【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点05：函数的单调性与最值.docx

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1、【题型归类大全】2023年高考一复习学案（理科数学）考点05：函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质命题分析1集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题2高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题.题型归类1集合的含义与表示2.集合间的基本关系3集合的基本运算4德摩根定律在集合计算的运用5韦恩

2、图在集合与数量关系问题中的运用6利用集合的运算求参数7集合与其他知识的综合问题8集合的新定义问题题型一：确定函数的单调性(区间)知识与方法1增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0f(x)在D上是减函数(2)对勾函数yx

3、(a0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”3.确定函数单调性的4种方法(1)定义法利用定义判断(2)导数法适用于可以求导的函数(3)图象法由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(4)复合函数法对于函数yf(g(x)，先确定yf(v)，vg(x)的单调性，再利用“同增异减”的原则确定yf(g(x)的单调性易错警示：确定函数的单调性(

4、区间)，应先求定义域，在定义域内确定单调性(区间)4.熟记函数单调性的4个常用结论(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数；(2)若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反；(3)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同5.单调函数的两种等价变形设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1

5、x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数例1 函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，) D(4，)解析：由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则yln t在t(0，)上为增函数欲求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选D.例2已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，得x22x30，解得x1或x3.所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3

6、的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)例3求下列函数的单调区间：yx22|x|1；解析：由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)例4下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay By(x1)2Cy2x Dylog0.5(x1)解析A项，函数y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；B项，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；C项，函数y2x()x在R上为减函数，故错误；D项，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错

7、误题型二：图像法确定函数的单调性(区间)知识与方法复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间例1 下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，)上单调递减的是(B)Ay Byx21Cy2x Dylog2|x|解析：因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A，C，又yx21在(0，)上单调递减，ylog2|x|在(0，)上单调递增，所以排除D.故选B.例2函数变为y|x22x1|的单调区间 解析：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和

8、(1，1)例3已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)题型三：复合函数的单调性(区间)例1 求下列函数的单调区间：ylog(x23x2)解析：令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减

9、函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)例2函数f(x)log(x24)的单调递增区间是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)解析：因为ylogt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)题型四：分段函数的单调性(区间)例1 函数f(x)在R上是()A减函数 B增函数C先减后增 D无单调性解析：选B作出函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数例2已知函数f(x)是R上的增函数，则实

10、数a的取值范围是()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)解析：选B由f(x)在R上是增函数，则有解得4a8.题型五：解析式含参函数的单调性例1 试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解析：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)在(1,1)上单调递减；当a0，函数f(x)x(x0)，证明：函数f(x)在(0， 上是减函数，在，)上是增函数解析：方法一任意取x1x20，则f(x1)

11、f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0， 上为减函数；当x1x2时，x1x20,10，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0， 上为减函数，在，)上为增函数方法二f(x)1，令f(x)0，则10，解得x或x(舍)令f(x)0，则10，解得x0，0x0，设函数f(x)(xa，a)的最大值为M，最小值为N，那么MN(D)A2 017 B2 019C4 032 D4 036解析：由题意得f(x)2 019.y2 0

12、19x1在a，a上是单调递增的，f(x)2 019在a，a上是单调递增的，Mf(a)，Nf(a)，MNf(a)f(a)4 0384 036.例2函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.解析：易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.例4函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.题型七：应用函数的单调性比较函数值的大小知识与方法比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决例1 已

13、知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BcbaCacb Dbac解析：因为f(x)的图象关于直线x1对称由此可得ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为123，所以f(2)ff(3)，所以bac例2已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)exsin x，则()Af(1)f(2)f(3) Bf(2)f(3)f(1)Cf(3)f(2)f(1) Df(3)f(1)f(2)解析：选D由f(

14、x)f(x)，得f(2)f(2)，f(3)f(3)由f(x)exsin x，得函数f(x)在内单调递增又312f(1)f(3)f(2)f(1)f(3)例3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2e)f(x)(其中e2.718 2)，且在区间e,2e上是减函数，令a，b，c，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系(用不等号连接)为(A)Af(b)f(a)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(a)f(b)f(c) Df(a)f(c)f(b)解析：f(x)是R上的奇函数，满足f(x2e)f(x)，f(x2e)f(x)，函数f(x)的图象关于直线xe对称，f(x)在区间e,2e上为减函数，f(

15、x)在区间0，e上为增函数，又易知0cabe，f(c)f(a)f(b)，故选A.例4已知函数f(x)log2x，若x1(1,2)，x2(2，)，则()Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析函数f(x)log2x在(1，)上为增函数，且f(2)0，当x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即f(x1)0.题型八：应用函数的单调性解函数不等式知识与方法解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域例1 已知函数f(x)x3sin x，x(1,1)，则满足f

16、(a21)f(a1)0的a的取值范围是()A(0,2) B(1，)C(1,2) D(0，)解析：由题意知f(x)(x)3sin(x)x3sin x(x3sin x)f(x)，x(1,1)，f(x)在区间(1,1)上是奇函数又f(x)3x2cos x0，f(x)在区间(1,1)上单调递增，f(a21)f(a1)0，f(a1)f(a21)，f(1a)f(a21)，解得1a，故选B例2已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)解析：选D依题意得1，即0，所以x的取值范围是x1或x0.例3f(x)是定义在(0，)上

17、的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)解析：211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8f(a3)，则实数a的取值范围为(3，1)(3，)解析：由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)例4已知函数f(x)g(x)x22x，设a为实数，若存在实数m，使f(m)2g(a)0，则实数a的取值范围为1,3解析：当7x0时，f(x)|x1|0,6，当e2xe时，f(x)lnx单调递增，得f(x)2,1，综上，f(x)2,6若存在实数m，使f(m)2g(a)0，则有22g(a)6，即1a22a31a3.