非线性方程组解法的研究与应用.docx

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1、 摘要在研究自然现象和社会问题时数学是一种重要的工具，科技飞速发展，电子计算机已然成为大众生活的必需品，电子信息技术可谓大放异彩，也因此非线性问题成为数值计算领域的重要研究方向之一，而即将要讨论的非线性方程组的求解的相关问题则是其中最基本的问题。实际上，在工程实践、经济模拟、系统研发以及信息安全等许多方面，我们都可以看到大量的实际问题最终转化成为非线性方程组的求解问题。随着生活质量的不断提高，也导致要解决的问题越来越庞大，越来越复杂，却也促进了非线性方程组求解的发展，其研究具有非常高的实用价值。近年来，国内外学者围绕这一主题进行深入研究，主要集中在牛顿法、高阶收敛法以及人工智能算法等方面。本文

2、对非线性方程组解法的有关观点加以阐明，沿着本文论题这条主线，对研究过程中可能出现的数学方法方面的问题做了相应的分析。本文通过参考文献著作归纳整理了部分基础和较为高效的求解算法。而在相应的应用方面，主要集中在科学技术、化学工程、数值计算等方面，以航空发动机、水利系统中非线性方程组的应用为例进行论述。关键词：非线性方程组求解；牛顿法；单纯形算法；遗传算法AbstractIn the study of natural phenomena and social problems in mathematics is a kind of important tool, the rapid developm

3、ent of science and technology, the electronic computer has become a mass of the necessities of life, the electronic information technology is to shine, and the problem of nonlinear becomes one of the important research direction in the field of numerical calculation, and the problem of solving the n

4、onlinear equations is the most basic one. In fact, in many aspects such as engineering practice, economic simulation, system research and development, and information security, we can see that a large number of practical problems are finally transformed into the solution of nonlinear equations. With

5、 the continuous improvement of the quality of life, the problems to be solved become larger and more complex, but also promote the development of the solution of nonlinear equations, its research has a very high practical value. In recent years, scholars at home and abroad have conducted in-depth re

6、search on this topic, mainly focusing on Newton method, high-order convergence method and artificial intelligence algorithm.In this paper, the views of the method of solving nonlinear equations are expounded, and the possible problems of mathematical methods in the research process are analyzed alon

7、g the main line of the thesis.In this paper, some basic and efficient algorithms are summarized by reference works. The corresponding applications are mainly focused on science and technology, chemical engineering, numerical calculation and so on.Key words:Solution of nonlinear equations; Newtons me

8、thod; Simplex algorith；Genetic algorithm目 录1 导 论11.1选题背景与意义11.2国内外文献综述11.3论文的结构及主要内容41.4论文的研究方法42 非线性方程组求解方法52.1 Newton法及其改进52.1.1 Newton法52.1.2割线法62.2辛普生及开积分公式62.3单纯形算法62.3.1单纯形算法的基本思想72.3.2方法72.3.3终止条件82.4遗传算法82.5同伦算法93 非线性方程组求解的应用103.1遗传算法在航空发动机非线性数学模型中的应用103.2 在电站循环水系统中的应用133.3 同伦算法对乳腺肿瘤进行图像重建15

9、结 语16参考文献17致 谢19231 导 论1.1选题背景与意义二十一世纪，随着电子信息技术的高速发展，人们的生活水平也随之提高，而这也表明，我们要解决的问题也会变得日益复杂。在数学研究这一类别中，解决问题的大方向是非线性问题的研究。将问题转化为形如Ax=b的非线性方程组后，我们会发现其系数矩阵具有大型化、稀疏化这两个十分明显的问题，这对我们求解是不利的。大型指相当高的系数矩阵阶数，稀疏指在系数矩阵中，零元素大量存在。如果我们直接对这样的系数矩阵A进行三角分解操作，就会破坏掉系数矩阵的稀疏性，非零元素的比例将会上升，更加不利于我们求解。数值计算的主要研究对象是线性方程组，所以可以看到的是线性

10、方程组的研究成果是非常可观的。然而实际上的问题是非线性居多，解决方法一般为求解非线性方程组。同时我们也知道，非线性方程组的求解不仅复杂难解，还需要进行大量计算，耗时耗力。由此可以说非线性方程组解法的发展前景十分广阔，有需要就会有市场，而且需要的是高效计算的新型方法才有竞争力，所以对非线性方程组进行研究无论是在学术研究上还是解决大型复杂问题上都是很有意义的。1.2国内外文献综述对非线性方程组的研究历史十分悠久，各界权威人士对其认同程度相当高，它为其他有关学术学问的发展与运用提供强有力的帮助。目前来看，有关非线性方程组问题的解决手段有明显进步，在数值解法这一角度也发展飞快，迭代方法、同伦算法与人工

11、智能法等是其中佼佼者。其中Newton法最为常用、最为基础，其他迭代法均是源于Newton法。早在上个世纪，非线性方程组的求解方面的理论研究就颇为丰厚，数值解法上也取得了不小的学术成就。在早期时候，经J.M.Ortega与W.C.Rheinboldt两位学者合作，不懈努力之下完成了精细讲解。拓扑学、泛函分析的研究使得迭代法的理论知识趋于完备状态，并成功进入实用阶段。考虑非线性方程组f1x1,x2,x3=0f2x1,x2,x3=0fnx1,x2,x3=0（1）上式中，fii=1,2,n是在n维欧氏空间Rn中、区域D上定义的实值函数。让我们引进向量符号，令Fx=f1xf2xfnx x=x1x2x4

12、Rn, 0=000（2）则1式可写成Fx=0（3）这里Fx表示区域DRnRn上的非线性映射，也称作向量值函数。下面将叙述几种常用且有效的方法。1. 迭代法求解非线性方程组的迭代法的理论成果颇为丰厚，运用已经相当纯熟，在Newton法根基之上延伸出来的各样的高阶收敛法也不断得到改良。1.1. Newton法及其改进于迭代法而言，我们对方程组3求解时，构造迭代格式xk+1=Gxk，k=1，2，（4）上式4取如下格式xk+1=xk-Jxk-1Fxk，k=1，2，（5）式中，Jx是Fx的雅可比矩阵，这种方法就是各种方法起始的源头Newton法。然而在实际运用中，经证实我们得出结论，二阶收敛的Newto

13、n法并不适用于解决非线性问题，对非线性方程组进行求解较为困难。其一是因为Newton法求解高度依赖初始值x0，只有初始值x0充分接近方程组的精确解x*时，才能保证Newton法收敛；其二就是还需要大量计算雅可比矩阵Jx，消耗时间与资源，是一种浪费。为战胜求解困难的问题，就必须掌控这两个要害，为此后续又提出了不少种新型的Newton法。割线法、简化Newton法就是其中的代表。除此之外，还有多种改进后的Newton法，Brown法与Brent法是相对较好的算法，但可惜的是都没有实质上的改善。所以，打破Newton法的局部收敛性，找到优秀算法成为一大困扰，大批学者都对此感到无可奈何。1.2. 高阶

14、收敛法21世纪初期，数值积分开始发展起来，许多经由Newton法成长起来的高阶迭代法涌现出来，大体分为泰勒多项式法、积分公式法、分解法以及其他技术四大类。M.Frontini和E.Sormani二位提出的迭代法mMm法xn+1=xn-i=1mAiFxn-iFxn-1Fxn-1Fxn,i0,1（6）其中i是区间0，1上节点，权重Ai满足条件i=1mAi=1。mMm法的提出利用了牛顿科特斯积分公式的简单形式，具有3阶收敛速度。A.Cordero等学者，经过钻研，利用辛甫生公式得到NS法，利用开积分公式得到ON法，这两种方法同样具有3阶收敛速度，当满足非线性方程组Fx0=0，x0为为方程组(3)解的

15、条件时其收敛速度可以达到5阶，可惜的是条件实在难以达到，通常收敛速度达到3阶已是不错的结果。Muhammad Aslam Noor利用积分公式abfxdxb-a4fa+3fa+2b3abfxdxb-a43f2a+b3+fb（7）提出了两种比经典牛顿法、NS法、ON法表现出更强实用性的3阶收敛迭代法，得到学术界的赞赏。2. 大范围收敛法大范围收敛法在机构学、工程等领域的应用非常实用，它是一种求解非线性问题的一种全局收敛方法，实用性很强，迭代法局部收敛这一不足在这里不曾表现出来，更值得注意的是不再依赖于初始值x0，且在满足特定条件下，可以获取求解问题所列方程组的解集。下面对目前常见的三种算法加以讲

16、解。2.1. 同伦算法同伦算法第一次被提出是在1934年，是Lahaye提出的方程求根算法。他将此算法应用到非线性方程组的求解中已经是在四年之后了。同伦算法在初始值这方面没有硬性要求，值得注意的是，方程组一旦满足特定条件，我们就能够知晓问题的每一个解，这在解决问题中是大家最希望看到的，现在，它是一种十分重要的数学工具，常被应用于解决非线性数学问题。正因为如此，同伦算法曾被一度认为是二十世纪最重要的研究成果之一。通过分析多项式映射同伦函数零点集的特性,提出了一种改进路径跟踪方案的同伦迭代法,并论证了同伦迭代法求解非线性多项式方程组的可行性和可靠性,说明了该方法解高亏欠度多项式方程组时具有很高的计

17、算效率。 李立,张剑，陈永.同伦迭代法的研究及其应用于机构学问题的求解2.2. 区间分析法区间分析法，以区间Newton法为基础，由Moore利用区间技术发展起来的迭代方法。区间分析将点变量转换成区间变量，在实际问题中的偏差的积聚会使偏差更大，达不到我们要求的精度。区间分析不像其他分析法那样，它没有这种顾虑，它可以顾虑到所有的偏差。得到要求问题的解的同时，得到一个在我们所要求精度里面的偏差。由区间向量X，区间矩阵K,两种数据加以整理，就可得到区间分析法的迭代格式Xk+1=XkKXk,k=0,1,2,（8）通常情况，初始区间X0=X，用上述格式进行区间迭代，在找到x*所处的极小区间范围内，下一步

18、Newton法准确找到x*。2.3. 单纯形算法单纯形算法由美国教授H.Scarf在1967年第一次提出。直到目前为止，单纯形算法已经发展到了第三代算法。第一代单纯形算法是由Scarf、Kuhn和Eaves提出的，第二代单纯形算法是由Merrill、Kuhn和Mackinnon提出的，第三代单纯形算法是由Eaves提出的。第一代单纯形算法有一定的缺陷，步长一经给定，就是固定的，在整个运算流程中是不能被改变的；同时，选择到符合我们要求的步长也是不容易的，选取的步长偏小时，会使得计算过程过于繁琐，选择的步长偏大时，会使得得到的精度达不到我们要求的那样。第一代单纯形算法用于解决实际问题时，并不是那么

19、合意。与第一代单纯形算法相比较，第二代单纯形算法克服了这种不足，足够用来解决实际问题，但是它的计算步骤很多，使得计算过程非常繁琐。1972年提出的第三代单纯形算法一直沿用至今，在解决非线性问题、经济问题、工程问题等实际问题上都发挥着独特的作用，目前是应用数学专业的研究对象之一。3. 人工智能算法近年来，人工智能在众多领域激起了广泛关注，许多的研究人员的目光都被吸引过来，在模式识别、生产调度、图像处理、规划设计等功能优化应用开发方面的发展出类拔萃。于是，许多由人工智能算法演化而来的数值解法，在求解非线性方程组上，表现出一定的通用性，有模拟生物进化的差分进化算法，模拟鸟群捕食行为的粒子群算法以及我

20、们后面所介绍的模拟自然界生物遗传的遗传算法等。实际上，在科学技术和工程应用领域中，求解非线性方程组扮演着至关重要、必不可少的角色。把求非线性方程组的解归结为函数优化问题,并在其中运用带惯性权重粒子群算法,克服了牛顿法初始点不便选择的缺陷 张慧,彭志平,李国勇.粒子群算法在求解非线性方程组中的应用。由此可见，如果要利用人工智能算法解决非线性问题的思路为：非线性问题转化非线性函数优化问题优化求解。其这样做的好处是解除初始值的依赖性，鲁棒性强，对函数本身无任何限制，免除麻烦的导数计算，加快运算速度，可惜得是求解精度不高难以满足需要。遗传算法也是搜索算法的一种，在非线性全局优化搜索这一领域应用较多，搜

21、索能力强是遗传算法的突出表现，但收敛速度、局部搜索能力无法满足需要，编码长度影响计算精度有偏差等因素的存在，使得失去原有的优势，所以，许多学者采取各种手段修正遗传算法，成果喜人。李晓磊等人提出的人工鱼群算法，是通过模拟鱼类的行为方式、仿造动物自治体系总结生成的一种优化方法，不仅解决了Newton法过于依赖初始值的问题，更是避免了雅克比矩阵出现奇异的情况，同遗传算法和粒子群算法相比，人工鱼群算法在应用方面表现出更强的使用价值。1.3论文的结构及主要内容本文第一章内容为导论，分四个部分。选题背景与意义对研究现状、发展前景的有关知识进行表述，国内外文献综述这一部分简述了当前非线性方程组的三类求解方法

22、。论文的结构及主要内容、论文的研究方法两部分描述了论文的结构与研究方法，简述论文的规划，展现了论文的轮廓。第二章内容为非线性方程组的求解方法，详述了牛顿法、割线法以及单纯形算法，列举了辛普生公式及积分公式、遗传算法。其中割线法为牛顿法改进后的算法，许多算法都已牛顿法为基础，因此牛顿法介绍的更为清晰详细。单纯形算法从基本思想、方法和终止条件三个方面进行论述，内容由浅入深，循序渐进，一步步引导介绍了单纯形算法的每一环节，一点点的熟悉，过程了然于心。第三章内容为应用举例。在应用方面介绍了两种，一种为遗传算法求解在航空发动机非线性数学模型中的应用，航空领域的发展一直都是我国的重要研究方向之一，遗传算法

23、的使用不仅仅提高了计算效率，同时还突破了常规发动机数学模型中的对非线性方程组求解的局限性，推动发展进程；另一种为非线性方程组的求解在电站循环水系统中的应用，水利工程一直都是一项大工程，兴建运转过程中需要建立模型分析数据，设计合理化方案，给出最优化的配置进行操作实施，非线性方程组必不可少。第四章为总结，是对非线性方程组的求解这一主题的理解，以及相关内容在实际生产生活中的影响意义。1.4论文的研究方法本文主要研究方法为文献研究法，即根据研究方向，查阅大量文献资料、理论研究成果获取有助于理解研究对象的相关信息，进而全面详细刻画出研究对象轮廓便于进行下一步研究的一种方法。文献研究法在各大学科的学习研究

24、之中都占有一席之地。其作用主要有:1) 能够了解课题对象的研究现状，初步收集研究对象的信息。2) 能够构建研究对象的信息结构，辅助观察、访问和调查等操作。3) 能够奠定研究的知识基础。在本文的国内外文献综述以及第二章内容上主要采用该方法。第二章内容大部分为理论知识，理论方面的学习最好的方式就是从已有的文献中进行发掘。英国科学家牛顿说过：“如果说我比别人看得更远的话，那是因为我站在巨人的肩膀上。”我们得益于先辈的努力，能够在学习的路上更进一步。万丈高楼平地起，我们就好比在地基之上进行我们自己的研究，实际上是对前人研究成果的学习与完善。2 非线性方程组求解方法2.1 Newton法及其改进2.1.

25、1 Newton法导论1.2国内外文献综述一节中已经介绍了非线性方程组，不再重复赘述，直接引用方程组（1）（2）（3）进行讨论。设映射F满足下列条件：a) 存在一个x*D使得Fx*=0；b) Fx在x*的某邻域内连续且可导；c) Fx的Jacobi矩阵Fx在x*可逆。非线性方程组是复杂的，对数值解进行求解是可以求解出来的，但对解析解的求解的困难程度是相当大的，而Newton法是频繁被采用的一种算法。Newton法具有较快的收敛速度，我们在数学分析中学习过级数，对函数f(x)进行泰勒级数展开，利用泰勒级数的前几项，我们可以很容易地求解出函数f(x)的近似解。目标函数极小值x*由近似二次函数的极小

26、值进行表示。在xn处对Fx进行Taylor展开可以得到：Fx=Fxn+Fxnx-xn+12!Fxnx-xn2+1k!Fkxnx-xnk+（9）对于（9）式，取Taylor展开式的前两项，由Fx关于xn点处的函数值以及一阶导数构成的解析式近似表示函数Fx，则可得到近似方程FxFxn+Fxnx-xn（10）令Fx=0，得：Fxnx-xn-Fxn从而得到迭代格式：xn+1=xn-Fxn-1Fxn以上就是闻名遐迩的Newton迭代公式。非线性方程组的求解是数值计算领域中最困难的问题,大多数的数值求解算法对初始点的依赖性强。但问题是选择一个好的初始点极其不易。 罗亚中,袁端才,唐国金，求解非线性方程组的

27、混合遗传算法2.1.2割线法对Newton法（即函数在零点处的导数）的缺点进行相应的改进，得到的方法即为割线法。设xn，xn-1是方程Fx=0的近似值，利用fxn，fxn-1构造出一次插值多项式P1x，并令P1x=0的零点成为新的近似值xn+1。而由于P1x=fxn+fxn-fxn-1xn-xn-1x-xn，我们可以得出如下迭代格式：xn+1=xn-fxnxn-xn-1fxn-fxn-1（11）即为割线法迭代公式。2.2辛普生及开积分公式辛普生公式：abfxdxb-a6fa+4fb+a2+fb（12）积分公式：abfxdxb-a4fa+3fa+2b3abfxdxb-a43f2a+b3+fb（1

28、3）2.3单纯形算法单纯形定义： n维空间Rn中，具有n+1个顶点的凸多面体。举例如下：空间维数n顶点个数单纯形12线段23三角形34四面体nn+1超棱面体正规单纯形的任意两个顶点等间距。2.3.1单纯形算法的基本思想基本思想：通过计算给定 n维空间Rn中的单纯形的n+1个顶点上相应的函数值，取最值点，我们称最大函数值点为最坏点，最小函数值点为最优点，然后通过扩展、反射、压缩等方法求解得到一个较好点，将该点纳入单纯形中并去掉原单纯形的最坏点，将留下的n+1个顶点重新组成新的单纯形进行迭代。否则，以所有顶点向最优点收缩为标准，我们就只能将，重复迭代，逼近极小值点，达到最终目的。引入一个附加条件：

29、令M=1.65n+0.05n2，如若单纯形经过连续迭代M次后，重复出现一个最佳顶点，此时构造一个新的单纯形，具体操作如下：保留这个顶点，并将其余顶点与这个顶点之间的连线缩短为12。利用这些新的已知顶点构造新的单纯形，然后我们继续下一个迭代。这样做的目的是为了避免在迭代过程中出现算法无法继续的情况，即迭代点仍然是最大值点，或者迭代后返回到原始的单纯形。 以非线性规划问题为例，应用单纯形算法求解的简要过程如下：设每次迭代时都有n+1个点x1，xn+1；设下角标为lo、hi，使得fxhi=max1jn+1fxj（14）fxlo=min1jn+1fxj（15）而后，为计算反射点，需要计算出x=1nj=

30、1,jhin+1xj（16）2.3.2方法初始单纯形的选择将会对单纯形算法的计算效果产生很大影响，初始单纯形的选择如下：1) 原则：形成初始单纯形的每个顶点应该是线性无关的，即：当n=2时，初始的单纯形应该是三角形；当n=3时，应选择四面体作为初始单纯形；当n3时，初始单纯形应选择n+1个面的超棱面体。2) 方法：a) 任意选点法（适用于低维问题）在确定初始点x1后，随机确定其他x2，x3，xn+1各点b) 正单纯形法（单纯形边长为1）选取x1=0,0,0Tx2=pn,qn,qnTx3=qn,pn,qnTxn+1=qn,qn,pnTpn=n+112-1+nn2qn=n+112-1n2（17）在

31、上面的公式中，n是维数，当n已知，n+1个顶点也能表示了。c) 定步长选点法当初始设计参数和固定步长已知，其他顶点可以分别进行表示，即：x1=x11,x12,x1nTx2=x11+he,x12,x1nTx3=x11,x12+he,x1nTxn+1=x11,x12,x1n+heT（18）上式中，e为单位变量，h为步长因子。2.3.3终止条件利用中心点函数值fx与各点函数值fxj之间差值的均方根判别。判别式如下：1n+1j=1n+1fxj-fx212（19）其中0是给定的误差范围，当的值越小表示函数收敛的越慢。为减少计算量便于计算，使用1nj=1n+1fxj-fxlo212（20）作为终止条件也许

32、比式（19）更加合适。2.4遗传算法中心思想：就好比自然进化，遗传算法的计算机理就是通过甄别染色体上的基因筛选出所需要的更合适的染色体。与自然界相似，遗传算法并不需要对自身行为目的有所了解，它只需要评估算法产生的每条染色体，并根据既定的筛选条件对染色体进行选择，使得在繁殖过程中筛选出的染色体向我们期望的方向进化。在遗传算法中，为了方便对问题进行处理，通过随机产生一些数值编码，即染色体，来形成符合我们需要、方便我们操作的一个初始种群；将既定的条件用数学方法进行表示，即编写成适应度函数，以该函数为基准对所有染色体进行赋值操作，剔除适应度低的个体后，其余个体进行遗传操作，这些个体的后代形成新一代种群

33、，持续进行遗传进化。基本操作流程：开始种群初始化赋值操作：依据适应度函数计算全部个体适应度值筛选操作：根据适应度值选择符合条件个体交叉操作是否满足终止条件突变操作输出最优个体否是程序停止有两种条件：达到预设的最大代数；连续几代内，最优个体不再发生改变。2.5同伦算法通过参数t的引入进而构造一簇新的映像H:D0,1Rn+1Rn对原来的映像F进行替代，使H满足下列条件Hx,0=F0x,Hx,1=Fx,xD（21）其中已知F0x=0的解x0，而方程Hx,1=0则为原方程组3.即求解同伦方程Hx,t=0,t0,1,xD（22）的解x=xt,x:0,1Rn连续依赖于t。目前在条件（21）下构建出同伦映象

34、H并非难事，但要利用同伦方程Hx,1=0得到原方程组3的解就绝不容易了。而解决同伦方程（22）的方法研究还算有些深厚，有微分法以及延拓法。当问题较为复杂时，像非线性方程组出现奇异的这种情况，同伦算法在求解时仍就是发散的，所以也有诸多改进的算法相继现世。随着发展，同伦算法的应用崭露头角，在实际问题中起到了不小的作用。3 非线性方程组求解的应用3.1遗传算法在航空发动机非线性数学模型中的应用航空发动机特性仿真中常用牛顿迭代法求解非线性方程组,需要大量计算Jacobi矩阵。接下来我们所探讨的主要内容为遗传算法是如何在求解航空发动机非线性数学模型之中得以运用，我们将求解的问题使用数学方式进行描述最终转

35、化为降低对Jacobi矩阵重复计算的次数。思路：根据所有已知限定条件逐一建立起有关各项变化过程的方程，联立方程求得发动机的共同工作点，最终计算得到我们需要的发动机各项参数。发动机平衡状态下，对各部件工作条件关系进行数学描述，每一条关系就对应着一道基本（平衡）方程，共同工作方程为全部方程的总和。在变几何涡扇发动机中，基本（平衡）方程由下表列出:内、外函出口静压PS25=PS55高压气压机和外函的进口流量与风扇的出口流量Maf=Ma22+Max喷管的进出口流量（喉部亚临界）Mg7=Mg9（条件：PS9=PH）喷管的进出口流量（喉部临界）Mg7=Mg8（条件：q8=1）高压转子功率NHTMH=NC+

36、IH302nHdnHdt+NHText低压转子功率NLTML=NF+IL302nLdnLdt+NLText高压涡轮与压气机流量关系Mg4=Mac+mf 全部基本方程组成非线性方程组，对其求解就可得到发动机的共同工作点，此点意味着发动机的一个稳定状态，处于平衡状况，因此，上述方程也称作发动机平衡方程。依据发动机原理，表中平衡方程可以等价转换为如下误差方程：err1=MgHTcor-MgHTcalMgHTcalerr2=NHT-NCNCerr3=MgLTcor-MgLTcalMgTcalerr4=NLT-NFNFerr5=PS55-PS25PS25err6=P77-P8P8给定条件下，当以上误差方

37、程的值都小于最初设定的误差限，那么我们就认为发动机处在平衡状态。发动机共同工作点则转化为极小值优化问题。目标函数：minERRX=1err1+2err2+6err6收敛条件：erri(i=0,1,n)求解发动机平衡方程的流程图如下：随机产生初始群体，gen=0gen0计算不重复与发生变化的个体的适应度计算全部个体适应度最佳个体对应解erri选择操作，标记重复个体进化方向操作gen=gen+1标记编码改变的个体保留前一代最佳个体交叉操作变异操作输出最佳个体YNYN发动机加速过程仿真流程中平衡方程求解过程 其中，gen为进化代数，t为仿真步长。该流程所采用的算法即为遗传算法。3.2 在电站循环水系

38、统中的应用步骤：建立电站循环水系统的数学模型确定系统参数非线性方程组求解。以一种工况为例，对电站循环水系统的数学模型计算进行讲解。循环水系统部分构造简图 打开7、8、9号水泵， 5、6号凝汽器。其中节点P1至P11的的压力、管段Q1至Q10的流量为未知量。水泵系统特性方程：P1=0.50015+0.00002169Q1-5.53E-8Q12P2=0.5038-8.63E-5Q2-4.18E-8Q22P3=0.503+1.74E-5Q3+4.91E-8Q32连续性方程：Q3+Q10-Q5=0Q4-Q6-Q7=0Q5-Q8-Q9=0Q1+Q2-Q4-Q10=0循环水系统运行方式示意图 管路降压方程

39、：P1-P4=0.14162-6.089E-5Q1+1.2212E-8Q12-7.71E-13Q13P2-P4=0.35225-1.93E-4Q2+3.92E-8Q22-2.535E-13Q23P3-P5=0.04119-0.000007353Q3+2.98E-9Q32-2.37E-13Q33P4-P5=0.00738+0.000000228Q10+3.55E-9Q102P4-P6=0.00052609-0.000000198Q4+3.55E-11Q42P4-P7=0.00052609-0.000000198Q5+3.55E-11Q52P6-P9=-0.000093623+1.85405E-7

40、Q7+1.09795E-11Q72P6-P8=-0.000093623+1.85405E-7Q6+1.09795E-11Q62P7-P10=-0.000093623+1.85405E-7Q8+1.09795E-11Q82P7-P11=-0.000093623+1.85405E-7Q9+1.09795E-11Q92P8=0.21+2.4428E-6Q6+7.79E-10Q62P9=0.215+5.52E-7Q7+9.767E-10Q72P10=0.21+2.4428E-6Q8+7.79E-10Q82P11=0.215+5.52E-7Q9+9.767E-10Q92上述共计21个方程，21个未知量求

41、解。此工况的数学模型可以归结为：f1x1,x2,x21=0f2x1,x2,x21=0f21x1,x2,x21=0即Fx=0电站循环水系统的数学模型中的求解无法避开非线性方程组的求解问题。数学模型的计算结果可以指导现场运行，为工况调整提供可靠的建议，提出可行的最优化实施方案，这些地方都有非线性方程组求解的影子，为发展壮大提供有利条件。3.3 同伦算法对乳腺肿瘤进行图像重建在医学研究上也有非线性方程组求解的一席之地。实际应用中采用的算法并不是单纯的同伦算法，而是一种混合算法，一种同伦方法与Levenberg-Marquarddt迭代法相结合的同伦LM算法。以乳腺肿瘤模型为例，在进行图像重建时，首先

42、要做的是利用同伦方法为算法找到一个较好的初始值，方便后续迭代过程。同伦LM算法最终确定的迭代格式如下：k+1=k-kKJTJ+1-kK+kKI-1kKJTfk-U+1-kK+kKk-0k=1,2,K(23)k+1=k-JTJ+I-1JTfk-Uk=K+1,K+2,(24)上述两式中，为电导率分布，0为导电率的初始值，J为雅可比矩阵。这样迭代的目的是通过（23）式的迭代过程为（24）式的迭代提供一个具有一定优势的初始值，最终令（24）式逐步收敛到真实值，计算结果更精确。下面四张图片展示的是仿真实验中四种乳腺肿瘤模型的分布图，根据导电性的不同，对肿瘤与正常组织进行辨别区分。每张图中分别是模型以及L

43、M算法和同伦LM算法的图像重建结果，一侧的色度条代表归一化灰度值。我们可以清晰的看到同伦LM算法的图像重建程度更精细，刻画的更加细致，这对于医生进行病理诊断提供了更加可靠依据，也展现了同伦LM算法的有效性，优势也很明显。今后医学领域也成为非线性方程组求解的又一广阔的舞台，发展越来越好的未来更加值得我们期待与向往。结 语实际生产生活中非线性方程组的涉及范围十分广泛，除了文中列举的应用之外，还有将粒子群算法应用于神经网络训练、函数优化等方面，混合遗传算法在水管网优化设计等方面的应用，还有诸多方面涉及，这些都是在实际生产中追寻最优方案的明显表现，非线性方程组的求解过程就是我们在找寻最优方案的过程，对

44、非线性方程组的求解的研究具有深远的意义，影响重大。在今后这个科技高速发展的时代，优化算法找寻最优解的问题将深入社会发展，益于全人类更好的发展。人类一直在不断地进步，在科学研究上更是从未停息，只要有需要，我们就会不停的努力，为了更好的生活质量，我们将不断挖掘智慧的宝库，用大脑创造更多的奇迹，用双手创造更美的未来。我们的文明程度越来越高，能做到的事情也变得越来越多，即便事情越来越复杂，但难题，就是用来攻克的，不然如何成长，如何进步。学无止境，科学研究也不会停下脚步，然这些都需要各领域的人才共同努力才可能有辉煌成就诞生，未来的成就一定很精彩，我将一直憧憬着，同时并努力着进步。参考文献1程传蕊.一种求

45、解非线性方程组的单纯形算法-同伦算法的分析及其收敛性J.长春师范学院学报,2005，24(1):16-18.2董滨，张祥德同伦算法在并联机器人运动学中的应用J.应用数学和力学,2001 ,22(12):1278-1284.3孙平，严静，陈永.基于改进路径跟踪的同伦算法及在机构学中的应用J.机械传动,1997,21(2):1-3.4叶纬,陈玉春，崔高峰,等，拟牛顿法在航空发动机特性仿真中的应用J.计算机仿真,2007 ,24(10) :78-81.5李厚儒,南敬昌.拟牛顿粒子群算法在非线性电路谐波平衡方程中的应用J. 计算机应用与软件,2013,30(2): 103-105.6李立,张剑，陈永.

46、同伦迭代法的研究及其应用于机构学问题的求解U.西南交通大学学报,2000,35(1):57-60.7李庆扬,莫孜中,祁力群.非线性方程组的数值解法M.北京:科学出版社,1987.8蔡大用,白峰杉.现代科学计算M.北京:科学出版社，2000.9黄象鼎，曾钟钢,马亚南.非线性数值分析理论与方法M.武汉:武汉大学出版社,2004.10王秀玉,姜兴武,刘庆怀.非线性互补问题的组合同伦算法J.应用数学学报,2012 ,35(3) :430-439.11罗亚中,袁端才,唐国金，求解非线性方程组的混合遗传算法J.计算力学学报,2005 ,22(1):109-114.12吴建春.非线性方程组的一个修正牛顿法公式J.兰州交通大学学报,2011,30(4):145-147.13李士勇,李盼池.基于实数编码和目标函数梯度的量子遗传算法J.哈尔滨工业大学学报，2006, 38(8):1216-1219.14付振岳,王顺芳.改进的遗传退火算法在针对含有超越函数的非线性方程组中求解的应用J.云南大学学报:自然科学版,2009 ,31(SI) :56-61.15孙明杰