信号、系统与数字信号处理 第5章 Z变换与离散系统的频域分析.ppt

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1、Z变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出。连续信号5.1 z变换z变换的数学理论很早就形成了，但真正得到实际应用是在上世纪五、六十年代。做为一种重要的数学工具，它把描述离散系统的差分方程，变换成代数方程，使其求解过程得到简化。这一作用类似连续时间系统的拉氏变换。的理想抽样信号为式中为抽样间隔。第五章第五章 Z变换与离散系统的频域分析变换与离散系统的频域分析对上式取双边拉氏变换，得到L交换运算次序，并利用冲激函数的抽样性，得到抽样信号的拉氏变换为 引入新的复变量，将上式写为令 此式是复变量z的函数（是常数），记为这正是双边z变换的定义。式中如果是因果序列，则上式的z变换为也称单边z变换。可见因果序

2、列的双边z变换是单边z变换，所以单边z变换是双边z变换的特例。z变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序所以主要讨论拉氏单边变换。在离散系统分析中，可列的样值。连续时间系统中，信号一般是因果的，以用因果序列逼近非因果序列，因此单边与双边z变换都要涉及。确定z变换的收敛区，其实质是序列的z变换是否存在以1、z变换的收敛区变换的收敛区对于任意给定的有界序列,使（5-3）式收敛的z值集合。(5-3)式是z变换的定义，由其是否收敛以及收敛条件，及存在条件，先就此进行讨论。称为的收敛区。我们举例说明(5-3)式收敛与否，及在什么范围收敛。5.2 Z变换的收敛域典型序列的变换的收敛域典型序列的z

3、变换变换 例5-1 已知序列,分别求它们的z变换及收敛区。解 与相同，但的收敛区是以为半径的收敛区是以的圆外为半径的圆内。，同。所以为了唯一确定z变换所对应的序列，双边z变换 此例说明，收敛区与有关，并且对于双边z变换，不同序列的表示式有可能相同，但各自的收敛区一定不敛区。除了要给出的表示式外，还必须标明的收任意序列z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即 下面具体讨论几类序列的收敛区。(1)有限长序列，如图5-1所示。有限长序列的z变换为只有的负幂项，收敛区为只有的正幂项，收敛区为例例5-2求已知解收敛域为、的公共收敛域(2)右边序列（有始无终）右边序列（有始无终）的收敛域的收敛域0特别的

4、的和式中没有的正幂项，收敛域为收敛半径为的圆外。收敛区是以,求例例5-3 已知解收敛域为当或右边序列一般情况敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。的封闭表示式中，若有多个极点，则收右边序列(3)左边序列（无始有终）左边序列（无始有终）、的公共收敛域的收敛域的收敛域0收敛半径为的圆内。特别的的和式中没有的正幂项，收敛域为收敛区是以解此例收敛域是以的极点为半径的圆内。例5-4 已知，求左边序列的封闭表示式中，若有多个极点，则收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。左边序列的一般情况(4)双边序列（无始无终）的收敛域 的收敛域、的公共收敛域 双边序列z变换不存在或例例5-5为实数，求解：或讨

5、论：则双边序列z变换不存在1010因果序列有一定的应用，所以重点讨论单边序列也适当2、典型序列的、典型序列的z变换变换连续时间系统信号非因果信号较少，但在离散系统中非有双边序列的z变换。1.Z(2).(1)Z (3).斜变序列Z可利用的z变换，等式两边分别对求导，得两边各乘以得 (4).指数序列1)Z2)Z 若，则Z (5).正、余弦序列由指数序列的 可推得 将正、余弦序列分解为两个指数序列 (6)双边指数序列 5.3 z变换的性质与定理变换的性质与定理1、线性若则当二者之和的零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。例5-6 利用线性求双曲余、正弦序列的z变换。解解 已知指数序列及变换 双曲余弦序

6、列可分解为利用线性及指数序列的变换，双曲余弦序列的变换为 同理 证明令 2、双边、双边z变换的移位变换的移位Z，代入上式Z则若例5-7 一般收敛区不变，也有特例。1）若序列3、单边、单边z变换的位移性变换的位移性的单边z变换为则序列左移后单边z变换为 证明 Z 令 10序列左移后单边z变换的示意图如图5-6所示。10减特别的，ZZ 若 则 证明 Z 令 序列右移后单边z变换的示意图如图5-7所示。10加10特别的，ZZ 若为因果序列 则 例例5-9 求周期序列的单边z变换解解 周期序列令的主值区序列为，其z变换为 则的单边z变换为证：Z则若4、指数序列加权 可得 利用Z 交换运算次序 的线性加

7、权的微分或5、证则若可得 利用 6、复序列的共轭若则证应用ZZ=Z=Z7、初值定理条件因果序列证明对等式两边取极限 极点外，其余极点均在单位圆内。是因果序列、除单位圆上可有一个的一阶8、终值定理、终值定理定理适用条件：则特别的，若有零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。9、时域卷积定理例5-9求其中则若解应用：求离散系统的零状态响应，如图5-8所示。10、序列相乘复卷积定理若则其中是v平面收敛区内一条逆时针封闭曲线。Z证明将代入上式交换积分、求和次序部极点。在围线内的全是v平面上其中计算一般用留数法（作复变函数积分困难），即1、幂级数法、幂级数法的运算，介绍常用的两种反变换方法。将，其系数就是。

8、特别的，对单边的左序列或右序列，当为有理函数时也称长除法。5.4 Z反变换反变换Z反变换是由展开为举例说明用长除法将展开成级数求得的方法。，求长除法适用单边的左或右序列，双边序列不适用序列为右序列，应展开为z的降幂级数；序列为左序列，应展开为z的升幂级数。例例5-10的降幂级数。外，序列为右序列，应展开为 z解解：因为收敛区在 ，求的升幂级数。内，序列为左序列，应展开为 z解解：因为收敛区在例例5-11由此可得 由此决定分母多项式是按升还是按降幂排列。是左序列还是右序列，在用长除法之前务必确定两个或两个以上极点时，用长除法得到的序列值，要归分式法求解。纳为闭合式还是比较困难的，这时可以用部分的

9、具体数值，但当长除法可以直接得到有由此可得法，即将一般的有理多项式展开为简单的有理式。最基本的分式及所对应的序列为通常表示式为，分母最高次为式中分子最高次为2、部分分式法、部分分式法部分分式法是基于已知简单序列变换对基础上的一种方，且均为单极点，可展开为式中则式中对应的变换为，根据收敛域最终确定。设 例例5-12 已知，求。解解：，是右边（因果）序列。例例5-13 已知，求。，解解：因为收敛区为，是双边序列，由此可得若X(z)在z=z1有一s阶的重极点，其余为单极点。可展开为其中：计算同前，为、表5-1给出了常用序列的z变换。利用这个表再结合z变换的性质，可求一般序列的正、反z变换。5.5利用

10、利用z变换求解差分方程变换求解差分方程N阶LTI离散系统的差分方程一般形式为当是因果序列，已知初始（边界）条件时，可利用z变换求解上式。对上等式两边取z变换，利用单边z变换的位移性，得到式中是初始条件。零状态响应是仅由激励引起的响应。当激励1、零状态响应、零状态响应序列时，系统初始条件为零是因果,，则上式为得零状态响应为 令式中为系统（传输）函数，零状态响应还可表示为ZZ 例例5-14 已知一离散系统的差分方程为，求。其中解解 因为，是零状态响应。对方程两边取zT2、零输入响应、零输入响应零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应，与初始（边界）条件 密切相关。此时激励，零输入响应变的z变换为 其

11、中为系统的初始（边界）条件，Z例例5-15 差分方程同例5-14，求，。解解 激励，是零输入响应。对差分方程两边取z变换3、全响应、全响应与拉氏变换相似，利用z变换，不需要分别求零状态响应与零输入响应，可以直接求解差分方程的全响应。=Z例例5-16 差分方程、激励同例5-14，求。解解 先求出边界条件将代入原方程迭代解出，此时的是全响应。对差分方程两边取zT 例例5-17 已知某离散系统模拟如图5-9所示，求系统函数及冲激响应解解。5.6 z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系变换与拉氏变换、傅氏变换的关系信号的拉氏变换与采样序列的z变换联系起来，引进了复傅氏变换、拉氏变换以及z变换是前面讨论过的三

12、种变换。下面讨论这三种变换之间的内在联系与关系。要讨论z变换与拉氏变换的关系，先要研究z平面与s平面的映射（变换）关系。5.1节通过理想采样我们将连续变量z，它与复变量s有下面的映射关系或z平面与s平面的映射（变换）关系，将为了研究代入，得因此得到 是数字域频率。式中是采样间隔，对应的采样频率式中或。具体讨论与平面的映射关系映射关系(1)s平面的虚轴（）映射到z平面的单位圆s平面左半平面（）映射到z平面单位圆内；s平面右半平面位圆外。映射到z平面单，(2)时，s平面的实轴映射到z平面上的正实轴。s平面的原点映射到Z平面单位圆的点。(3)由于是的周期函数，当由时，由，幅角旋转了一周，映射了整个z

13、平面，且每增加一个采样频率，旋转一周，z平面重叠一次。就重复所以平面的映射关系不是单值的。s平面上宽度为到的带状区就映射为整个z平面，如图5-10所示。Z平面对应为无穷多s平面上宽度为的带状区。1 由以上到 平面的映射关系，再利用理想采样作为桥梁，可以得到连续信号的拉氏变换序列z变换的关系为与采样 傅氏变换是双边拉氏变换在虚轴（，）上的特例，映射到z平面，是单位圆。将此关系带入上式，可以得到z变换与傅氏变换关系 此式说明，采样序列的频谱是连续信号的频谱以为周期重复的周期频谱，如图5-11所示。00除此之外，由上式还可以引出新的变换在单位圆上进一步讨论。是序列的频谱函数。有关序列的傅氏变换在下节

14、还要的Z变换。单位圆上的Z变换定义为序列的傅氏变换，5.7 序列的傅氏变换及其性质序列的傅氏变换及其性质5.6中我们知道s平面与z平面的映射的关系为当时，不难得到此时，对应的是单位圆上的z变换。因此定义单位圆上的z变换是离散序列的傅氏变换，它表示序列的频谱。一般简写为DTFT。如上所述，将单位圆 一、序列的傅氏变换序列的傅氏变换代入z变换的定义，得到序列的傅氏变换定义为 上式表明可以展开为傅氏级数，系数是。序列的傅氏反变换也可将代入z反变换的公式得到 由此得到序列的傅氏正反变换对，可记为或 DTFT IDTFT不难证明序列的傅氏变换是周期函数，因为上式说明是频率的周期连续函数，周期为既然。是以

15、为周期的周期函数，所以只需要在或内标明前面的分析一致，定义周期频谱的就足以。为了与基带频带，其余的为各次谐波频带。与连续时间信号区间为的分析相似，一般给出基带区间之内的特性就足以。在这一频带内，靠近零处的频率是“低频”，而靠近处的频率是“高频”。因为基带频带与相差各次谐波频带的频率无法区分，所以可以认为“低频”是整数倍的靠近的频率，“高频”是靠近点的频率。特别的处频谱对应的是直流分量，而最高频率在处。解，求其傅氏变换。例 5-18 已知0 1 2 3 4 5 6 7 特别的 N=410004例5-19 已知某序列的周期频谱函数为，求序列。解101 2例5-19 的频谱与序列如图5-13所示。1

16、）序列是绝对可和的，满足 2）能量有限的序列，满足序列傅氏变换的存在也是有条件的。有两类序列满足序列傅氏变换存在的充分条件：式收敛的，所以这类序列的傅氏变换存在。如例5-19的绝对可和的序列一定是是能量有限的序列，但能量有限的序列未必满足绝对可和。能量有限的序列虽不满足绝对可和，但因其能量有限，级数是以均方误差为零的方序列，不满足绝对可和，但它的傅氏变换存在。2、与与与与的关系的关系上节利用理想采样信号讨论z变换与傅氏变换的关系时，已经涉及序列DTFT与连续信号FT的关系，现在进一步明确序列的、的关系，建立数字域频谱的概念。由(5-43)式 定义为数字频率，是模拟频率的归一化频率，将代入上式，

17、得到数字域频谱为与与相比，除了模拟频率被归一化外，也是周期频谱。数字域频谱的重复周期为，折叠角频率与模拟域折叠角频率对应，如图5-14所示。000例5-20：已知模拟，如果，以采样频率号的频谱对其采样，求连续信、采样信号的频谱、数字域频谱。解：如图5-15所示。、3、序列傅氏变换的的性质序列傅氏变换的的性质(1)、线性、线性若则(2)、时移与频移、时移与频移 (3)、频域微分、频域微分若则证(4)、时域卷积定理、时域卷积定理，若则证明 (5)、频域卷积定理、频域卷积定理，则用与时域卷积相似的方法可证。是数字域的能量谱密度函数。式中(6)、帕斯瓦尔定理、帕斯瓦尔定理若序列傅氏变换的对称性是傅氏变

18、换性质中的一大类，所以将其单独列出。利用序列傅氏变换的对称性可以简化序列的运算，是非常有用的。这里先介绍一些对称的定义，再讨论有关性质。的共轭对称与共轭反对称序列的共轭对称与共轭反对称序列 4、序列傅里叶变换的对称性、序列傅里叶变换的对称性(1)（5-55）（5-56）共轭反对称序列共轭对称序列列之和式中是实部为偶对称，虚部为奇对称的序列；是实部为奇对称，虚部为偶对称的序列。任意一个复序列总可以分解成共轭对称与共轭反对称序解以上方程组可得：证明 不难得到同理可得的共轭对称分量又可分为实部与虚部且：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数。的共轭反对称分量也可分为实部与虚部共轭反对称序列的实部

19、是奇函数，虚部是偶函数。函数。的条件，所以是共轭对称序列。，满足共轭对称序列的对称性例5-21 分析解：因为将这个共轭对称序列分解为的实部与虚部，可得：表明，确实共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇所以也称对称序列为共轭偶序列。所以也称反对称序列为共轭序序列。为实序列时，其共轭对称序列有 当共轭反对称序列，其共轭反对称序列有 当为实因果序列这时的可表示为例例5-22已知解求01000的共轭对称与共轭反对称序列的共轭对称与共轭反对称序列共轭反对称函数同理可定义共轭对称函数式中的实部为偶函数，虚部为奇函数；的实部为奇函数，虚部为偶函数（2）、对称性）、对称性1）2）证：3）证：证：4）5）证证6）

20、、）、7）、）、证：证：8）、）、证：特别是为实因果序列时，其傅氏变换只有共轭对称部分，共轭反对称部分为零。所以实序列傅氏变换的实部是偶函数，虚部为奇函数，即：显然，实序列傅氏变换的模为偶函数，相位为奇函数。与连续实信号的FT结论相同。可以用单位脉冲响应表示 LTI离散系统的输入输出关系对应的z变换为定义LTI离散系统输出z变换与输入z变换之比为系统函数5.8 离散系统的频域分析离散系统的频域分析1、系统函数、系统函数复频域描述线性非移变系统的数学模型式为系统函数是系统单位脉冲响应的z变换。特别的2、系统函数与差分方程、系统函数与差分方程线性非移变系统的数学模型是常系数差分方程，一般形令 解出

21、两边取z变换（零状态），可得：（5-77）由上式可见，除了系数A，可由其零、极点确定。与连续系统相似，系统函数由有理分式形式分解为零、极点形式，有时并不容易，而用MATLBA可以很方便的确定零、极点并作零、极点图。其中的零点；的极点；例5-23 已知某系统的系统函数为求其零、极点并绘出零、极点图。解 例5-23 MATLBA程序及结果如下b=0.2 0.1 0.3 0.1 0.2;%分子多项式系数a=1-1.1 1.5-0.7 0.3;%分母多项式系数r1=roots(a)%求极点r2=roots(b)%求零点zplane(b,a)%画零、极点图 答案r1=0.2367+0.8915i 0.2

22、367-0.8915i 0.3133+0.5045i 0.3133-0.5045ir2=-0.5000+0.8660i -0.5000-0.8660i 0.2500+0.9682i 0.2500-0.9682i3、系统函数收敛区与系统特性关系、系统函数收敛区与系统特性关系(1)、因果系统由因果系统的时域条件时，以及只有z的 负幂项，其收敛区为 的定义，可知此时。所以的收敛区包含无穷时，必为因果系统。收敛区必包含单位圆。其收敛。所以收敛区包综合上述(1)、(2)情况，当，且时，系统是因果稳定系统。(2)、稳定系统(3)、因果稳定系统含单位圆时，必为稳定系统。区为,且氏变换DTFT存在，可知系统的

23、傅由稳定系统的时域条件例5-24 已知某离散系统的系统函数为 解 根据系统稳定的条件，将系统函数写成零极点形式判断该系统的稳定性。式中极点的模 断系统的稳定性。对一个复杂系统来说，求极点并不容所有极点均在单位圆内，所以是稳定系统。此例是通过求解系统极点，由其是否均在单位圆内，判易，有时是相当繁的（如本例）。所以判断连续系统是稳定往往是利用劳斯（Jury）准则等。否稳定往往是利用罗斯(Routh)准则，判断离散系统是否极点图所有极点在单位圆内，所以是稳定系统。程序可作出其零、极点图，直观作判断。例5-23零、可以直接判断系统的稳定性，或如例5-23利用MATLAB圆外（上）。而利用MATLAB程

24、序得到系统特征根，右半平面（包括虚轴），或是否有极点在z平面的单位基本思路是不直接求极点，而是判断是否有极点在s的的零、极点与系统频响的零、极点与系统频响画出。4、系统频响的作图可利用零、极点，用矢量的方法定性其中：零点指向单位圆的向量极坐标表示；极坐标表示；指向单位圆的向量：极点 当从变化一周时，各矢量延逆时针方向旋转一周。其矢量长度乘积的变化，反映频响振幅变化，其夹角之和的变化反映频响相位的变化。、零、极点矢量与正实轴的夹角。零、极点矢量的模；1零点极点解：由已知条件可知系统是因果稳定系统并作并作、图。图。求求例例5-25已知11时从当从时从均匀直线变化从变化快，变化慢，变化为曲线。xla

25、bel(以pi为单位的频率);title(相位部分);ylabel(相位);w=0:1:500*2*pi/500;%0,2pi区域分为501点X1=1;X2=1-0.9.*exp(-1*j*w);X=X1./X2;magX=abs(X);angX=angle(X).*180./pi;subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);title(幅度部分);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);line(0,2,0 0);(1)(2)(3)原点处的零、极点对相位分量。无影响，只有一线性(4)在零、极点附近相位变化较快（与实轴夹角有的变化）。幅值为零。在单位圆上谷点越明显，在零点附近形成谷点，越靠近单位圆，值越明显，在单位圆上出现谐振。越靠近单位圆峰附近形成峰值，在极点例例5-26、求横向结构网络,的频响图。解，处的零、极点抵消极点：零点：附近相位变化快。出现谷值，并且在令零点以等间隔分布，在令