国家开放大学《工程数学》综合练习题参考答案.pdf

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1、国家开放大学工程数学综合练习题参考答案 一、单项选择题一、单项选择题 1.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D）A.B.C.D.2.下列命题正确的是（C）A个维向量组成的向量组一定线性相关；B向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解 C向量组,0 的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关 3.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（D）一定是的解 A.B.C.D.4.设，则随机变量（B ）。A.B.BA,n111)(BABABABABAABn22111)(ABABnns,21s,2102211sskkk,21ssAnmnm ABAX 21,XX21XX BAX

2、 21XX 21XX 212XX 122XX)10,50(2NX)1,0(N10050X1050X本套练习题包括题型：本套练习题包括题型：一、单项选择题（40）二、填空题（35）三、计算题（28）四、证明题（6）C.D.5.对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（A）A.已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值 C.已知均值，检验方差 D.未知均值，检验方差 6.设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义 A.B.C.D.7.向量组的极大线性无关组是（A）A B C D.8.若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解 A1 B4 C2 D 9.掷两颗均匀的骰子，事件

3、“点数之和为 4”的概率是（C）.50100X5010X),(2NUA43B25CBCA2442235412340 0 01 0 01 2 01 2 3,234,24,34,32,41221A12A.B.C.D.10.在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B）A.已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值 C.已知均值，检验方差 D.未知均值，检验方差 11.设都是方阵，则下列命题中正确的是（A）A.B.若，则 或 C.若，且，则 D.12.若齐次线性方程组只有零解，则非其次线性方程组解的情况是（C）A有唯一解 B有无穷多解 C可能无解 D.有非零解 13.设是两个随机事件，则下

4、列等式中不准确的是（B）.A B C D 361181121111N(,)2T,A B Cn2()()AIAIAIABOAOBOABACAOBC22()()ABABAB0AX AXb,A B()()()()P ABP AP BP AB()()()P ABP A P B()1()P AP A()()()P ABP A BP B14.袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取到红球的概率是（D）.A.B.C.D.15.对于单个正态总体，未知时，关于均值的假设检验应采用（D）A.检验法 B.检验法 C.检验法 D.检验法 16.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的

5、是（D）A.B.C.D.17.下列命题正确的是（）A个维向量组成的向量组一定线性相关；B向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解 C向量组,0 的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关 18.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（）一定是的解 A.3103206259252(,)XN:2FU2tBA,n111)(BABABABABAABn22111)(ABABnns,21s,2102211sskkk,21ssAnmnm ABAX 21,XX21XX BAX 21XX B.C.D.19.设，则随机变量（）。A.B.C.D.20.对正态总体的假设检验问题中，检验解决

6、的问题是（）A.已知方差，检验均值 B.未知方差，检验均值 C.已知均值，检验方差 D.未知均值，检验方差 21.下列命题中不正确的是（D）AA 与有相同的特征多项式 B若是 A 的特征值，则的非零解向量必是 A 对应于的特征向量 C若=0 是 A 的一个特征值，则必有非零解 DA 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 22.设 A，B 都是阶矩阵，则下列等式中正确的是(C)A B C D 23.设是两个随机事件，下列命题中不正确的是(B)A.B.21XX 212XX 122XX)10,50(2NX)1,0(N10050X1050X50100X5010X),(2NUAOXAI）（OAX n

7、BAAB BAAB111ABAB111BABAA B,)()()()(ABPBPAPBAP)()()(BPAPABPC.D.24.设袋中有 6 只红球，4 只白球，从其中不放回地任取两次，每次取 1 只，则两次都取到红球的概率是（A）A.B.C.D.25.对于单个正态总体总体，已知时，关于均值的假设检验应采用（B）At 检验法 BU 检验法 C 检验法 DF 检验法 26.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（A）A B C D 27.方 程 组相 容 的 充 分 必 要 条 件 是(B)，其 中，A)(1)(APAP)()()(BPABPBAP3125953103),(2NX22BA,nBAAB

8、BABA111)(BABA111)(BAAB331232121axxaxxaxx0ia)3,2,1(i0321aaaB C D 28.设矩阵的特征值为 0，2，则 3A 的特征值为(D)A0，2 B2，6 C0，0 D0，6 29.若事件与互斥，则下列等式中正确的是（A）A B C D 30.设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量 U=（C）A B C D 31.A，B 都是阶矩阵（，则下列命题正确的是(D)AAB=BA B若 AB=O，则或 0321aaa0321aaa0321aaa1111AABP ABP AP B()()()P BP A()()1P AP A B()()P ABP

9、A P B()()()nxxx,21)1,5(N5:0H55x5/15xnx/1515xn)1nOA OB C D 32.向量组的秩是（C）A B C D 33.设矩阵 A 的特征多项式，则 A 的特征值为(D)A B C D，34.若随机变量 X 与 Y 相互独立，则方差=（B）A B C D 35.已知总体，未知，检验总体期望采用（A）At 检验法 BU 检验法 C 检验法 DF 检验法 2222)(BABABABAAB 321,333,022,0011234300020001AI123112233)32(YXD)(9)(4YDXD)(9)(4YDXD)(3)(2YDXD)(3)(2YDX

10、D),(2NX2236.方程组相容的充分必要条件是(B)，其中，A B C D 37.设都是 n 阶方阵，则下列等式中正确的是(C)A B C D 38.下列命题中不正确的是（A）AA 与有相同的特征值 BA 与有相同的特征多项式 C若 A 可逆，则零不是 A 的特征值 DA 与有相同的特征值 39.若事件与互斥，则下列等式中正确的是（D）A B C D 40.设随机变量，则下列等式中不正确的是（A）A B 331232121axxaxxaxx0ia1,2,3i 0321aaa0321aaa0321aaa0321aaaBA,BABA1111ABABABA BAA1AAAAB1)()(BPAPP

11、 ABP A P B()()()P AP A B()()P ABP AP B()()()X(21)2()EXE X(21)4()DXD XC D 二、填空题二、填空题 1.设均为 n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则 B(A-1)C-1 2.线性方程组有解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)3.若，则0.3 4.设随机变量的概率密度函数为，则1/8 5.设是来自正态总体的一个样本，则 6.设均为 3 阶矩阵，且，则-8 7.当=0 时，矩阵的秩最小 8.设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.9.设随机变量，则15 10.设是来自正态总体的一个样本，则 11.设均为 3 阶矩阵，

12、且，则12 22()()()D XE XE X()()DXD XA B C,ABC111,()CA B11AXb5.0)(,8.0)(BAPAP)(ABPX其它0103)(2xxxf)21(XPnxxx,21N(,)211niixnBA,3 BA12AB42045114321A B C,ACB,)(CBA)15.0,100(BX)(XEnxxx,21N(,)2niixnx11)(xDn2BA,3,2AB12A B12.设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得矩阵，则称为相应于特征值的特征向量.13.若，则 3 元齐次方程组的一个基础解析系中含有2个解向量.14.若，则0.1 15.设随机变量，若

13、，则7 16.若 3 阶方阵，则2 17.设为 n 阶方阵，若存在数和 非零 n 维向量，使得，则称数为的特征值，为相应于特征值的特征向量 18.设，那么 3 元齐次线性方程组 AX=O 的一个基础解系中含有 2 个解向量 19.设随机变量，则0.3 20.设为随机变量，已知，那么18 21.设，则的根是1，-1，2，-2 22.设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 23.设互不相容，且，则0 24.设随机变量 X B（n，p），则 E（X）=np 25.若样本来自总体，且，则 26.设三阶矩阵的行列式，则=2 27

14、.线性方程组中的一般解的自由元的个数是 2，其中 A 是矩阵，则方程组增广矩阵=3 AnnXAXXXA()1r A 0AX()0.9,()0.3,()0.5P ABP ABP AB()P AB X()3E X(21)EX 423010201AAAXAXXAXA1)(Ar5.02.0101aXaX2)(XD)23(XD22112112214Axx0A A B,P A()0P B A()nxxx,21)1,0(NXniixnx11x)1,0(nNA21A1ABAX 54)(BAr28.若事件 A，B 满足，则 P（A-B）=29.设随机变量，则0.9 30.设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的

15、无偏 估计 31.若三阶方阵，则=0 32.设为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量，使得，则称数为的特征值 33.已 知，则 当 事 件,相 互 独 立 时，0.08 34.设随机变量，则0.1 35.不含未知参数的样本函数称为统计量 三、计算题三、计算题 1已知，其中，求 解：利用初等行变换得 BA)()(BPAP3.03.04.0210XE X()(E632210001A2AIAXAXXA()0.2,()0.4P AP BA B()P AB 12340.10.30.5XaaBAX 108532,1085753321BAX10552001321000132110010850107530

16、01321121100255010364021121100013210001321121100255010146001即 由矩阵乘法和转置运算得 2.求线性方程组 的全部解 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解.方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系 1212551461A12823151381085321212551461BAX2284212342272134321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx046200321001010111312284212341212721

17、11310000002200010101113106600022000101011131xxxxxx14243415 x4x4)0001(0X4342415xxxxxxx4x4)1115(1X于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数）3.设，试求；（已知）解：4.某一批零件重量，随机抽取 4 个测得重量（单位：千克）为 14.7,15.1,14.8,15.2 可否认为这批零件的平均重量为 15 千克(已知)？解：零假设由于已知，故选取样本函数 经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为 15 千克.5.解矩阵方程，其中 解：利用初等行变换得 10kXXXk)4,3(NX)95

18、(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3(,9772.0)2()3231()23923235()95(XPXPXP1574.08413.09987.0)1()3()23723()7(XPXP)223(1)223(XPXP0228.09772.01)2(1)04.0,(NX(.)00596.1975.0uH015:2UxnN(,)0 195.14x5.042.01595.14nxu0 975196.975.096.15.0unxBAX 01020231,3114012AB 即 由矩阵乘法和转置运算得 6.为何值时，下列方程组有解，有解时求出其全部解.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

19、方程组的一般解为（其中为自由未知量）令=0，得到方程的一个特解 不计最后一列，令=1，得到方程的一个基础解系 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数）0101001400012310100101001400010510121400010101000015121004010101000015121401100512A14012092100312051212153XA B1231231233122234xxxxxxxxx1131113111311212012301232340122000113235423xxxx 3x3x0(430)X3x1(521)X10kXXXk7.设，试求；（已知）解：8

20、.据资料分析，某厂生产的砖的抗断强度服从正态分布，今从该厂最近生产的一批砖中随机抽取 9 块，测得抗断强度（单位：）的平均值为 31.18.假设标准差没有改变，在 0.05 的显著水平下，文这批砖的抗断强度是否合格？（）解：零假设；由于标准差没有改变，故已知选取样本函数 由已知，于是得 在 0.05 的显著水平下，因此拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格.9.已知，其中，求 参考答案：参考答案：(2,25)XN(1217)PX(3)P X ,8413.0)1(9987.0)3(,9772.0)2(12221722(1217)()(23)5555XXPXPP(3)(2)0.99870.99720

21、.0215 2322(3)()(1)555XXP XPP (1)0.8413 X(32.5,1.21)N2kg cm0.9751.96u0:32.5H1:32.5H21.2100(0,1)xUNn31.81x 0032.5,1.1,9n0031.1832.53.61.19xUn 3.61.96xnBAXX350211,301111010BAX 10.为何值时，线性方程组 有解，并求出一般解 参考答案：参考答案：11.设，试求；（已知）参考答案：参考答案：kkxxxxxxxxxxxx432143214321114724212)4,3(NX)95(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3

22、(,9772.0)2(12.随机抽取某班 28 名同学的数学考试成绩，得平均分为分，样本标准差分，若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为 85 分，试问在显著水平下，能否认为该班的数学成绩为 85 分？参考答案：参考答案：13.设矩阵，求 参考答案：参考答案：解：利用初等行变换可得 80 x8s05.0012411210A321024345BBA1120830001210010411100012010411001210 因此，=14.为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解 参考答案：参考答案：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由阶梯阵可知：当即时，方程组有解 此时，由最后一个行简化

23、阶梯阵得方程组的一般解为：，（其中为自由元）令，得方程组的一个特解 不计最后一列，令 x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1=于是，方程组的通解为：，(其中 k 是任意常数)15.设，试求：(1)；(2)（已知）21123100124010112001123200001210011201211231241121ABA1321024345211231241126541514139873213213214322213xxxxxxxxx1000321045012210321013114322121131101132453231xxxx3x03x0340X12510kXXX)4,3(N

24、X)95(XP)7(XP,8413.0)1(9987.0)3(,9772.0)2(参考答案：参考答案：解：（1）（2）16.设某种零件长度X服从正态分布，今从中任取 100 个零件抽检，测得平均长度为 84.5 cm，试求此零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间 参考答案：参考答案：解：由于已知，故选取样本函数 零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间 由已知，于是可得，因此，零件长度总体均值的置信度为 0.95 的置信区间：7.设矩阵，求 参考答案：参考答案：解：由矩阵乘法和转置运算得)3231()23923235()95(XPXPXP1574.08413.09987.0)

25、1()3()23723()7(XPXP)223(1)223(XPXP0228.09772.01)2(1)25.2,(N(.).u0 9751962UxnN(,)0 116,16975.0975.0uxux100,5.1,5.84nx96.1975.0u206.841005.196.15.84975.0nux794.841005.196.15.84975.0nux794.845,206.84100111101A1()AA 利用初等行变换得 即 18.求下列线性方程组的通解 参考答案：参考答案：解解:利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 方程组的一般解为：，其中，是自由未知量

26、 令，得方程组的一个特解 方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量 100111111111010132101011122AA 1111001320101220011111000211100111011002010011120111011002010111010011121002010100110011121201()011112AA123412341234245353652548151115xxxxxxxxxxxx2453536525481511 152453512010005551201000555005551201000111000001243421xxxxx2x4x042 xx0

27、(0 0 1 0)X，124342xxxxx2x4x令，得导出组的解向量；令，得导出组的解向量 所以方程组的通解为：，其中，是任意实数.19.设随机变量 X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使 P（X a）=0.9成立的常数 a (已知，)参考答案：参考答案：解：（1）P（1 X 7）=0.9773+0.8413 1=0.8186 （2）因为 P（X a）=0.9 所以 ，a=3+=5.56 20.从正态总体 N（，4）中抽取容量为 625 的样本，计算样本均值得=2.5，求的置信度为 99%的置信区间.(已知)参考答案：参考答案：解：已知，n=625，且 因为=2.5，所以置信

28、度为 99%的的置信区间为：.12x04x1(2 1 0 0)X，02x14x2(1 01 1)X，22110XkXkXX12(0 0 1 0)(2 1 0 0)(1 01 1)kk，1k2k8413.0)0.1(9.0)28.1(9773.0)0.2()23723231(XP)2231(XP)1()2()2323(aXP)23(a28.123a28.12x576.2995.0u2nxu)1,0(Nx01.0995.021576.221u206.06252576.221nu706.2,294.2,2121nuxnux21.设矩阵，解矩阵方程 参考答案：参考答案：解：因为 ，得 所以 22.设齐

29、次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解 参考答案：参考答案：解：因为 A=时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为：，其中为自由元 令=1 得 X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为 k1X1，其中 k1为任意常数 23.设随机变量（1）求；（2）若，653312,112411210BABAX1207300012100104111001120104110012101231002470102350011231000012100112011232472351ABAX1123247235137291618136351320830352023321321321xxxxxxxxx

30、83352231610110231500110101505即当3)(Ar3231xxxx3x3x)1,1,1()1,4(NX)24(XP9332.0)(kXP求 k 的值（已知）参考答案：参考答案：解：（1）1 =11（）=2（1）0.0454 （2）1 1 即k4=-1.5，k2.5 24.从正态总体 N（，9）中抽取容量为 64 的样本，计算样本均值得=21，求的置信度为 95%的置信区间(已知)参考答案：参考答案：解：已知，n=64，且 因为=21，且 所以，置信度为 95%的的置信区间为：25.设矩阵，求 参考答案：参考答案：解：利用初等行变换可得 9332.0)5.1(,8413.0

31、)1(,9775.0)2()24(XP)24(XP)242(XP)2()2()2()44()(kXPkXP)44(kXP)5.1(9332.0)4(k)5.1()5.1(1)4(kx96.1975.0u3nxu)1,0(Nx96.121u735.064396.121nu735.21,265.20,2121nuxnux122110135A 121104B AXBX 因此，于是由矩阵乘法可得 26.求线性方程组的通解 参考答案：参考答案：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 方程组的一般解为 ，(其中 x3是自由元)令 x3=0，得到方程组的一个特解 X0=；101310011210001221100

32、5310100110012211121002350102250211121000112100012211121002350102450011122352451A1152614011211122352451BAX12312312312324523438213496xxxxxxxxxxxx 14770281414014770542169141328341325421000000002110120100000000211054212123231xxxx)0,2,1(不计最后一列，x3=1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系 X1=于是，方程组的通解为：，(其中 k 是任意常数)27.设，试求:(

33、1)；(2)（已知）参考答案：参考答案：解：28.某厂生产日光灯管根据历史资料,灯管的使用寿命 X 服从正态总体在最近生产的灯管中随机抽取 49 件进行测试，平均使用寿命为1520 小时假设标准差没有改变，在 0.05 的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化(已知)参考答案：参考答案：解：零假设；由于标准差没有改变，故已知，选取样本函数 由已知，于是得 在 0.05 的显著性水平下，因此拒绝零假设，即最近生产的灯管质量出现显著变化 四、证明题四、证明题)1,1,2(10kXXX(2,25)XN(1217)PX(3)P X ,8413.0)1(9987.0)3(,9773.0)2(

34、)3522()5217525212()1712(XPXPXP0215.09772.09987.0)2()3()152()52352()3(XPXPXP8413.0)1(2(1600,70)N96.1975.0u1600:0H1600:1H2270UxnN(,)0 11520 x1600070049n849701600152000nxU96.1800nx0H1.设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 即 2.设阶方阵满足：，试证可逆 证明：由可得 因此，方阵可逆，其逆为 3.设 A,B 是 n 阶对称矩阵，试证：A+B 也是对称矩阵 证明：因为，由矩阵的运算性质可得

35、 所以 A+B 也是对称矩阵 4.设 n 阶矩阵 A 满足，则 A 为可逆矩阵 证明：因为，即 所以，A 为可逆矩阵 5.设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 6.设都是 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，试证也是对称矩阵 证明：由矩阵转置的运算性质可得 A B)()()(ABPAPBAP)()(BAABBAABBBAAUA)(ABBAP AP ABP AB()()()()()(ABPAPBAPnA23AAIOAI23AAIO()(2)AIAIIAI(2)AIBBAA,BABABA)(0)(IAIA0)(2IAIAIAIA 2A BP AP ABP AB()()()AAUABBABABABAB()()()ABAB P AP ABP AB()()()BA,B ABBABBABABB)()(又 A 为对称矩阵，故，从而 因此，也是对称矩阵AA ABBABB)(ABB