第九章 行列式、矩阵与线性方程组.ppt

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1、第九章 行列式、矩阵与线性方程组第一节 行列式与克莱姆法则n元线性方程组：注：m个方程，n个未知数（m与n可以相等，也可以不相等）未知数：x1,x2,xn系数：a11,a12,amn常数：b1,b2,bm第i个方程的未知数xj的系数：aij (i=1,2,m;j=1,2,n)一 二阶行列式与克莱姆法则设二元线性方程组为 （1）定义二阶行列式为令称D为系数行列式。解二元线性方程组的克莱姆法则：若二元线性方程组（1）的系数行列式则方程组（1）的解为例1 计算下列各行列式：（1）（2）例2 用行列式解线性方程组：下面讨论二阶行列式的性质。定义 的转置行列式为性质1 二阶行列式D与它的转置行列式 的值

2、相等。即性质2 如果行列式的某一列的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应列，而其余的列不变的两个行列式的和。例如如果性质2中的“列”换成“行”，性质仍然成立。仿此，以下各行列式的性质关于“行”也有相应的性质。性质3 如果行列式D的某一列（行）的每一个元素都乘以一个常数k，则行列式的值为kD 。例如性质4 如果互换行列式的两列（行），则行列式变号。例如例3 利用行列式的性质计算下列行列式：（1）（2）二 n阶行列式与克莱姆法则定义 设 阶行列式已经定义，规定n阶行列式n阶行列式按第一行的展开式（见上述定义）元素：主对角线：在行列式中从左上角到右下角的对角线主对角元：位

3、于主对角线上的元素元素 的余子式Dij：在n阶行列式中划去元素aij所在的第i行和第j列上的所有元素后形成的 阶行列式元素 的代数余子式：例4 计算例5 计算例6 计算下三角行列式设n阶行列式为则它的转置行列式定义为例如，行列式的转置行列式是性质1 行列式D与它的转置行列式 的值相等。例7 证明：上三角行列式性质2 如果行列式的某一列的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作相应的列，而其余的列不变的两个行列式的和。例如由性质1知，性质2关于行列式的“行”也成立。以下类似的地方就不重申了。性质3 如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k，则此行列式的值等于kD

4、 。例如性质4 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反。推论 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零。性质5 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。注：“行列式的两列对应元素成比例”是指：存在一个常数k，使例8 计算性质6 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）对应元素的k倍，则所得行列式的值相等。例如行列式计算过程中的标记方法：1 以r代表行，c代表列2 把第i行（或第i列）的每一个元素加上第j行（或第j列）对应元素的k倍，记作 （或 ）3 互换第i行（列）和第j行（列），记作

5、（或 ）例9 计算例10 计算性质7 行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 （行列式按第i行的展开式）（行列式按第j列的展开式）推论 行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式乘积之和等于零，即证：事实上，上式左端相当于将行列式按第i行展开后，又将第i行元素换成了第j行元素，得到了一个新的行列式。而新行列式有两行（第i行与第j行）元素对应相等。根据性质4的推论即知本推论成立。证毕。例11 按第三行展开计算行列式：例12 计算下面讨论克莱姆法则。设n元n个方程的线性方程组为其系数行列式为将系数行列式D中第j列的元素依次改换为b1,b2,bn,得到的行列式记为Dj，即克莱姆法则当n元n个方程的线性方程组的系数行列式 时，该方程组有且仅有唯一解例13 用克莱姆法则解方程组布置作业：P104:1(1)(2)(6).2(2).