第三节定积分换元法和分部积分法.ppt

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1、第三节第三节 定积分换元法定积分换元法 和分部积分法和分部积分法 定积分的换元定积分的换元 分部积分分部积分一、换元法一、换元法例例例例1.1.解解解解:Newton-Leibniz公式,若F(x)=f(x),则对于第一换元法,直接求出原函数,用N-L公式.关于换元积分法有定理定理定理定理1.1.1.1.设 i)函数 f(x)在a,b上连续,ii)函数x=(t)在区间,上有一个连续导数;iii)当 t ,a (t)b,且a=(),b=()则(1)(1)的含意:用新的变量的新的积分代替原积分限,无需将原函数代回原变量.证明证明:(1)式右、左均代表一个数,我们验证这两个数相等.由i)知f(x)在

2、a,b上有原函数.设为F(x),又由复合函数求导法则.和 ii)知F(t)是 f(t)(t)在,上的一个原函数.由Newton-Leibniz公式有及从而(1)式成立.例例例例2.2.解解解解:令 x=asint.0tax=asintx0taxax=asint0ta2x曲线下方图形面积相等注意定理1中条件 iii)的要求1 (t)的值域:a (t)b2 端点对应:a=(),b=()x=a t=x=b t=这两个要求不能分割.定理定理定理定理1 1 1 1.设 i)函数 f(x)在a,b上连续,ii)函数x=(t)在区间,上有一个连续导数;iii)当 t ,a (t)b,且a=(),b=()则(

3、1)a asint a,值域不在区间0,a之内,taaaaa例例例例3.3.解解解解:例例例例4.4.(i)若f(x)为偶函数,则(ii)若f(x)为奇函数,则 aa aa证证证证:(i)在第一个积分中(ii)由(i)的证明过程可知例例例例5.5.若f(x)为定义在(,)上、周期为T的周期函数,且在任意有限区间上可积,则aR,有y=cosxxy0证证证证:而故等式成立.例例例例6.6.证证证证:特别地有二、分部积分法二、分部积分法定理定理定理定理2.2.2.2.设u(x),v(x)在a,b上可导,且u(x),v(x)R(a,b),则有分部积分公式(2)证证:由已知可得u(x)v(x),u(x)

4、v(x)R(a,b),而(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)对上等式从a至b积分得由此即得公式(2).例例例例7.7.解解解解:由公式得例例例例8.8.解解解解:例例例例9.9.解解解解:则而易求得则当n为偶数时则当n为奇数时值得注意的是由例6可知例例例例10.10.解解解解:由已知及分部积分公式得由此即得第四节第四节 反常积分反常积分定积分条件积分区间有限被积函数有界推广定积分积分区间无限被积函数无界一、无穷积分一、无穷积分1.定义定义定义定义:设函数 f(x)在a,+)上有定义,b a,f(x)在a,b上可积,若极限(1)存在,称函数 f(x)在a,+)上的积分收敛,记称

5、为函数 f(x)在a,+)上的无穷积分.若(1)式极限不存在,称 f(x)在a,+)上的积分发散.abxy0y=f(x)例例例例1.1.解解解解:=1xy0y=ex1例例例例2.2.解解解解:考虑1bxy0例例例例3.3.使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由给出,其中q1,q2是电荷的数量,k为常数.若q1,q2的单位为库仑(C),a,b是米(m),E的单位为焦耳(J).k=9109.一个氢原子由一个质子和一个电子组成,它们带有数值为1.61019 C的相反电荷.求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量.假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB=5.31011

6、m.解解解解:因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表示为代入使用的单位(E的单位为J),有这是移动一个微尘粒离开地面0.00000001cm所需能量的量值,(换句话说不很大!)比较一下,移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量.广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的.而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.2.其它情形意义其它情形意义若积分的上、下限为和将会怎么样呢?在这种情况下,我们在某一点分开原来的积分

7、并将其记为两个新的广义积分的和.可以某一(有)限数 c 来定义若两个新的广义积分中任一个发散,我们说原积分发散.仅当每个新的广义积分都有有限值时,将其相加得到原积分的有限值.很容易证明上述定义不依赖于 c 的选择.3.收敛与发散判别收敛与发散判别例例例例4.4.确定指数 p 的值,使积分收敛或发散解：解：解：解：对 p 1,重要的问题是b的指数是正数还是负数.假如是负数,则当b趋向无穷时,bp+1趋向于0.若指数为正数,则bp+1当b趋于无穷时无界增长.因此,若p+11则积分收敛,若p1时积分有值定理定理定理定理1 1 1 1 (比较判别法比较判别法比较判别法比较判别法)设(1)当(2)当xy

8、0y=g(x)ay=f(x)例例例例5.5.判断解：解：解：解：由于而由例4知收敛,故由定理1知原积分收敛.有时运用下面比较判别法的极限形式更为方便.定理定理定理定理2 2 2 2 若 (1)当0 l 1时,积分(2)当0 M时,xy0M例例例例6.6.判断解解解解:由于故由定理2知原积分收敛.xy0y=f(x)若积分则称f(x)在 a,+)上的积分绝对收敛；若积分则称f(x)在a,+)上的积分条件收敛.例例例例7.7.判别xy02345解解解解:由于又而收敛,因此原积分绝对收敛.定理定理定理定理4.4.4.4.充要条件是收敛.n0n+1xy0nn0+1 n0+2注意到和式的几何意义：二、瑕积

9、分二、瑕积分有另一种形式的广义积分,积分区间可能是有限的但函数可能在区间的某些点无界.比如,考察在x=0有一垂直的渐近线,在曲线、x轴和直线x=0与 x=1之间的区域是无界的.xy与前面的广义积分在水平方向趋于无穷大不同,这一区域在垂直方向趋向于无穷大.x1x1a现在令a0我们可以像前面一样以相同的方式讨论这个广义积分:对比0稍大的a值计算并看一看a从正的方向趋于0(记为a0-)时出现什么情况.首先我们计算积分现在求极限:由于极限是有限的,我们说广义积分收敛,并且从几何意义上来说,我们已经计算出x=a和x=1之间的有限面积并得到a从右边趋于0时的极限,见图7.19(b).因为极限存在,我们说积

10、分收敛于2,如果积分不存在,我们就说广义积分发散.x1x1a现在令a0若 0,函数f(x)在(x0,)内无界,则称点x0为f(x)的一个瑕点,例如:x=a是定定定定义义义义2.2.2.2.设f(x)在(a,b上有定义,a为其瑕点,且 0,f(x)R(a+,b).若极限存在.称其为f(x)在a,b上的瑕积分.若(5.2)式中极限存在,则称此瑕积分收敛,极限值即为瑕积分值;否则,称此瑕积分发散.此外我们还可类似定义:我们同样可以考虑因为被积函数在积分区间内而并非端点趋于无穷大而使积分为广义积分的情况.在这种情形下,我们将给定的积分分解为两个(或更多)广义积分,使得被积函数仅在端点趋于无穷大.下面是

11、以上说法的更准确的表述.如果 f(x)是正的且当x趋于区间a,b中某一点c时,f(x)趋于无穷大,则我们定义若两个新广义积分中的任一个发散,则称原积分发散,仅当两个新的广义积分都有有限值时我们将其相加得到原积分的有限值.例例例例1.1.12xy解解解解:有麻烦的点是x=0,而不是x=1或x=2.为处理这一情况,我们将给定广义积分分为两个新的以x=0为其一个端点的广义积分:假如积分收敛,我们现在能够运用前述的技巧来计算新的积分.在这个例子中,两个积分都发散,因为因此,原积分发散.很容易忽略因为被积函数在区间内部趋于无穷大而使积分为广义积分的情况.比如,说就是一个严重的错误.解解解解：当 p0 时,所求积分为通常的定积分,且易求得积分值为a为其积分的瑕点,且例例例例2.2.当p=1时,a为瑕点,且当p 1时对于瑕积分同样可引入绝对收敛与条件收敛的概念,且有:绝对收敛必收敛.此外,对瑕积分也有所谓比较判别法,其极限形式是(设x=a为f(x)在a,b上的唯一瑕点):若其它类型的瑕积分也有类似结论.例例例例3.3.判别积分的敛散性,若其收敛并求其值.解解解解:易知x=0为函数ln sinx在0,/2上的唯一瑕点,故积分a)及b)均收敛.另外,作代换从而的敛散性.解解解解:考虑到例例例例4.4.且当 s 10时,x=0为其瑕点,故该积分为混合型广义积分,进一步有2)当0 s 0时,有