用。的理解与应用。五课后作业五课后作业1、课本、课本40页习题页习题2.2 A组第一题组第一题2、请完成导学案上的课后练习、请完成导学案上的课后练习