高中必修五数学知识点笔记整理.docx

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1、高中必修五数学知识点笔记整理高中必修五数学知识点一、基础知识常用逻辑用语：四种命题(原、逆、否、逆否)及其相互关系;充分条件与必要条件;简单的逻辑联结词(或、且、非);全称量词与存在性量词，全称命题与特称命题的否定.圆锥曲线：曲线与方程;求轨迹的常用步骤;椭圆的定义及其标准方程、椭圆的简单几何性质(注意离心率与形状的关系);双曲线的定义及其标准方程、双曲线的简单几何性质(注意双曲线的渐近线)、等轴双曲线与共轭双曲线;抛物线的定义及其标准方程;抛物线的简单几何性质;直线与圆锥曲线的常用公式(弦长公式、两根差公式).圆锥曲线的几何性质的常用拓展还有：焦半径公式、椭圆与双曲线的焦准定义、椭圆与双曲线

2、的“垂径定理”、焦点三角形面积公式、圆锥曲线的光学性质等等.空间向量与立体几何：空间向量的概念、表示与运算(加法、减法、数乘、数量积);空间向量基本定理、空间向量运算的坐标表示;平面的法向量、用空间向量计算空间的角与距离的方法.二、重难点与易错点重难点与易错点部分配合必考题型使用，做完必考题型后会对重难点与易错部分部分有更深入的理解.(1)区分逆命题与命题的否定;(2)理解充分条件与必要条件;(3)椭圆、双曲线与抛物线的定义;(4)椭圆与双曲线的几何性质，特别是离心率问题;(5)直线与圆锥曲线的位置关系问题;(6)直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题;(7)直线与圆锥曲线问题中的参数求解与性质证明

3、;(8)轨迹与轨迹求法;(9)运用空间向量求空间中的角度与距离;(10)立体几何中的动态问题探究.高中必修五数学必背知识点一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性,元素的互异性,元素的无序性,集合的表示：如：我校的队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。?注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N_或N+整数集Z有理数集Q实数集R1)列举法：a,b,c描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。x?R|x-32,x|x-32语言描述法

4、：例：不是直角三角形的三角形Venn图:4、集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B(55，且55，则5=5)实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A?A真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果A?B,B?C,那么A?C如果A?B同时B?A那么A

5、=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。?有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作A交B)，即AB=x|xA，且xB.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B)，即AB=x|xA，或xB).设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)二、函数的有关概念函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对

6、于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x

7、的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域一致(两点必须同时具备)值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三

8、种平移变换伸缩变换对称变换4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.5.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作f：AB6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g的复合

9、函数。二.函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质;图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法定义法：1任取x1，x2D，且x12作差f

10、(x1)-f(x2);3变形(通常是因式分解和配方);4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，

11、都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;2确定f(-x)与f(x)的关系;3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.(2)由f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系

12、时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：凑配法待定系数法换元法消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);高中必修五数学知识点1、数列概念数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。

13、数列可以看作一个定义域为正整数集Nx或其有限子集1，2，3，n的函数，其中的1，2，3，n不能省略。用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a、列表法;b、图像法;c、解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。等差数列1、等差数列通项公式an=a1+(n1)dn=1时a1=S1n2时an=SnSn1an=kn+b(k，b为常数)推导过程：an=dn+a1d令d=k，a1d=b则得到an=kn+b2、等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。

14、这时，A叫做a与b的等差中项(arithmeticmean)。有关系：A=(a+b)23、前n项和倒序相加法推导前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)dSn=an+an1+an2+a1=an+(and)+(an2d)+an(n1)d由+得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n个)=n(a1+an)Sn=n(a1+an)2等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n1)d2Sn=dn22+n(a1d2)亦可得a1=2snnan=snn(n1)d2nan=2snna1有趣的是

15、S2n1=(2n1)an，S2n+1=(2n+1)an+14、等差数列性质一、任意两项am，an的关系为：an=am+(nm)d它可以看作等差数列广义的通项公式。二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an1=a3+an2=ak+ank+1，kNx三、若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq四、对任意的kNx，有Sk，S2kSk，S3kS2k，SnkS(n1)k成等差数列。等比数列1、等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。有关系：注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，

16、所以G2=ab是a，G，b三数成等比数列的必要不充分条件。2、等比数列通项公式an=a1xq(n1)(其中首项是a1，公比是q)an=SnS(n1)(n2)前n项和当q1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=a1(1qn)/(1q)=(a1a1xqn)/(1q)(q1)当q=1时，等比数列的前n项和的公式为Sn=na13、等比数列前n项和与通项的关系an=a1=s1(n=1)an=sns(n1)(n2)4、等比数列性质(1)若m、n、p、qNx，且m+n=p+q，则aman=apaq;(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1an=a2

17、an1=a3an2=akank+1，k1，2，n(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aqap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。记n=a1a2an，则有2n1=(an)2n1，2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1qn)/(1q)(6)任意两项am，an的关系为an=amq(nm)(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。注意：上述公式中an表示a

18、的n次方。数学三角形斜边计算公式斜边是指直角三角形中最长的那条边，也指不是构成直角的那条边。在勾股定理中，斜边称作“弦”。三角形斜边长等于根号下两直角边的平方和，即斜边c=(a2+b2)解答过程如下：(1)在直角三角形中满足勾股定理在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。数学表达式：a2+b2=c2(2)a2+b2=c2求c，因为c是一条边，所以就是求大于0的一个根。即c=(a2+b2)。在几何中，斜边是直角三角形的最长边，与直角相对。直角三角形的斜边的长度可以使用毕达哥拉斯定理找到，该定理表示斜边长度的平方等于另外两边长度的平方和。例如，如果其中一方的长度为3(平方，9)，另一方的长度为4(平方，16)，那么它们的正方形加起来为25。斜边的长度为平方根25，即5。