反证法在中学数学中的运用.docx

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1、反证法在中学数学中的运用摘要 反证法作为一种常见的数学证明方法，在解决实际问题中有着广泛应用，尤其在中学数学中应用较多。很多问题，直接解答往往难度大，学生做这类题目时常常感到无从下手，但是若采用逆向思维即用反证法有时候则轻而易举解决，然而反证法在中学课程中虽然出现较多，但是，一方面反证法题型种类多，比较复杂，学生易混淆，教师讲授时常只能结合某知识点介绍反正法，往往比较片面；另外一方面，国内外学者对于类似的问题虽有研究，但是系统归纳研究反证法在中学数学中运用的较少，导致学生想系统化掌握该方法比较困难。本文结合中学生思维特点及教材实际，通过具体实际问题，系统归纳总结了反证法在中学数学中的运用。本文

2、主要分成三部分介绍反证法在中学中的运用。第一部分主要介绍了反证法的相关定义、理论依据以及解题步骤等；第二部分通过具体问题，例举反证法解决的各种题型，并根据所研究的问题进行分类；第三部分在上述研究基础上，归纳总结了反证法使用的注意事项以及教学注意点，使得反证法的相关知识更系统化。为广大教师的教学和学生的学习提高参考，提高教学和学习效率，促进教学相长。关键词：反证法 中学数学 应用The application of proofs by contradiction in middle school mathematicsAbstract As a common proof method in ma

3、thematics, proofs by contradiction has been widely applied in dealing with practical matters, not least in middle school mathematics. Mostly, students are baffled in search of direct answers to questions, but if they think the way round, that is, use proofs by contradiction, which appears frequently

4、 in middle school courses, more often than not, answers manifests themselves quite easily. However, for one thing, teachers can only partially introduce the method with certain key points due to variety and complexity of such questions; for another thing, despite similar questions having been resear

5、ched at home and abroad, students find it difficult to master the method systematically because little has been done to study the application of proofs by contradiction in middle school mathematics. This thesis, considering middle school students thinking patterns and teaching materials, systematica

6、lly summarizes the application of proofs by contradiction in middle school mathematics through some specific questions.The thesis is divided into three parts. The first part turns on the definition of proofs by contradiction, its theoretical basis and steps of working out questions. The second part

7、exemplifies the various types of questions proofs of contradiction have addressed through specific questions and then classifies the questions accordingly. The last part, on the basis of what have been discussed above, summarizes the matters needing attention while applying it into teaching, so that

8、 the expertise in proofs of contradiction becomes more systematic. This will contribute to both teaching and learning.Key words: Proofs by Contradiction Middle school mathematics Application目 录引 言11.反证法概述11.1 定义11.2 理论基础11.3 反证法解题步骤21.4 种类21.4.1 简单归谬法21.4.2 穷举归谬法22.中学数学中反证法的运用题型32.1 否定性命题32.2 肯定性命题3

9、2.3 限定性命题42.3.1 “最多”42.3.2 “最少”42.4 无穷型命题52.5 唯一性命题62.6 一些存在性命题62.7 全称肯定性命题72.8 不等量命题82.9 基本命题112.10 基本定理和初始性命题123.使用反证法的注意点123.1 假设合理123.2 表明推理特征133.3 灵活变通运用134.反证法的教学价值及建议134.1 反证法的教学价值134.1.1 开拓逆向思维134.1.2 促进数学思维的形成144.1.3 促进思维缜密性144.2 反证法的教学建议144.2.1 多次反复，螺旋上升144.2.2 渗透数学思想，训练严密144.2.3 共同探究，总结归谬

10、类型15结论16参考文献17致谢18III引 言有这样一则故事描述的是阴险的大臣想要让有才华的大臣下台，最终这位有才华的大臣被陷害，皇上准备杀掉他，但是皇上又认为这位大臣虽然有罪但是却不应该被杀死，于是就把生死二字写在了两张纸上，抽到生就是生，抽到死就杀掉，然后那位阴险的大臣在纸上搞了小动作，使得他抽出的任意纸上都写有死字。这种诡计被有才华的大臣的好朋友识破，迅速告诉了他，并且打算和他一起去皇上那边揭露阴险大臣的计谋。然而这位大臣却拒绝这样做，并且开心的对朋友说：“不可以采取一丁点行动，当纸在我手中时，我便立即放进嘴里，这时斩首员只能看剩余的纸，最终斩首员就会判断出我嘴里吞下去的纸的上面标有生

11、字，这时我就可以免于砍头了1p104。从这则故事中，可以看出这位在生死边缘的大臣用怎样的方式使自己的生命得到保留，这位有才华的大臣使用了生与死的反证法，从而就机智巧妙的解除了自己即将要被杀害的风险，是自己存活了下来。哈代是英国有名的数学家，他认为反证法对于数学家来说是一种非常有利且厉害的武器当中的一种2。他同时也认为反证法比象棋获得胜利的方式还要厉害，数学家在使用反证法的时候首先是全部的进行否定，最后赢得成功3p98。这体现了反证法极其高的地位同时也彰显了反证法这种方法的绝美之处，一旦掌握了反证法的特点，就能灵活运用，同时也能够使得思维得到开阔，能力得到提升4p61。1 反证法概述1.1 定义

12、反证法是从对立面的方向进行证明的，将原命题的结论否决，然后得出与题目中已知条件矛盾，因而得到原结论正确，这种方法为间接证明5p92。反证法顾名思义它是一种证明方式，它和人的逻辑思维是一体化的，相互联系的6p86。1.2 理论基础反证法是亚里士多德所呈现的两种思维逻辑规律即矛盾律和排中律7。反证法是符合情理的，因为它是根据两种规律所发展的8。反证法运用的基石是排中律和矛盾律9。它们的定义是有差异的，排中律，一定有一个为真，即要么A或者非A。矛盾律是指对于一个命题在同一个证明过程中不能既是真命题又是假命题。反证法根据一系列的证明，最终推导出矛盾体，依照矛盾律得出判断一些矛盾时，矛盾不可能都是真的，

13、肯定有一个是不是真的10p56。1.3 反证法解题步骤用反证法来解决中学数学问题时可以从以下步骤着手：首先，假设原结论不成立，从这个假设入手；接着，经过一系列的推导得出与反命题矛盾，或者与题目中的条件以及一些定理、定义、公式矛盾；最后，得到假设不成立，即原命题成立。所以，证明方法的熟练运用是学习数学一个非常重要的方法之一11。1.4 种类反证法是从正面使用很难但是从对立面使用很容易的一种方法，它能够使得不容易突破的问题变得很轻松，甚至能将不会发生的事变成一种会发生的事12。反证法实际上被称为归谬法，但是归谬法的情况是不相同的，可以将其划分为穷举归谬法和简单归谬法13p5。1.4.1 简单归谬法

14、如果对立面出现一种情形，则只需要将此种情况推翻，从而得到反证的效果18p225。例1.若两条直线平行于第三条直线，则此两条直线平行。已知:，求证：证明：假设与不平行，设与相交于点，又,因而,故过Q点有两条不同的直线分别与OP平行（与原命题矛盾）假设不成立，所以。1.4.2 穷举归谬法如果命题对立面有很多种情况，那么把所有对立面情形都推翻，才能得到反证的效果19p102。例2.若2,则有.证明：假设，则有（1） =，则=2,与已知条件矛盾；（2） ，则2。2.中学数学中反证法的运用题型反证法应用于中学数学许多教学过程中，当命题中出现“最多”、“至少”等一些词时通常会运用反证法24p21。对于一些

15、特定的定理的证明，往往也会使用反证法，因为很多命题从正面去推导往往不是很容易，但如果从反面论证就很容易证明出来，反证法常见的题型主要分为以下几类25p13。2.1 否定性命题当原命题结论中出现“没有.”、“不能.”等一些词时，用正面的方法很难解答，但用反证的方法确恰到好处10p56。例3.求证：如果是自然数，则，那么不能被15整除。证明：假设能被15 整除，那么一定能被5整除所以的尾数为0或者5又因为为偶数，所以的尾数只能为0，即的尾数一定为8又因为对任意的自然数的尾数都不为8，故矛盾，从而不能被15整除。2.2 肯定性命题例4.求证：等腰三角形的底角是锐角。已知：是等腰三角形，求证：为锐角证

16、明：假设不为锐角，则底角或者则，这与矛盾故为锐角。2.3 限定性命题限定性命题就是原命题中中有“最多”、“最少”、“不多于”或“顶多”等词语8。2.3.1 “最多”例5.若：全为正整数求证：在这三个数中，至多有一个数大于1.证明：假设中至少有两个数大于1，不妨设则：.两式相加，得所以，与是正整数矛盾.假设不成立，故原命题成立。2.3.2 “最少”例6.已知：证明：方程中，最少有一个含有未知数的等式有实数根。证明：假设两个含有未知数的等式均没有实数根所以根的判别式可以得到，所以又因为所以即又因为由已知条件知所以矛盾。即中，至少有一个方程没有实数根。例7. 已知都是实数且，求证：中最少有一个大于0

17、。证明：假设都不大于0，即那么。而 与假设矛盾，故中最少有一个大于0。2.4 无穷型命题“无限”、“无穷”是无穷性命题的特征，那么对于这样的命题而言如果直接用正面的方法来证明并不是一件容易的事情，此时，如果我们用反面的方法即反证法来证明那么就轻而易举了20p141。例8.证明素数是无限个21p103。分析：针对无穷型的题目，仅由题目中的已知条件出发去寻求某种特征，通常而言比较繁琐而且难度系数比较大，那么对于这样的题型我们并不是束手无策的，我们可以运用反证法采用逆向思维的方法将命题中的“无穷”、“无线”转化为“有穷”、“有限”。从而依次进行推导最终得到结论。证明：假设素数是有限个的.设最大素数为

18、，那么有限个素数序列为：令整数从中可以得到不能被整除，不能被整除，.，不能被整除，因而可以得到不能被所设的素数序列所整除，故为素数，又因为，故与假设最大素数为矛盾，从而证得素数是无限个。2.5 唯一性命题如果命题的结论只有一个而且是肯定的，那么在做这类题型时就是用反证法将其转化成结论的不唯一性即所得结论的结果不是只有一种情况22p2。例9.若，证明的方程有且仅有一个根。证明：根据题意可得，那么至少有一个根为假设方程不是只有一个根，令为方程的两个不相等的根，则两式做差得，又因为，所有人以故，这与题目中矛盾，故方程有且仅有一个根。2.6 一些存在性命题例10.若求证：，则存在使成立.证明：假设对所

19、有使恒成立.设，则，设，则，设，则，又因为，矛盾所以结论成立。例11.对边之和相等的一个平行四边形存在一个内切圆。图1证明：如图1所示，如果（1）假设四边形不存在内切圆，作O与之三条边相切，则与O要么相离要么相交经过点画与O的切线交或其延长线上，交点为,又（2）当与O相离时（1）-（2）得，则此时与三角形不等式矛盾。当与O相交时（2）-（1）得，则此时与三角形不等式矛盾故与O不相交且不相离，假设不成立，原结论成立。2.7 全称肯定性命题命题中呈现“.都是.”、“.全部.”、“.总有.”等全称肯定的词眼用反证法来证明比较简单、方便23。例12.证明：对于任意的自然数，总是最简分数。证明：假设不是

20、最简分数，令（1），（2）（），且为最简分数，根据（2）3-（1）2得：，又因为为整数，为分数，从而不成立，故假设不成立。2.8 不等量命题例13.已知，且求证：证明：假设将代入上式得，即又因为所以所以因而与矛盾，假设不成立，故原命题成立。例14.若在EFG中，GF求证：EFEG图2证明：如图2所示，假设EFF矛盾，如果EFH=EGH而EGHEGF,与已知矛盾，故假设不成立,原命题正确。例15求证:已知：有两个实数根都不等于零，且互不相等求证：.证明：假设（1） 若方程为，从而，这与已知条件矛盾。（2） 若，则方程为，解得又因为，所以方程无解，与已知条件矛盾。（3） 若，则方程为，得：，与已知

21、条件矛盾.故假设不成立，原命题成立。例16.证明不能分解成两个因式乘积并且因式都为一次的。证明：假设能表示为两个因式乘积并且因式都为一次的，则使其分解为：（其中均不为0），所以 比较系数得根据（1），（3）得；根据（4），（5）得，所以，又根据（3），（5）得，所以（2）为，则与（4）矛盾，因而假设不成立，原结论成立。例17. 求证：这一系列数中无完全平方数。解析：证明：假设为数的完全平方数，则因为等式右边是偶数，所以为偶数。又因为，且为数的完全平方数，所以为奇数则和都是偶数，所以设：所以所以等式左边为奇数，右边为偶数所以等式不成立从而可得不是完全平方数故原命题正确。2.9 基本命题基本命题就

22、是数学中最初的结论，该命题所蕴含的公设、定义能够被利用的非常少，因而如果从正面解答很不容易，但是用反证法却立竿见影14p22。例18.相交两条直线只有一个交点。图3已知：如图3所示，直线交于点求证：仅有一个交点证明：假设两条直线除了交于点外，还交于点，所以直线是有两个点决定的，则两点确定直线，此时与“两点仅确定一条直线”的定理矛盾.所以直线不会相交与两点从而原命题正确。2.10 基本定理和初始性命题由于在证明某些基本定理时，我们除了已经学过的公理及推理外，在此之前所导出的定理不多，这时常用反证法15p28。例19.证明勾股定理：已知：的边依次为:，求证：证明：假设，又因为0所以令，且0则0，0

23、，所以从而于是中任意两个数之和一定大于第三个数，故可以作一个,它的三条边为则，因为为最长，所以是中的最大角，故在直角三角形和中，则故三角形不是直角三角形，则。3.使用反证法的注意点3.1 假设合理反证法解题时关键性的问题在于，它的思考过程与解题特点16。对于结论的否定要合理且正确，要根据原命题合理的进行假设，也就是要求学生能够对原命题的结论进行否定，并且语言组织要正确，同时还要突出反证法的结构特征。3.2 表明推理特征使用反证法证题，本质上就是将结论否决，推出矛盾，然而矛盾出现的时间以及出现的特征是不能够被人提前知晓的，我们往往紧思考与原结论有联系的命题。对于一些几何问题要证明其结论需要用到与

24、其相关的公设、定义、定理等。因此，在证明这类型的题目时只需要要反证法直接合理的将其结论否定，然后再依次逐步进行推理，如果在证明过程中出现了矛盾，那么其证明也就到此为止。3.3 灵活变通运用学生在解题过程中，遇到证明类题型，首选的方法是用直接证明的方式，如果直接证明方式行不通，这时候再利用反证法解决。数学证明题的题型各具特色，尽管大部分的题型用反证法来证明都可以解决问题，但是并不是一切证明题都用反证法。对于大部分证明题，通过直接证明的方法就可以轻易的证出。虽然平常练习中出现的题目大都是用反证法来证明的，但是我们也要知道灵活变通，要做到具体的问题具体分析，不能思维定势，使得题目越做越复杂。4.反证

25、法的教学价值及建议4.1 反证法的教学价值作为一名教师，应该较早的及时的在课堂教学中向同学们渗透反证法的数学思想方法学生通过教师的熏陶因而对反证法的使用方法使用步骤有着一定的理解，从而使得学生在做题时能够采用逆向思维的方式来思考一些数学问题，使得学生对待问题有些更为深入的理解。4.1.1 开拓逆向思维逆向思维主要根据对立面去探究所给的问题，最终将疑难化解17。很多学生在思考数学问题时总是习惯用正向思维的方式，根据题目中的已知条件按部就班的推算出所要得到的结果，但往往这种从正面思考问题的方法有时候不够灵活，很容易将简单问题复杂化，甚至在演算的时候步骤繁琐，使得整个的思维混乱找不到突破点，但是如果

26、从反面入手，通常会起到思维顺畅的效果，通过逆向思维，使得对整个解题思路非常清晰，学生在解题过程中采用正逆思维交替从而使得问题最终得到解答。因此反证法能够开拓学生的思维，使得学生脱离思维定势，提高答题的效率以及自己解题的准确率。4.1.2 促进数学思维的形成对于我们数学学科而言思维方法是必不可少的，而数学思维是一种科学的合理的方法，它是数学的精华。如今的课堂模式较过去而言更加完善，它注重学生的能动性以及创造性。国外的数学教育方面明显没有我们中国的教育好，然而我们中国高校学生的创新精神却没有国外的强，因为我们中国的应试教育更多的注重于数学习题的练习，一味地给学生布置很多题目，却基本不会过多的去引导

27、学生积极思考，深入理解题目的含义，也基本不会过多的培养学生的数学思维方法，最终使得学生的成绩出现了极端分布的状况即一部分同学数学思维能力非常强，一部分同学出现了逆反心理，不喜欢数学，更极端的是对数学产生了害怕的心理，认为数学这门科目非常的难懂，不好学。因此反证法这种数学方法就能够非常好的促进学生数学思维的形成。4.1.3 促进思维缜密性反证法对于每个细节都要考虑的很齐全，反证法和直接证明法从字面上看两者截然不同，但是它们在本质上却有着很大的关联。从整体来观察我们使用的方法是反证法，但是细看，我们假设了过后进行推导的过程都是直接证明的方法。但是用直接证明法推导时又涉及到反证法，用以明确所用的条件

28、，在假设时要弄清楚原命题对立面是什么，准确的写出对立面的一切情况，不能漏掉其他情况。通过反证法的学习还可以使得学生做事更加细心，思维变得更加严谨，有利于培养学生的耐力。4.2 反证法的教学建议反证法在中学教材中并没有明确概念，因为它所涉及的知识比较复杂，但是它在中学数学中都有所提及，因此有如下建议：4.2.1 多次反复，螺旋上升中学数学中的反证法知识点并不是很难，这就需要学生能够不断地练习，熟能生巧，通过题目的不断呈现，最终使得学生的知识点呈螺旋式上升。4.2.2 渗透数学思想，训练严密教师能够激发孩子的思维能力，学生在做题的过程中通过思考探索以及课堂上老师的带领，因而开拓学生的思维，使得通过

29、题目中所得得思想方法最终自己得综合能力得到提升。4.2.3 共同探究，总结归谬类型反证法的主心骨是归谬。要想得到新的结论，就要在推算时有目的的创设矛盾，找到矛盾点，具体如下几个例子。例20.求证不为有理数证明：假设为有理数.则，设（其中，为互素，且都是整数，）平方得，即，所以是偶数，则令，则所以所以是偶数，则也为偶数，又因为也为偶数，与互素矛盾，故原命题正确.例21.求证：，而是的任意一个公倍数，则。证明：假设不整除，则令，又因为，所以.同样，因为，所以.所以是的公倍数，而，与矛盾，故例22. 是平面内三条直线，且，与相交但不垂直求证：相交。图4证明：假设不相交，则有.所以.又因为与相交不垂直

30、，所以，则，即与的交角不为直角，与垂线定义矛盾故相交。结 论反证法广泛用于中学甚至大学的题目中，它在西方国家曾经用于解决数学危机，它给西方国家带来了很大的突破，在西方国家主要用来解决无限性的问题，但是在中国反证法对于中学生而言反证法并没有被学生熟练的掌握，主要原因在于中国学生很少受到无穷性问题的困扰，因为遇到问题时大多数人会选择反驳而不是采取反证的方法，所以根据以上论述以及研究反证法的各种题型以及学习注意点、教学建议得出，反证法能够提升学习以及教学的效率，同时也是一种逆向思维的方法，它在中学生的学习、生活中都起着重要的作用，使我们对数学这门科目有些更为深刻的理解。同时，本论文也存在一些不足的地

31、方，比如：整理的题型不够齐全，对于每个章节中的题型研究不够深入，对于其他学科领域反证法介绍的不够多。鉴于本论文的这些研究成果，我希望能够带给反证法的学习者和研究者一些帮助。参考文献1 屈秀环.谈数学教学中的新课引入J.金色年华,2010(3):104-104.2 Hardy,G.H. A Mathematicians ApologyM.Cambridge University Press.1940.3 胡晓年.谈谈反证法J.才智,2010(18):98-98.4 沈有钊.关于反证法证题的探讨J.黔东南民族师专学报,1994(Z2):61.5 田洁.反证法原理及其应用J.铜仁学院学报,2007,

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