待定系数法在中学数学解题中的应用 .doc

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1、待定系数法在中学数学解题中的应用摘要： 本文主要讨论待定系数法在中学数学解题中的应用，从而突出待定系数法在中学数学中的实效性.待定系数法是一种求未知数的方法，运用待定系数法有利于数学思想方法在数学课程标准的具体落实.本文将结合自己在中学的教学实践经验以及初中生课堂导学案，采用问卷调查法和分析法详细介绍待定系数法及其应用，待定系数法在初中数学有着非常重要的渗透和应用，例如，代数中的分解因式，分式的计算，求函数解析式，求代数式的值以及在整式乘除法中的应用.最后也提到了本文在研究待定系数法在中学数学解题中的应用存在的不足之处.综述，待定系数法一方面提高了中学数学课堂教学质量，另一方面给学生在计算和理

2、解方面都有很大的帮助.关键词: 数学思想 待定系数法 应用 中学教学ApplicationofundeterminedcoefficientmethodinsolvingmiddleschoolmathematicsproblemsAbstract: This paper mainly studies the application of undetermined coefficient method in middle school mathematics problem solving, and highlights the effectiveness of undetermined co

3、efficient method in middle school mathematics.The method of undetermined coefficient is a method to find the unknown number, and the application of undetermined coefficient method is beneficial to the concrete implementation of mathematics thought method in mathematics curriculum standard.This paper

4、 introduces the method of undetermined coefficients and its application in detail by using observation method and analysis method, combining with the experience of teaching in middle school and the real questions in the past years.The undetermined coefficient method is widely used in middle school m

5、athematics, such as decomposing factor in algebra, calculating fractions, finding series general term, finding function analytic formula, solving conic curve equation in geometry.Finally, the attention points of the undetermined coefficient method in the middle school mathematics problem solving are

6、 put forward.On the one hand, the undetermined coefficient method improves the quality of mathematics classroom teaching in middle schools, on the other hand, it is of great help to students in calculation and understanding.keywords: mathematical thought method of undetermined coefficients applicati

7、on middle school mathematics 目录引言11文献综述11.1理论基础11.2已有研究22待定系数法的教学依据和策略22.1待定系数法的理论依据22.1.1新课标对待定系数法的基本落实22.1.2待定系数法与数学美的交融32.2待定系数法的教学意义32.2.1有助于提高学生的解题能力32.2.2有助于培养学生的发散思维33待定系数法教学现状调查与分析43.1学生的问卷调查分析43.1.1调查目的及调查对象43.1.2调查内容与统计43.2教师的问卷调查分析53.2.1调查目的及调查对象53.2.2调查内容与统计54待定系数法在中学数学解题中的应用举例64.1应用待定系数

8、法求函数解析式64.2应用待定系数法因式分解84.3应用待定系数法研究分式94.4应用待定系数法求代数式的值104.5应用待定系数法研究整式的乘除法11结论12致 谢14附录15附录A:待定系数法在中学数学中的调查问卷(学生)15附录B:待定系数法在中学数学中的调查问卷(老师)16引言随着社会的发展，人们逐渐认识到在中学数学教学的过程中，数学方法与数学知识与技能对学生的终身发展同样重要，在教学中渗透数学思想方法也是义务教育阶段数学课程标准(2001年版)中所提到的.待定系数法的本质是方程的思想，关键是列出含有待定系数的方程.一名优秀的教师能够使学生成为学习的主体，在分析数学问题的过程中有计划的

9、渗透数学思想方法，使学生参与到数学思想方法的形成过程.有效的数学思想方法教学是需要教师用心准备和设计的.目前初中数学待定系数法的研究相较于数形结合、化归思想的研究要少的多，大部分都在理论的研究上成果颇多，但在日常的教学中，很多中学数学教师并没有重视数学方法的探究过程，造成学生一知半解，思维定势，只知结论不只过程，同一种方法，遇到不一样的题目就做不出来了，尤其是像待定系数法这样在数学教材所适用的范围的广泛且活络.本论文是在这样的背景下提出研究待定系数法在中学数学中的应用.本论文从理论和实践两方面对待定系数法进行系统的分析，从国内外研究现状出发，从函数解析式、因式分解、求代数式的值、分式、整式的乘

10、除法五个方面探讨了待定系数法的应用，并结合实际分析研究，列举了一些待定系数法解题策略.在研究的过程中主要采用文献研究法、分析法、问卷调查法.本论文首先阐明了有关待定系数法研究的意义，介绍了国内外的研究现状和待定系数法教学研究的理论基础;接着通过灌南实验中学为例进行问卷调查，对初中数学待定系数法在教学和解题中的现状进行问卷调查并进行数据分析;然后结合一线教学习题从函数解析式、因式分解、求代数式的值、分式、整式的乘除法五个方面探讨了待定系数法的应用，针对待定系数法进行具体分析，最后对本论文进行总结和反思.1文献综述 本章从待定系数法的理论和相关研究以及对待定系数法在中学数学解题教学的已有研究等方面

11、进行综述.1.1理论基础 在有关待定系数法解题的历史研究中，数学研究者们对待定系数法的来源，概念，关键，本质，步骤，应用等多个方面进行了全方位的思索和探究 姜重旭：例说待定系数法的应用，初中数学教与学，2013年第23期，第21-22页. 法国数学家笛卡尔提出了待定系数法，以一般的四次方程为例，化四次方程为的形式，这种方法又称“笛卡尔法”，这就是待定系数法的来源. 在黄文帅的研究中，他以为：通过某种等量关系来解决数学问题的方法即为待定系数法，在用待定系数法解决问题时，一般结论是未知的，不过结论的框架是可以推断出的某种确定的形式，而学生需要根据这样确定的形式求解出其中一些重要的系数，从而得出结论

12、 黄文帅：待定系数法的基本思想与解题策略研究，学周刊，2016年第5期，第209页.接着他还站在学生的角度提出疑问，在求函数解析式时如何简便的运用待定系数法呢？他的答案是，根据数学内容灵活变通的同时也不要忘了自变量的取值范围.最后给出了他的结论和建议.待定系数法是初中数学解题中一种重要的数学方法，在数学教学中，作为教师不仅仅要教会学生利用这种数学方法可以解决什么类型的数学题目，重要的是要培养学生的思维品质，使学生学会在具体实例中应用待定系数法轻松解决问题 黄福萍：初中数学题中的待定系数法，科技风，2013年第7期，第216页. 曹发录和杨扣霞通将待定系数法在中学数学解题中的应用扩展为五大类，分

13、别是应用待定系数法研究数的性质，多项式，函数，方程，数列极限这五个方面，为待定系数法的部分典例做出扩充 曹发录;杨扣霞：待定系数法在中学数学教学中的应用，宝鸡文理学院学报(自然科学版)，1996年第4期，第80-86页.1.2已有研究 用待定系数法处理数学题一方面说明其不可或缺的身份，另一方面数学工作者们同样认识到待定系数法越来越重要，因此其中的一部分人开始投入待定系数法的教学研究，这就不得不首先对待定系数法的应用进行分析.通过试题和学生的学习情况，越来越多的数学工作者们了解到待定系数法在初中数学阶段贯穿始终，前途一片光明.因此很多一线教师们，通过学生日常的学习单和课堂反馈中一些可以利用待定系

14、数法来解决问题的数学试题进行分类 纪宏伟：待定系数法及其应用，中学数学研究(华南师范大学版),2014年第9期，第44-46页. 在黄发根的文章中，他认为，数学思想是数学方法的升化，常用的待定系数法有比较系数法和赋值法，他首先利用待定系数法的定义进行解释和阐述，接着对待定系数法的解题应用进行分析并给出了题型分类，这对学生们提高解题效率有了很大的帮助.学生对待定系数法的理解不再空洞，而是有了实例进行说明，这样的由具体到抽象的学习方式，也有利于学生培养数学思维，以便于后续更好的学习 黄发根：待定系数法的魅力，数理化学习(初中版)，2018年第11期，第6-7页. 2待定系数法的教学依据和策略2.1

15、待定系数法的理论依据2.1.1新课标对待定系数法的基本落实 新课程标准的影响和地位在我国的教育范畴中是相当紧要的，其中对待定系数法的规定主要表现在两个方面.首先是关于新课标中数学思想方法的规定，要求学生获得“双基”，即“数学基础知识”和“数学基本技能”，并且体悟其中的数学思想，故而可以看出，新课标要求中学生能够理解和应用数学思想方法.如若灵活掌握，往往可以事半功效，由此，能够应用待定系数法是初中生思维发展和进步的重要环节，对于培养学生的创新意识方面有着突出作用 毛黎明：中学数学待定系数法应用探析,中学数学，2020年第8期，第58-59页.其次关于新课标中以学生为主体的规定，注重思维一体化的培

16、养以及学生的综合素养的提高，待定系数法是为了解决一些根据已知条件能够推断出某种确定的形式的数学问题而存在的，由此这十分考验学生思维的灵活性，学生通过待定系数得出结论的过程是十分重要的，明了数学的趣味恒生，帮助自身更上一层楼，从而一步步实现以人为本的理念.2.1.2待定系数法与数学美的交融数学美之所以如此让人神往，是因为它由许多数学符号，几何图形，已及阿拉伯数字组成，这样的美是简洁明了的，是环环相扣的，是独特新颖的.数学美是数学历史发展的必要产物.数学美从各个角度散发着它的光芒，就数学的内容来说，数学美可以体现为数学构造美，数学思想美以及数学言语美.数学思想是数学方法的升华，故而数学思想美又可以

17、说成是数学方法美，以初中数学中的因式分解来说，它就是数学美在待定系数法中的体现，通过教学中关于数学美的渗透，能够让学生更加热爱数学，热爱美 张娟红：如何在数学教学中渗透数学之美，甘肃教育，2020年第7期，第74页.综上所述，待定系数法和数学美是相互交融的，它们之间有着密切而复杂的联系，尤其是对待定系数法的应用的指导更是体现了数学之美的魔力.2.2待定系数法的教学意义2.2.1有助于提高学生的解题能力 根据对初中生的问卷调查并结合自身学习经验发现，在课堂中有一部分学生虽然学习十分刻苦，课堂笔记做的非常优秀，起早贪黑题目做的很多，却苦于做的越多错的越多，没有什么大的进步，其实这其中的原因都和数学

18、方法有着密切联系.这部分学生之所以会事倍功半，其原因在于没有理解题目的本质，而题目的本质往往渗透着数学方法，以待定系数法为例，其本质是方程思路.相对来说，那些注重透过现象看本质的学生，在数学解题中则得心应手 衡锋：有机渗透数学思想提升学生数学素养，江苏教育报，2013年1月9日，第3版面. 由此可见，数学方法对数学解题相当重要，其中待定系数法在中学数学中的应用更是十分广泛，以求函数解析式为例，当学生无法解决这一类问题时，教师提出待定系数法，帮助学生更加有效的解决问题.2.2.2有助于培养学生的发散思维 发散思维从数学例题层面来讲，就是一题多解 程俊锋；戎海武：初中生待定系数法应用能力的现状调查

19、及分析，教育现代化，2019年第25期，第237-238页.待定系数法的教与学都能够帮助培养学生的发散思维，思维活动是一个求同存异的过程，将数学内容与数学方法相结合有助于拓宽解题思路，在求同存异的过程中学生的解题思路由单一到多样，这无疑是十分有意义的，以待定系数法来说，在应用待定系数解题的过程中，从学生的角度来说，能够使思路更加简洁清晰，学生的思路清晰了，那么问题自然也就迎刃而解了.从老师的角度来说，通过不同方法解题也实现了培养学生的数学学习思维的敏捷性的教学目标，使学生身心各方面得到发展.3待定系数法教学现状调查与分析3.1学生的问卷调查分析3.1.1调查目的及调查对象为了了解关于学生是否理

20、解待定系数法以及能否在数学解题中灵活正确的应用待定系数法的情状，现在连云港市灌南县实验中学随机选取102名学生作为研究对象.3.1.2调查内容与统计在连云港市灌南县实验中学发放了102份问卷，回收的问卷中，有102份有效问卷.经统计结果如表1-1表1-1 灌南县实验中学的学生问卷调查统计图表题号123456789A选A人数224253252935202030A百分比()21.5741.1851.9624.5128.4334.3119.6119.6129.41B选B人数143029544242494927B百分比()13.7329.4128.4352.9441.1841.1848.0448.04

21、26.47C选C人数481111233125333345C百分比()47.0610.7810.7822.5530.3924.5132.3532.3544.12D选D人数18199D百分比()17.6518.638.82 3.1.3结论调查与分析根据上述问卷调查的图表分析，大部分学生认为待定系数法对数学解题是至关重要的，但在实际应用中，只有少部分学生能够采用待定系数法来解决数学问题，这样的一种现象反应出大部分学生还没有掌握待定系数法的本质，缺少分析问题解决问题的过程.学生不能准确利用待定系数法解决问题，首先在于自身重视度不够，没有看穿待定系数法贯穿中学数学始末的重要地位.其次就是学习过于死板，就

22、是思考度不够，换言之就是不爱动脑筋，老师说什么就听什么，没有自我的思考.故而遇到数学问题时，由于对旧知识仅限于了解，而没有掌握本质，自然无法与新知识建立桥梁，更别说通过新知识学会学习的方法了.3.2教师的问卷调查分析3.2.1调查目的及调查对象为了了解关于教师如何在教学过程中渗透待定系数法以及对学生应用待定系数法重视程度的情状，现在连云港市灌南县实验中学抽样调查了25名数学教师，作为此次的研究对象.3.2.2调查内容与统计在连云港市灌南县实验中学抽样调查了25名数学教师，经统计结果如表2-1表2-1灌南县实验中学的教师问卷调查统计图表题号12345678A选A人数865114463A百分比()

23、3224204416162412B选B人数141714122785B百分比()566856488283220C选C人数3262151116C百分比()1282486044424D选D人数431011D百分比()161240443.2.3调查结论与分析 根据上述问卷调查的图表分析，大部分老师认为待定系数法对数学教学是至关重要的，然而能够将待定系数法渗透到数学教学中的老师却很少，能够开展待定系数法的练习课更是少之又少，这样的一种现象反应出大部分老师对应用待定系数法的过程不够重视，对数学解题浮于表面.4待定系数法在中学数学解题中的应用举例 待定系数法贯穿于整个中学数学的始末，它本质是以待定系数为未知

24、的方程法，是一种化繁为简，化难为易的数学思想.待定系数法是一种为了解决一类结论未知，结论的框架是可以推断出的某种确定的形式的数学题而存在的，正确的设形构思是待定系数法的关键.它在某种程度上可以减少计算的繁杂性以及解决问题的难度，提高学生学习的有效性 王春香：例说待定系数法的应用，中学数学，2019年第10期，第58-59页. 4.1应用待定系数法求函数解析式 函数是初中数学中的核心内容，初中数学主要有正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数这几种函数.一般都是在解析式中代入点坐标，通过解方程求出待定系数从而求出函数解析式. 例1.已知是的一次函数,当时,；当时,.求这个一次函数的表达式. 分

25、析：一次函数的解析式为，关键就是求出，的值 解：设 当时， 则有(1) 当时， 则有 (2) 解（1）（2）得 ， 最终得 注：使用待定系数法求这一类问题，思路清晰，过程简便. 例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的表达式. (1)已知二次函数图像经过点，和; (2)已知抛物线的顶点坐标是且过点; (3)已知抛物线与x轴交与点，且与y轴交于点: 解：(1)设二次函数的表达式为 将点，)和分别代入表达式得：即 所以所求二次函数的表达式为（2） 因为抛物线的顶点是 所以设二次函数的表达式为 又因为抛物线经过点所以 解得所以所求二次函数的表达式为即 (3)因为抛物线与轴交于点， 所以设二次函数

26、的表达式为 又因为抛物线经过点 所以 解得 所以所求二次函数的表达式为即 注：在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式： 1、一般式：. 2、顶点式：，其中顶点坐标为，对称轴为直线. 3、交点式：，其中是抛物线与轴的交点的横坐标. 我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件 设出恰当的解析式.例3.一次函数的图像经过，两点，与轴交于点，求三角形的面积.解：设直线的解析式为将（1，3），（0，1）两点代入，得解得所以直线的解析式为，令，则，所以C点坐标为所以三角形的面积 4.2应用待定系数法因式分解 因式分解共有十四种方法,其中十字相乘法是特殊的

27、待定系数法.用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错.当因式分解的代数式比较复杂时，我们一般采用分组的方式进行因式分解.例1. 分解因式 解:设=即 比较等号两边对应项系数 则有 即 故原式注：此题除了可以通过待定系数法解决还可以尝试配凑的方法，但过程相对待定系数法来说较为繁琐.例2.如果多项式能分解成两个一次因式积,的积（为整数），求的值.解：设系数对应得由于（式子1）5（式子2）得+5=-26所以+5+25=-1即由题意知为整数所以或者即或者 所以4.3应用待定系数法研究分式 在初中数学的整式计算和因式分解之后，我们又学习了分式.在中考中分式是一个重要的知

28、识点，特别是分式的化简常常作为解答题出现，这时我们往往需要把一个复杂的分式化成一个简单的分式之和. 例1.把化成部分分式 解:设= 则即 从而有 即 故例2. 把化为分母是一次式，分子是常数的两个分式的和. 解：分母因式分解： 令 所以，比较等式两边同类型的系数 得即 所以 4.4应用待定系数法求代数式的值 例1.若，求的值 解:设 比较系数得 即 故 注:由于题目条件中未知数的个数大于题目所给方程的个数，故需使用待定系数法建立 已知和结论之间的关系. 例2.设，都是实数，若 试求的取值范围 设 故 即 从而=，而 故-120 注:通过待定系数法用已知代数式来表示未知代数式.例3.新年前夕，王

29、小花和刘小白一起去超市购买年货，王小花购买了5斤奶糖，13斤瓜子，1斤饼干，共花了111元；刘小白购买了4斤奶糖，10斤瓜子，1斤饼干，共花了88元.根据上述信息，你能算出购买1斤奶糖，1斤瓜子，1斤饼干一共要花多少钱吗？解：设1斤奶糖的价格为x元，1斤瓜子的价格为y元，1斤饼干的价格为z元.由题意得令即根据对应系数相等可知由（式子1）和（式子2）得代入（式子3）成立所以答：购买1斤奶糖，1斤瓜子，1斤饼干一共要花19元.4.5应用待定系数法研究整式的乘除法例1.用待定系数法求的展开式解：设(为待定系数）当时，得；当时，得即；当时，得;从而得解得所以注：此题是待定系数法在整式乘法中的运用，并且

30、采用待定系数法和特殊值法相结合的解法，先设待定系数得出展开式的形式，再由特殊值得出方程组从而解出待定系数.例2.试确定和,使能被整除.解：设因为，故要使能被整除，即能被整除,则是t的因式，因此当时，即;当时，即，由得注:此题是待定系数法在整式除法中的运用，同时结合特殊值法使题目计算更加简便.结论 本文主要是对待定系数法的应用进行研究.一方面通过问卷调查分析学生对待定系数法的理解程度和教师对待定系数法的课堂教学重视程度，得出：于学生来说，对待定系数法的本质理解不够，对题目的应用不够灵活，于教师来说，对待定系数法的教学过程重视不足，忽视了待定系数法灵活性.另一方面通过数学例题在数学各个知识点中应用

31、，明了待定系数法的题型特点及解题关键，训练学生的发散思维和应用意识，从而达到灵活运用待定系数法的目的.但本课题仍有如下几点不足之处. (一)应用待定系数法的例题主要针对江苏地区初中数学导学案，因此对待定系数法应用的研究不够全面. (二)完成有效问卷调查表人数较少.本次问卷调查表分别在学生和教师中发放，有效问卷数分别为197个和15个，虽然样本容量的大小有一定的参考作用，但普遍性依旧不够，无论是初中生对待定系数法的基本认知程度，还是教师对待定系数法的教学重视程度，都有一定的随机性. 随着新课程的不断改革与发展，新课标规定教学要以学生为中心，在教学的过程中渗透待定系数法能够锻炼学生的思维能力以及学

32、习的积极性.对于教师来说，要想在教学中渗透待定系数法，首先要提高自身的专业素养，主导课堂的各个重要环节，切实做到师生互动.其次能够引导学生探究待定系数法的应用，培养学生自主探索的能力，切实做到生生互动.最后在解题方面既要重视学生掌握数学知识的学习结果的评价，也要重视学生数学思维和解决问题的方法方面的评价，从而帮助学生更好的探索数学的奥秘.现如今数学思想方法在初中数学教学中的地位越来越重要，希望在本课题的前提下，进而深入研究待定系数法的应用，为有效拓展相关应用的例题提出更进一步的建议. 参考文献1姜重旭.例说待定系数法的应用J.初中数学教与学，2013(23):21-22.2黄文帅.待定系数法的

33、基本思想与解题策略研究J.学周刊，2016(5):209.3黄福萍.初中数学题中的待定系数法J.科技风，2013(7):220.4曹发录；杨扣霞.待定系数法在中学数学教学中的应用J.宝鸡文理学院学报(自然科学版),1996(4):80-86.5纪宏伟.待定系数法及其应用J.中学数学研究(华南师范大学版),2014,（9）：44-46.6黄发根.待定系数法的魅力J.数理化学习(初中版),2018（1）：6-7.7毛黎明.中学数学待定系数法应用探析J.中学数学,2020（8）:58-59.8张娟红.如何在数学教学中渗透数学之美J.甘肃教育,2020,No.651,76.9衡锋.有机渗透数学思想提升

34、学生数学素养N.江苏教育报,2013-01-09.（3）.10程俊锋；戎海武.初中生待定系数法应用能力的现状调查及分析J.教育现代化,2019（25）：237-238+242.11王春香.例说待定系数法的应用J.中学数学,2019（10）:58-59.第 16 页致 谢 弹指一挥间，在宿迁学院文理学院的本科四年时光如白驹过隙.在这充实的四年里，文理学院的老师们认真切实的治学精神，一丝不苟的工作作风，吐故纳新的教学方法在迁移默化中也影响着我的学习生活.在毕业论文完成之际，我要对给我关怀和帮助的人表示感谢. 首先我要感谢我的毕业论文指导老师.我的毕业论文指导老师吴耀强老师在从课题选取到论文完成的期

35、间给了我莫大的帮助，在我茫然找不到课题框架时费心为我分析，引导我最终解决问题，他认真治学，循循善诱的人生态度，使我受益匪浅.这几个月以来，吴老师在论文上为我悉心指导，在此向吴老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意. 其次我要感谢宿迁学院文理学院数学与应用数学(师范)的所以老师.感谢四年内老师对我的教育与培养，感谢这样一个优美的生活环境和学习氛围. 再次，我要感谢我的家人和朋友的鼓励与支持.正是有他们的帮助和后盾，我才能一往无前，能够充实无忧的度过我的大学生活. 最后，我要感谢我的母院宿迁学院文理学院四年来对我的栽培.玉经磨琢多成器，剑拔沉埋便倚天，未来我将不断学习知识和感悟精神，持之以恒，不断进步.附

36、录附录A:待定系数法在中学数学中的调查问卷(学生) 亲爱的同学们： 你们好！为了了解大家对待定系数法的掌握情况，特制作了这份调查问卷.本调查以不记名的形式进行，调查结论仅仅用于学术研究，不会对你构成任何不良影响.我们需要充分了解你的真实想法和能力水平，所以请你按照自己的理解认真填写作答.非常感谢你的合作.1.你对数学这门学科( )A很感兴趣 B感兴趣 C一般 D不感兴趣2.你对待定系数法的认知程度是什么( )A学过，但不是很了解 B有一定了解，但不会主动想起C熟悉，但不会运用 D能够很熟练的应用3.你能以待定系数法为中心对初中数学的知识点进行分类吗( )A不能，特别困难 B能分类一小部分，困难C能分类大部分，不困难 D能，简单4.你是否遇到这样的情况，对于同一个数学问题，用待定系数法解决比不用待定系数法要简单的多( )A经常遇到 B偶尔遇到 C从没遇到5.你认为待定系数法帮助解决的题型多吗( )A很多 B一般 C较少6.你的数学老师在上课过程中经常提到待定系数法吗( )A经常 B偶尔 C从没有7.你在课后反思在能经常想到待定系数法吗( )A经常 B偶尔 C从没有8.你的数学老师上过待定系数法专题课吗( )A经常 B偶尔 C从没有9.你认为老师有必要上待定系数法的专题课吗( )A很有必要 B有必要 C没有必要