欧几里得《原本》与公理化方法.pptx

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1、欧几里得欧几里得原本原本 与公理化方法与公理化方法河北省邯郸市永年区第河北省邯郸市永年区第二中学二中学 数学教师：高数学教师：高文帅文帅 2018年年6月月高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二章第二章 阅读与思阅读与思考考 2022/12/24 有这样一部流传了两千多年的宏伟巨著，大约在公元前有这样一部流传了两千多年的宏伟巨著，大约在公元前300年，由古希腊数学家欧几里得编著完成，它年，由古希腊数学家欧几里得编著完成，它既是数学巨著，又是哲学既是数学巨著，又是哲学巨著，巨著，它它是古希腊数学的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和是古希腊数学的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果

2、和精神于一书，并且第一次完成了人类对空间的认识。精神于一书，并且第一次完成了人类对空间的认识。2000多年来，它一直统治着几何教学，从来没有一本科学书籍，多年来，它一直统治着几何教学，从来没有一本科学书籍，能够象它那样连续长期巩固地成为亿万学生所传诵的读物。直到今天，能够象它那样连续长期巩固地成为亿万学生所传诵的读物。直到今天，我们中学所学习的我们中学所学习的“平面几何平面几何”内容，仍然脱离不开它的范围。它内容，仍然脱离不开它的范围。它从从1482年第年第1次印刷出版之后，全世界用各种不同文字出版了次印刷出版之后，全世界用各种不同文字出版了1000多多个版本以上，这个数字足以令今天数学教科书

3、的编写家羡慕不已。这个版本以上，这个数字足以令今天数学教科书的编写家羡慕不已。这样普及而大量地印刷出版，样普及而大量地印刷出版，其研究、使用和传播之广泛，其研究、使用和传播之广泛，在历史上除在历史上除了了圣经圣经之外，之外，没有任何其他著作，能没有任何其他著作，能与之相媲美的，所以人们把与之相媲美的，所以人们把它称作它称作“数学家的圣经数学家的圣经”。两千多年来，它一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、两千多年来，它一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾认真的学习过它，并从中吸取了笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾认真的学习过它，并从中吸取了丰富的营养，从

4、而作出了许多伟大的成就。丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。甚至由于针对此书中一甚至由于针对此书中一两句话的研究，就催生出了另一个伟大的学科两句话的研究，就催生出了另一个伟大的学科非欧几何非欧几何我们再来看一下古今中外伟大学者对它的评价！我们再来看一下古今中外伟大学者对它的评价！国内外大师级人物国内外大师级人物对这本对这本书的评价和赞誉书的评价和赞誉 我国明朝末年的科学家徐我国明朝末年的科学家徐光启光启在评论这在评论这本书本书时说过：时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当

5、学。无一人不当学。”其大意是：读这本书的好处其大意是：读这本书的好处在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按在于能去掉浮夸之气，练就精思的习惯，会按一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人一定的法则，培养巧妙的思考。所以全世界人人都要学人都要学习它。习它。徐光启同时也说过：徐光启同时也说过：“能精此能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。可学。”爱因斯坦更是认为：爱因斯坦更是认为：“如果欧几里得如果欧几里得未能激未能激发发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。学家。”伯特兰伯特兰罗素（罗素（18

6、721970年年，英国哲学家、数学，英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，家、逻辑学家、历史学家、文学家，）对）对这本书这本书情有独钟，他在自传中写下了这样情有独钟，他在自传中写下了这样一一段引人注目的段引人注目的回忆：回忆：“11岁时，我开始学习欧几里得的书，并请岁时，我开始学习欧几里得的书，并请我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事，我的哥哥当老师。这是我生活中的一件大事，这本这本书书犹如初恋般的迷人。犹如初恋般的迷人。”国内外大师级人物国内外大师级人物对这本对这本书的评价和赞誉书的评价和赞誉少年时代的牛顿在剑桥大学附近的书店里买了少年时代的牛顿在剑桥大学附近的书店里买了这本关于

7、几何的书，开始他认为这本书的内容这本关于几何的书，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的而对笛卡儿的“坐标几何坐标几何”很感兴趣而专心攻很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于读。后来，牛顿于1664年年4月在参加特列台奖学月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把当初买的那本震动很大。

8、于是，牛顿又重新把当初买的那本书从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的书从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础科学工作打下了坚实的数学基础牛顿（牛顿（1643年年1727年英国年英国数学家、物理学家数学家、物理学家）他说：他说：从那么少的几条外来的从那么少的几条外来的原理出发，就能够取得那么多原理出发，就能够取得那么多的成果，这是几何学的光荣。的成果，这是几何学的光荣。另一则故事：另一则故事：捷克数学家波尔察诺讲述过自己的一段捷克数学家波尔察诺讲述过自己的一段往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑身往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑身颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中

9、拿起欧颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中拿起欧几里德的这本书，平生第几里德的这本书，平生第1次阅读了第次阅读了第5卷中卷中的比例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，的比例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，病痛竟然神奇般的痊愈了。此后，只要是他病痛竟然神奇般的痊愈了。此后，只要是他的朋友觉得身体不舒服时，他就建议朋友去的朋友觉得身体不舒服时，他就建议朋友去服欧几里得的这副服欧几里得的这副“灵丹妙药灵丹妙药”。欧几里得欧几里得原本原本高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二章第二章 阅读与思阅读与思考考 欧几里得欧几里得原本原本之之 简介简介高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二

10、章第二章 阅读与思阅读与思考考 “原本原本”一词在希腊文中是指一门学科中广泛使用的最一词在希腊文中是指一门学科中广泛使用的最重要的定理。在我们汉语中，就是最原始的最本真的事物！重要的定理。在我们汉语中，就是最原始的最本真的事物！那么这么神奇的一本书，都写了哪些内容呢？那么这么神奇的一本书，都写了哪些内容呢？原本原本简介简介 明朝末年，明朝末年，原本原本传入中国，传入中国，1606年，由中国科学年，由中国科学家徐光启执笔，意大利传教士利玛窦口译，合作翻译了家徐光启执笔，意大利传教士利玛窦口译，合作翻译了原本原本前六卷，并与前六卷，并与1607年在北京印刷出版。翻译时在年在北京印刷出版。翻译时在“

11、原本原本”前面加上了前面加上了“几何几何”一词，因为中国早期的数学一词，因为中国早期的数学更讲究实用性，因此，做图，研究图形，也都是为了找到更讲究实用性，因此，做图，研究图形，也都是为了找到图形中的各种量是多少，而在古汉语，文言文中，一般不图形中的各种量是多少，而在古汉语，文言文中，一般不说说“多少多少”，都说，都说“几何几何”。比如，对酒当歌，人生几何；。比如，对酒当歌，人生几何；价值几何等等。所以这本书又叫价值几何等等。所以这本书又叫几何原本几何原本,这也是我们这也是我们现在数学中现在数学中“几何几何”一词的由来。同时，确定了许多我们一词的由来。同时，确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词

12、，如点、直线、平面、相似、现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外切等等外切等等几何原本共有十三卷。几何原本共有十三卷。共含有共含有5 5个公理、个公理、5 5个公设、个公设、119119个定义和个定义和465465个命题个命题第一卷第一卷 几何基础几何基础（2323个定义、个定义、5 5个公理、个公理、5 5个公设和个公设和4848个命题）个命题）第二卷第二卷 几何与代数几何与代数（1414个命题）个命题）第三卷第三卷 圆与角圆与角（3939个命题）个命题）第四卷第四卷 圆与正多边形圆与正多边形（1616个命题）个命题）第五卷第五卷 比例比例第六卷第六卷 相似相似第七卷第七卷 数

13、论（一）数论（一）第八卷第八卷 数论（二）数论（二）第九卷第九卷 数论（三）数论（三）（102102个命题）个命题）第十卷第十卷 无理量无理量（篇幅最长）（篇幅最长）第十一卷第十一卷 立体几何立体几何第十二卷第十二卷 立体的测量立体的测量第十三卷第十三卷 建正多面体建正多面体原本的主要内容原本的主要内容第47个定理就是直角三角形的勾股定理如完全平方如完全平方式和平方差式和平方差公式公式如素数有无限多个的证明如素数有无限多个的证明第一个就是求最大公约第一个就是求最大公约数的方法（必修数的方法（必修3 3中）中）有关于直线和平面的定义定理，以及平行六面体的定义等等第14个定理就是证明三角形全等的边

14、角边定理第15个证明等腰三角形两底角相等第12，13个命题就是现代的余弦定理几何原本几何原本 之之 公理公理 公设公设 高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二章第二章 阅读与思阅读与思考考 1.等于同量的量彼此相等；等于同量的量彼此相等；2.等量加等量，其和相等；等量加等量，其和相等；3.等量减等量，其差相等；等量减等量，其差相等；4.彼此能重合彼此能重合的图形是的图形是全等的；全等的；5.整体大于部分。整体大于部分。五条公理五条公理 1.过两点能作且只能作一直线；过两点能作且只能作一直线；2.一条有一条有限直限直线可线可以无限地延长；以无限地延长；3.以任一点为圆心以任一点为圆心

15、,任意长为半径任意长为半径,可作一圆；可作一圆；4.凡是直角都相等；凡是直角都相等；5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若所构同平面内一条直线和另外两条直线相交，若所构 成的同旁内角之和小于成的同旁内角之和小于180，那么把这两条直线延长，那么把这两条直线延长，一定在那两个内角一侧相交。一定在那两个内角一侧相交。五条公设五条公设 这一这一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平平行线理论行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。值得注的讨论，并最终诞生了非欧

16、几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。的前提下进行了另外情况的讨论。5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，同平面内一条直线和另外两条直线相交，若所构成的同旁内若所构成的同旁内角之和小于角之和小于180，那么把，那么把这这两条直两条直线延长，一定在那两个内角一侧相线延长，一定在那两个内角一侧相交。（近代数学不区分公设，公理，统一称交。（近代数学不区分公设，公理，统一称为公理）为公理）和它等价的就是我们初中学过

17、的平行线的判定定理和它等价的就是我们初中学过的平行线的判定定理:同旁内角互补两直线同旁内角互补两直线平行平行几何原本几何原本 之之 意义和影响意义和影响高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二章第二章 阅读与思阅读与思考考 原本原本的内容固然重要，但这些内容借以表现的形式更加重要，他从少数的内容固然重要，但这些内容借以表现的形式更加重要，他从少数的几个原始概念和命题出发，运用逻辑的方法，推理出了如此多而且很重要的命的几个原始概念和命题出发，运用逻辑的方法，推理出了如此多而且很重要的命题，他的伟大的历史意义就在于它在人类的数学史上第一次给出了公理化的数学题，他的伟大的历史意义就在于它在

18、人类的数学史上第一次给出了公理化的数学体系。体系。原本原本的公理化方法与作用的公理化方法与作用 在欧几里得的原本第一卷，他把人们公认的一些事实列成定义和公在欧几里得的原本第一卷，他把人们公认的一些事实列成定义和公理，首先给出要素：理，首先给出要素：23条定义、条定义、5条公设和条公设和5个公理。其中的定义有：点是没个公理。其中的定义有：点是没有大小的、线只有长没有宽等等。这些都是基础，是欧几里得体系的有大小的、线只有长没有宽等等。这些都是基础，是欧几里得体系的“已知已知”。他可以在任何时候直接应用这些要素，而不需要再证明。就像我们现在。他可以在任何时候直接应用这些要素，而不需要再证明。就像我们

19、现在判断两条直线平行的方法：判断两条直线平行的方法：“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”不用再证明为什么不用再证明为什么同位角相等，两直线就平行。然后由简到繁地证明一系列定理及命题。同位角相等，两直线就平行。然后由简到繁地证明一系列定理及命题。欧几里得以这些公理和公设为基础，采用逻辑推理的方法，由简到繁地欧几里得以这些公理和公设为基础，采用逻辑推理的方法，由简到繁地证明了证明了465个重要的命题和推论，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命个重要的命题和推论，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系题得到定理的几何学论证方法，形成了

20、一个严密的逻辑体系几何学。这几何学。这种独特的陈述方法，一直被无数后来数学家所沿用！而这种陈述方法，就叫种独特的陈述方法，一直被无数后来数学家所沿用！而这种陈述方法，就叫做公理化方法！而这本书，也就成了欧氏几何的奠基之作。同时也使几何学做公理化方法！而这本书，也就成了欧氏几何的奠基之作。同时也使几何学成为一门独立的演绎的科学。成为一门独立的演绎的科学。为了在演绎体系中建立一个命题，必须证明为了在演绎体系中建立一个命题，必须证明这个命题是前面建立的某些命题的一个必然的逻辑结这个命题是前面建立的某些命题的一个必然的逻辑结论；而那些命题又必须由更早建立的一些命题来建立论；而那些命题又必须由更早建立的

21、一些命题来建立等等。因为这个链条不能无限的继续往前推，开始总等等。因为这个链条不能无限的继续往前推，开始总要接受有限个不用证明的命题，否则就会犯循环推理要接受有限个不用证明的命题，否则就会犯循环推理的错误，即从的错误，即从A推出推出B，又从，又从B推出推出A，这是不可原谅的。，这是不可原谅的。这些最初的假定的命题称为该学科的公理或这些最初的假定的命题称为该学科的公理或公设，而该学科的其他所有的命题，都建立在这些最公设，而该学科的其他所有的命题，都建立在这些最初的公理和公设的基础之上，当一个学科的命题被这初的公理和公设的基础之上，当一个学科的命题被这样排列时，我们就说这一学科被表示成公理化的形式

22、。样排列时，我们就说这一学科被表示成公理化的形式。除了几何体系之外，其他的数学分支，也都是这除了几何体系之外，其他的数学分支，也都是这样建立的。而且牛顿的经典力学体系也是这样建立的。样建立的。而且牛顿的经典力学体系也是这样建立的。公理化方法及其影响公理化方法及其影响牛顿的牛顿的自自然哲学的数学原理然哲学的数学原理的结构的结构:定义定义1 1 物质的量是用它的密度和体积一起物质的量是用它的密度和体积一起来度量的来度量的。定义定义2 2 运动的量是用它的速度和质量一起运动的量是用它的速度和质量一起来度量的来度量的(动能动能)定义定义3 3 外加力是一种为了改变一个物体的静止外加力是一种为了改变一个

23、物体的静止或匀速或匀速直直线运动状态而加于其上的作用力。线运动状态而加于其上的作用力。牛顿第一定律：每牛顿第一定律：每个物个物体能保体能保持其静止或沿一直线持其静止或沿一直线作匀速作匀速运动的状态，除非运动的状态，除非有外力有外力加于其上迫使它改变这种状态。加于其上迫使它改变这种状态。牛顿第二定律：运牛顿第二定律：运动的改变和所加的动力成正比，并且发动的改变和所加的动力成正比，并且发生在所加的力的那个直线方向上。生在所加的力的那个直线方向上。牛顿第三定律：每牛顿第三定律：每一个作用力总是有一个相等的一个作用力总是有一个相等的反向作反向作用用和它相对抗和它相对抗。牛顿的三大定律，就是他建立经典力

24、学的公理化基础，牛顿的三大定律，就是他建立经典力学的公理化基础，也是他对物理学的一项伟大贡献。也是他对物理学的一项伟大贡献。公公理化方理化方法对我们的意义法对我们的意义 培养和熏培养和熏陶我们陶我们的逻辑思维能力的逻辑思维能力 数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。而。而公理化方法使逻公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学

25、教育的成辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶同学们的陶同学们的逻辑思逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利无疑有利于我们于我们学习和掌握。学习和掌握。中中学学数数学学中中的的几几何何体体系系就就是是按按照照公公理理化化方方法法的的思思想想编编排排的的，这这使使中中学学几几何何成成为为大大家家公公认

26、认为为最最有有利利于于培培养养逻逻辑辑思思维维能力的科目。能力的科目。现现行行几几何何教教材材正正是是这这样样做做的的：通通过过采采用用扩扩大大公公理理系系统统的的方方法法，而而其其他他概概念念、性性质质和和定定理理则则采采用用推推理理和和直直观观相相结结合合的的方方法法演演泽泽出出来来，即即在在同同学学们们可可接接受受的的情情况况下下，充充分分体体现公理化方法思想。现公理化方法思想。中学课本中的几何体系中学课本中的几何体系 中学扩充后的中学扩充后的平面几何公理七条：平面几何公理七条：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。经过两点有一条直线，并且只有一条直线。在所有连接两点的直线中，线段最短。

27、在所有连接两点的直线中，线段最短。平平行行公公理理：经经过过直直线线外外一一点点，有有且且只只有有一一条条直直线和线和 该该 直线平行。直线平行。两两条条直直线线被被第第三三条条直直线线所所截截，如如果果同同位位角角相相等等，那那 么，这两条直线平行。么，这两条直线平行。边边角角边边公公理理：有有两两边边和和它它们们的的夹夹角角对对应应相相等等的的两个两个 三角形全等。三角形全等。角角边边角角公公理理：有有两两角角和和它它们们的的夹夹边边对对应应相相等等的的两个两个 三角形全等。三角形全等。矩形的面积等于它的长与宽的积。矩形的面积等于它的长与宽的积。立体几何公理六条：立体几何公理六条：如如果果

28、一一条条直直线线上上的的两两点点在在一一个个平平面面内内，那那么么这这条条直直线上的所有点都在这个平面内线上的所有点都在这个平面内。(2)经经过过不不在在同同一一条条直直线线上上的的三三点点，有有且且只只有有一一个个平面。平面。(3)如如果果两两个个平平面面有有一一个个公公共共点点，那那么么它它们们有有且且只有一条通过该点的公共直线。只有一条通过该点的公共直线。平行于同一条直线的两条直线互相平行。平行于同一条直线的两条直线互相平行。长方体的体积等于其长、宽、高的积。长方体的体积等于其长、宽、高的积。夹夹在在两两个个平平行行平平面面间间的的两两个个几几何何体体，被被平平行行于于这这两两个个平平面

29、面的的任任意意平平面面所所截截，如如果果截截得得的的两两个个截截面面的的面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。积总相等，那么这两个几何体的体积相等。中学课本中的几何体系中学课本中的几何体系 高中数学高中数学 人教人教A版版 必修必修2 第二章第二章 阅读与思阅读与思考考 我们也借助公理化的方法，利用一些已知的结论和方法，推证一我们也借助公理化的方法，利用一些已知的结论和方法，推证一些未知的结论或者方法些未知的结论或者方法已知：（已知：（1）经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。（2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条

30、直线和该直线平行。（3）立体几何公理）立体几何公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（4）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（5）矩形的面积等于它的长与宽的积。）矩形的面积等于它的长与宽的积。小试牛刀小试牛刀1.利用上面前三条公理，尝试一下能推证出什么结论利用上面前三条公理，尝试一下能推证出什么结论2.利用上面第四条公理，尝试一下证明三角形内角和是一个平角（利用上面第四条公理，尝试一下证明三角形内角和是一个平角（180）大展身手大展身手利用上面第五条结论，尝试一下证明：利用上面第五条结论，尝试一下

31、证明：（1）平行四边形的面积等于其底与高的乘积）平行四边形的面积等于其底与高的乘积（2）三角形的面积等于其任意一边与那条边上高的乘积的一半）三角形的面积等于其任意一边与那条边上高的乘积的一半（3）直角三角形的面积等于其两直角边的乘积的一半）直角三角形的面积等于其两直角边的乘积的一半（4）三角形的面积等于其周长与其内切圆半径的乘积的一半）三角形的面积等于其周长与其内切圆半径的乘积的一半（5）梯形的面积等于其两底之和与其高的乘积的一半）梯形的面积等于其两底之和与其高的乘积的一半（6）正多边形的面积等于其周长与其边心距的乘积的一半）正多边形的面积等于其周长与其边心距的乘积的一半（7）圆的面积等于其周

32、长与半径的乘积的一半）圆的面积等于其周长与半径的乘积的一半作业（见学案）作业（见学案）假设假设（1）圆心角用弧度制表示）圆心角用弧度制表示 （2）三角形的内角和等于）三角形的内角和等于180度度 （3）等腰三角形两底角相等）等腰三角形两底角相等 （4）圆的切线垂直于过切点的）圆的切线垂直于过切点的半径半径尝试证明下面的一些列结论：尝试证明下面的一些列结论：（1）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和（2）圆周角是同弧所对的圆心角的一半）圆周角是同弧所对的圆心角的一半（3）内接于半圆的角是直角）内接于半圆的角是直角（4）圆的两条相交切线形成的角等于其所截的两个弧所对圆）圆的两条相交切线形成的角等于其所截的两个弧所对圆 心角之差的一半心角之差的一半邯郸市永年区第二中学邯郸市永年区第二中学 数学教师：高文帅数学教师：高文帅