第01章 矢量分析和场论基础.ppt

《第01章 矢量分析和场论基础.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第01章 矢量分析和场论基础.ppt（65页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础 矢量分析和场论基础第一章电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.1 标量和矢量标量和矢量1.2 矢量的运算矢量的运算1.3 标量场和矢量场标量场和矢量场1.4 特殊正交曲线坐标系特殊正交曲线坐标系1.5 场论场论1.6 拉普拉斯算子拉普拉斯算子1.7 电磁场的分类和亥姆霍兹定理电磁场的分类和亥姆霍兹定理电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.1 标量和矢量标量和矢量矢量分析和场论是学习电磁场理论必备的数矢量分析和场论是学习电磁场理论必

2、备的数学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概学工具，本章简要介绍矢量分析和场论的基本概念和定理。念和定理。标量标量是指用单一数量就可以完整描述的物理量，是指用单一数量就可以完整描述的物理量，比如比如质量质量、时间时间、温度温度和和功功等。等。在在本本教教材材中中用用粗粗正正体体字字母母表表示示矢矢量量，比比如如矢矢量量A可以写成可以写成(1-1)矢量矢量是指既有大小又有方向的物理量，比是指既有大小又有方向的物理量，比如如力力、电场电场和和磁场磁场等。等。单位矢量单位矢量作业要求写成：作业要求写成：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础

3、1.2.1直角坐直角坐标标系中矢量的表示系中矢量的表示1.2 矢量的运算矢量的运算图图1-2 直角坐标系中直角坐标系中 矢量的描述矢量的描述 图图1-1 矢量表示矢量表示 在直角坐标系中，矢量在直角坐标系中，矢量A可写为可写为(1-6)其中其中矢量常用带箭头的线段表示矢量常用带箭头的线段表示(1-3)电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.2.2矢量的运算矢量的运算1.矢量加法矢量加法(1-7)(1-8)式中式中矢量矢量满满足足结结合律和交合律和交换换律，即律，即(1-9)(1-10)电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第

4、一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础2.矢量的标积矢量的标积(1-11)图图1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积 矢量的标积是一个数量，并满足矢量的标积是一个数量，并满足交换律、分配律和数乘，即交换律、分配律和数乘，即(1-12)(1-13)(1-14)坐标表示为坐标表示为(1-15)矢量投影为：矢量投影为：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础3.矢量的矢积矢量的矢积(1-17)式中式中 n 是一垂直于由矢量是一垂直于由矢量 A 和和 B 构成的平面的单位矢量，并遵循构成的平面的单位矢量，并遵循右手螺旋法则，见图右手螺旋法则，

5、见图1-3。矢量的矢积不满足交换律：矢量的矢积不满足交换律：(1-18)矢积满足分配律和数乘，即矢积满足分配律和数乘，即图图1-3 矢量的标积和矢积矢量的标积和矢积(1-20)(1-19)电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础矢量矢积的坐标表示为矢量矢积的坐标表示为(1-23)或简记为或简记为 利用利用 exey=ez，eyez=ex，ezex=ey exex=eyey=ezez=0 可直接证明。可直接证明。矢量恒等式矢量恒等式(1-24)(1-25)电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场

6、论基础例例 1.1 计算由矢量计算由矢量A、B和和C构成的平行六面体的构成的平行六面体的体积，矢量体积，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。解解 平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例 1.2 给定三个矢量给定三个矢量 A=ex+2ey-3ez,B=-4ey+ez,C=5ex-2ey，试求试求 和和 。解解电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1

7、.3 标量场和矢量场标量场和矢量场 从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。从数学上讲，场是物理量随空间坐标变化的函数。物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是物理量可以是标量或矢量，因而，场可以是标量场标量场或或矢量场矢量场。图图1-4 温度场分布示意图温度场分布示意图 图图1-5 电场分布示意图电场分布示意图 如果物理量仅随空间点而变化，不随时间变化，这如果物理量仅随空间点而变化，不随时间变化，这种场称之为种场称之为静态场静态场，否则，称之为动态场或，否则，称之为动态场或时变场时变场。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.4.1

8、直角坐直角坐标标系系1.4 特殊正交曲线坐标系特殊正交曲线坐标系直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直直角坐标系由三个相互垂直的有向线段构成，三直线称为线称为X、Y和和Z轴，三个单位矢量轴，三个单位矢量 ex、ey 和和 ez相互相互垂直，分别表示垂直，分别表示X、Y和和Z轴的方向。轴的方向。1.位置矢量位置矢量 如图如图1-6所示。所示。图图1-6 位置矢量位置矢量 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础2.距离矢量距离矢量 如图如图1-7所示。所示。距离大小距离大小 图图1-7 距离矢量距离矢量 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电

9、磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础体微分元体微分元 面微分元面微分元 线微分元线微分元 图图1-8 面微分元和体微分元面微分元和体微分元 图图1-9 线微分元线微分元 3.体、面和线微分元体、面和线微分元 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.4.2圆圆柱坐柱坐标标系系图图1-10 圆柱坐标圆柱坐标与坐标对应的单位矢量为与坐标对应的单位矢量为()三者相互垂直，服从右手法则。三者相互垂直，服从右手法则。为位置矢量为位置矢量 r 在在 X-Y 平面上投影的大小；平面上投影的大小；为为XOZ平面与平面与POZ平面

10、之间的夹角，逆时针方向正平面之间的夹角，逆时针方向正;z 是是r 在在 Z 轴上的投影。轴上的投影。注意注意和和 是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数1.位置矢量位置矢量 式中，式中，对于任意的对于任意的r，电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础2.直角坐标与柱坐标之间的关系直角坐标与柱坐标之间的关系取值范围取值范围 图图1-10 圆柱坐标圆柱坐标图图1-11 柱坐标系的三个正交面柱坐标系的三个正交面 柱坐标的三个正交面如图柱坐标的三个正交面如图1-11所示所示电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢

11、量分析与场论基础图图1-12 面微分元和体微分元面微分元和体微分元图图1-13 线微分元线微分元 3.体、面和线微分元体、面和线微分元 面微分元面微分元 线微分元线微分元 体微分元体微分元 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础4.单位矢量的变换单位矢量的变换 图图1-14 单位矢量之间的变换单位矢量之间的变换矩阵形式矩阵形式 逆逆变变换换 任意矢量的变换任意矢量的变换(1-47)同理，已知直角坐标系的分量表达式，利用其逆变同理，已知直角坐标系的分量表达式，利用其逆变换可得柱坐标下的分量表达式。换可得柱坐标下的分量表达式。电磁场与电磁波理

12、论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.4.3球坐球坐标标系系r 为位置矢量为位置矢量 r 的大小，的大小，图图1-15 球坐标球坐标1.位置矢量位置矢量 与坐标对应的单位矢量为与坐标对应的单位矢量为()，三者相互，三者相互垂直，并服从右手法则。垂直，并服从右手法则。在球坐标系下，在球坐标系下，都是空间坐标点的函数。都是空间坐标点的函数。是位矢是位矢r与正与正Z轴之间的夹角，轴之间的夹角，是是X轴正向与位矢轴正向与位矢r在在XY平面平面上的投影之间的夹角。上的投影之间的夹角。对于任意的对于任意的r，电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一

13、章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础2.直角坐标与球坐标之间的关系直角坐标与球坐标之间的关系（见图（见图1-1516）。）。图图1-15 球坐标球坐标图图1-16 球坐标系的三个正交面球坐标系的三个正交面 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础体微分元体微分元 面微分元面微分元 线微分元线微分元 图图1-17 面微分元和体微分元面微分元和体微分元图图1-18 线微分元线微分元3.体、面和线微分元体、面和线微分元 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础4.单位矢量的变换单位矢量的变

14、换 5.任意矢量的变换任意矢量的变换(c)的投影。的投影。图图1-19 球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换球坐标系和直角坐标系单位矢量间的变换(b)的投影的投影(a)的投影的投影电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例 1.3 在圆柱坐标系中一点的坐标为在圆柱坐标系中一点的坐标为 =4,2/3,3，试求该点分别在直角坐标系和球坐标，试求该点分别在直角坐标系和球坐标系中的坐标。系中的坐标。解解 利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得利用圆柱坐标与直角坐标的关系可得电磁场与电磁波理

15、论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例 1.4 在柱坐标系中点在柱坐标系中点 P(3,/6,5)有一矢量有一矢量 A=3 +2 +5 ，在另一点，在另一点Q(4,/3,3)有一矢量有一矢量 B=，在点，在点 S(2,/4,4)处有矢量处有矢量 C=A+B，试求，试求C矢量。矢量。解解 显然显然A和和B两矢量不在同一两矢量不在同一 =常数的平面上，常数的平面上，在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须在柱坐标系下不能直接按分量形式求和，首先必须把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。把在柱坐标系下的矢量变换到直角坐标系。P点矢量点矢量A的直角坐标表示

16、为的直角坐标表示为 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础同理，同理，Q点矢量点矢量B的直角坐标表示为的直角坐标表示为于是得于是得再将再将C变换到柱坐标系中点变换到柱坐标系中点S(2,/4,4)处的矢量处的矢量电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.5 场论场论1.5.1数量数量场场的等的等值值面和矢量面和矢量场场的矢量的矢量线线1.数量场的等值面数量场的等值面 场的整体性描述：场的整体性描述：标量场标量场 u 的等值面方程的等值面方程 场的局部特性描述：场的局部特性描述：等值面等

17、值面、等值线等值线和和矢量线矢量线标量场标量场，方向导数方向导数和和梯度梯度；矢量场矢量场，散度散度和和旋度旋度。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础图图1-20 标量场的等值面标量场的等值面 同理，如果标量场是二维函数，同理，如果标量场是二维函数，令令u(x,y)=c 得到等值线。得到等值线。比如地形图上的比如地形图上的等高线等高线，地面气象图上的，地面气象图上的等温线等温线、等压线等压线等，都是平面标量场等值线的例子。等，都是平面标量场等值线的例子。常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，取一系列不同的值，就得到一系

18、列不同的等值面，形成等值面族；形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个标量场的等值面充满场所在的整个空间；空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。等值面的特点等值面的特点：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础2.矢量场的矢量线矢量场的矢量线 直角坐标表示直角坐标表示:概念：概念：矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢矢量线是这样的曲线，在曲线上每一点处矢量场的方向都在该点的切线方向上。量场的方向都在该点的切线方向上。图图1-21 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 静电场的电场线静电场的电场线、磁场的磁场磁场的磁场线线和和流

19、速场的流线流速场的流线等都是矢量线等都是矢量线的例子。的例子。意义：意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础共线矢量共线矢量 dr 与与 A(x,y,z)满足满足或或(1-64)此即矢量线所满足的微分方此即矢量线所满足的微分方程组。求解该方程组可得一矢程组。求解该方程组可得一矢量线族；矢量线通常互不相交。量线族；矢量线通常互不相交。假设假设 P(x,y,z)为矢量线上任一点，则过点为矢量线上任一点，则过点 P 沿矢沿矢量线的位移元量线的位移元 dr 与矢量与矢

20、量 A(x,y,z)共线。共线。矢量线方程：矢量线方程：图图1-21 矢量场的矢量线矢量场的矢量线电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础求解该微分方程，得到矢量线求解该微分方程，得到矢量线方程为方程为可见，该矢量场的矢量线可见，该矢量场的矢量线为同心圆，见图为同心圆，见图1-22。图图1-22 二维场的矢量线二维场的矢量线例例 1.5 有一二维矢量场有一二维矢量场 F(r)=-yex+xey，求矢量线，求矢量线方程，并定性画出该矢量场的图形。方程，并定性画出该矢量场的图形。解解 由场的表达式可知，由场的表达式可知，Fx=-y，Fy=x，则

21、根据式，则根据式（1-64）可得到矢量线的微分方程为）可得到矢量线的微分方程为电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.5.2标标量量场场的梯度和方向的梯度和方向导导数数标量场标量场u(x,y,z)的两个等值面的两个等值面u和和u+du如图如图1-23所示，所示，图图1-23 方向导数和梯度方向导数和梯度P点到点到Q点的位移元为点的位移元为(1-65)两边同除以两边同除以 dl，得到标量，得到标量场场u(x,y,z)在在P点沿点沿dl 方向的方向的方向方向导数导数1.梯度的定义及其方向导数梯度的定义及其方向导数根据全微分定义根据全微分定义

22、(1-65)电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础设位移元设位移元 dl 的方向余弦为的方向余弦为 ，即，即 所以所以方向导数方向导数表示为表示为其中其中u的梯度的梯度dl的单位矢量的单位矢量电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础引入梯度算子引入梯度算子 由由 u的梯度表示为的梯度表示为可知可知 当当al与与G平行时，方向导数平行时，方向导数 取得最大值取得最大值|G|。梯度的方向是标量梯度的方向是标量u随空间坐标变化最快的方向；随空间坐标变化最快的方向；梯度的大小表示标量梯度的大小

23、表示标量u的空间变化率的最大值。的空间变化率的最大值。梯度矢量梯度矢量 的的物理意义的的物理意义所以所以电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础梯度在柱坐标系下的表达式梯度在柱坐标系下的表达式 梯度在球坐标系下的表达式梯度在球坐标系下的表达式 2.梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式梯度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 梯度在直角坐标系下的表达式梯度在直角坐标系下的表达式 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基

24、础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例1.6 求标量函数求标量函数u(x,y,z)=x2yz的梯度，并求在空的梯度，并求在空间坐标点间坐标点P(2,3,1)处，沿方向处，沿方向 的方向导数。的方向导数。解解代入代入P点的空间坐标点的空间坐标(2,3,1)，得方向导数值为，得方向导数值为 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.5.3矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度1.

25、通量的定义通量的定义 图图1-24 通量定义通量定义 如图，矢量场如图，矢量场A=A(x,y,z)在有在有向曲面向曲面S上的通量定义为上的通量定义为 面元面元dS的法向的法向n与张着与张着S的环线的环线L满足右手螺旋关系。满足右手螺旋关系。在直角坐标系中在直角坐标系中电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础对闭合曲面对闭合曲面n取外法向为正，总通量表示为取外法向为正，总通量表示为 矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观矢量线的通量概念是对矢量场在空间分布的宏观描述，要描述每一点的情况，需引入描述，要描述每一点的情况，需引入散度散度的概念

26、。的概念。通量计算存在三种情况通量计算存在三种情况1)1)00，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，表明闭合曲面内部有产生矢量线的源，正源正源2)2)00，表明，表明M点有发出矢量线的正源；点有发出矢量线的正源；如果如果divA0，表明，表明M点有吸收矢量线的负源；点有吸收矢量线的负源；如果如果divA=0，表明，表明M点无源，矢量线在该点连续。点无源，矢量线在该点连续。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础4.散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式 球坐标系下的表达式球坐标系下的表达式 3.散度在直角坐标系下

27、的表达式散度在直角坐标系下的表达式 柱坐标系下的表达式柱坐标系下的表达式 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础散度的有关公式散度的有关公式：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础5.高斯散度定理高斯散度定理如图，矢量场场如图，矢量场场A(x,y,z)的散度在体积的散度在体积V上的三重积上的三重积分等于矢量场分等于矢量场A(x,y,z)穿过包围穿过包围V 的闭合曲面的闭合曲面S的通的通量，即量，即图图1-26 高斯定理高斯定理物理意义物理意义 V内的通量源总和与穿过内的通量源总和与穿

28、过S的总通量相等。的总通量相等。或或电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例1.7 设有一矢量场设有一矢量场 ，（1）求该矢量场的散度；（）求该矢量场的散度；（2）取中心在原点的一）取中心在原点的一个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方个单位立方体，求散度的体积分和矢量场对此立方体表面的积分，验证散度定理。体表面的积分，验证散度定理。解解（1）（2）A对中心在原点的单位立方体的积分为对中心在原点的单位立方体的积分为 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础矢量矢量A对单位立方体

29、表面的积分为对单位立方体表面的积分为可见，散度定理成立。可见，散度定理成立。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础如图，式中如图，式中L是空间有向闭合曲是空间有向闭合曲线，线，dl是曲线是曲线L上的线微分元，上的线微分元，是在空间点是在空间点P处矢量处矢量A与与dl的夹的夹角。角。1.5.4 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度环量的定义环量的定义 A(x,y,z)沿闭合曲线沿闭合曲线L的曲

30、线积分称为沿的曲线积分称为沿L的环量，的环量，即即 环量描述了环量描述了L内的总涡旋源。内的总涡旋源。图图1-27 矢量场的环量矢量场的环量 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础旋度的定义旋度的定义为了定义旋度，首先考察为了定义旋度，首先考察环环量密度量密度，即单位面积的环量，即单位面积的环量显然，对于给定矢量场显然，对于给定矢量场A，环量密度的大小与所取面，环量密度的大小与所取面元元S的方向的方向n有关，如图有关，如图1-29 所示。所示。图图1-29 (a)矢量线构成的涡旋面与所取微分面元矢量线构成的涡旋面与所取微分面元S的方向垂直

31、；的方向垂直；(b)矢量线矢量线构成的涡旋面与所取微分面元构成的涡旋面与所取微分面元S的方向夹角为的方向夹角为；(c)矢量线构成的涡旋面矢量线构成的涡旋面与所取微分面元与所取微分面元S的方向同方向。的方向同方向。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础可以看出，当面元可以看出，当面元S沿某特定方向沿某特定方向n时，环量密度将时，环量密度将取得最大值；定义该最大值与取得最大值；定义该最大值与n之积构成的矢量称为之积构成的矢量称为矢量场矢量场A的旋度，记作的旋度，记作rotA或或 ，即，即 物理意义物理意义 矢量场在矢量场在 M 点处的旋度为一

32、矢量，其数点处的旋度为一矢量，其数值为值为M 点的环流量面密度的最大值，其方向为取得点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。环量密度最大值时面积元的法线方向。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础柱坐标系下的表达式柱坐标系下的表达式 球坐标系下的表达式球坐标系下的表达式 旋度在直角坐标系下的表达式旋度在直角坐标系下的表达式 电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础斯托克斯定理斯托克斯定理 旋度不为零的场是有旋场，如旋度不为零的场是有旋场，如磁场、流速场磁

33、场、流速场等。等。物理意义物理意义 斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换斯托克斯定理将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中矢量旋度的面积分。式中dS的方向与的方向与dl的方向成右的方向成右手螺旋关系。手螺旋关系。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础例例 1.8 设设有一平面流速有一平面流速场场其流其流线线的分布如的分布如图图1-32所示，所示，图图中有些流中有些流线线是是闭闭合曲合曲线线。如果取。如果取闭闭合合积积分回路分回路L与与闭闭合流合流线线

34、重合，重合，计计算流算流速速环环量量图图1-32 平面流速场平面流速场 显然，积分结果不等于零，表明对于这样的流显然，积分结果不等于零，表明对于这样的流速场，流体的运动具有涡旋性。速场，流体的运动具有涡旋性。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础旋度的有关公式旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础课堂作业课堂作业（1）标量场的梯度构成的矢量场是无旋场；）标量场的梯度构成的矢

35、量场是无旋场；（2）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。）矢量场的旋度构成的矢量场是无散场。证明：证明：即即 证明数学恒等式（参见证明数学恒等式（参见例例1.11和和例例1.12）（95）（93）电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础补充例题：补充例题：其中，其中，2）求：求：1）解：解：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础一、一、标标量拉普拉斯运算量拉普拉斯运算 拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐直角坐标标系系计计算公式：算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系概念：概念：1.6

36、拉普拉斯算子拉普拉斯算子电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础二、矢量拉普拉斯运算二、矢量拉普拉斯运算概念：概念：直角坐标系直角坐标系 拉普拉斯方程拉普拉斯方程如果矢量场如果矢量场A的拉普拉斯为零，即的拉普拉斯为零，即必然有每个分量的拉普拉斯为零，必然有每个分量的拉普拉斯为零，调和函数调和函数电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.7 电电磁磁场场的分的分类类和亥姆霍和亥姆霍兹兹定理定理根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不根据矢量场满足散度运算关系和旋度运算关系的不同组合，

37、可将场分为四种类型，不同类型的电磁场同组合，可将场分为四种类型，不同类型的电磁场问题，求解的方法也各有差异。问题，求解的方法也各有差异。第一类场第一类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 ，进而求解，进而求解u的拉普拉的拉普拉斯方程斯方程 而得解。而得解。第二类场第二类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 和和 ，进而求，进而求解解u的泊松方程的泊松方程 而得解。而得解。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础第三类场第三类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可通过令可通过令 和和 ，进而求，进而求解解G的泊松方程的泊松

38、方程 而得解。而得解。第四类场第四类场 满足满足 该矢量场该矢量场A可分解为无旋场可分解为无旋场G和无散场和无散场H来求解，即来求解，即通过令通过令 ，其中，其中G和和H分别满足分别满足类似与第二、三类场的分析，必存在类似与第二、三类场的分析，必存在u和和F，满足，满足因而因而电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础若矢量场若矢量场 A 在无限空间中处处单值，且其导数连续在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场旋度唯一地确定，并且矢量

39、场 A 可表示为一个标量可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 即该矢量场必然由相应的标量源即该矢量场必然由相应的标量源 和矢量源和矢量源J产生：产生：可见，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无可见，任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和；矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场散场之和；矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。的首要问题。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础对于在介质不连续的边界上，描述矢量场基本方对于在介质不连续的边界上，描述矢量场基

40、本方程的微分形式失去意义，必须从矢量场的通量和程的微分形式失去意义，必须从矢量场的通量和环量去研究，即环量去研究，即 上式称为矢量场基本方程的积分形式，根据该方上式称为矢量场基本方程的积分形式，根据该方程可得到相关矢量场的边界条件。程可得到相关矢量场的边界条件。电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础第一章第一章 小结小结一、标量和矢量一、标量和矢量二、矢量的运算二、矢量的运算三、三、标量场和矢量场标量场和矢量场直角坐直角坐标标系系四、特殊正交曲线坐标系四、特殊正交曲线坐标系圆圆柱坐柱坐标标系系 球坐球坐标标系系电磁场与电磁波理论基础电磁场

41、与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础五、五、场论场论1、数量、数量场场的等的等值值面和矢量面和矢量场场的矢量的矢量线线2、标标量量场场的梯度和方向的梯度和方向导导数数3、矢量、矢量场场的通量和散度的通量和散度电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础4、矢量、矢量场场的的环环量和旋度量和旋度数学恒等式数学恒等式电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础第一章第一章 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1、标标量拉普拉斯运算量拉普拉斯运算六、拉普拉斯算子六、拉普拉斯算子2、矢量拉普拉斯运算、矢量拉普拉斯运算七、七、电电磁磁场场的分的分类类和亥姆霍和亥姆霍兹兹定理定理1、2、3、4、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理