苏教版中考复习：《二次函数的图象与性质》课件.ppt

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1、二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈1.1.明确二次函数的定义明确二次函数的定义,善于辨析二次函数与善于辨析二次函数与其它函数的区别其它函数的区别.2.2.会用配方法和公式法求出二次函数图象会用配方法和公式法求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴和二次函数的最大值的顶点坐标、对称轴和二次函数的最大值或最小值或最小值.3.会根据二次函数关系式中字母系数来确会根据二次函数关系式中字母系数来确定抛物线顶点的位置、对称轴的位置等，定抛物线顶点的位置、对称轴的位置等，根据抛物线的位置和形状确定字母系数的根据抛物线的位置和形状确定字母系数

2、的值或取值范围值或取值范围.4.4.会用待定系数法求二次函数的关系式会用待定系数法求二次函数的关系式.1.二次函数的定义二次函数的定义 一般地，形如一般地，形如=ax2+bx+c（a，b，c是是常数，且常数，且a0）的函数称为二次函数，其）的函数称为二次函数，其中中x是自变量，是自变量，y是是x的函数的函数.已知任意三已知任意三个点个点已知顶点已知顶点(-k,h)及另一个点及另一个点已知与已知与x x轴的轴的两个交点及另两个交点及另一个点一个点使用范围使用范围关系式关系式一般式一般式顶点式顶点式两根式两根式2.二次函数的关系式二次函数的关系式y=ax2+bx+c(a0)y=a(x+k)2+h(

3、a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)=a(x+k)2+h直线直线x=-k直线直线x=-k(-k,h)(-k,h)当当x-k时，时，y y随随x x的的增大而增大增大而增大当当x-k时，时，y y随随x x的的增大而减小增大而减小x=-k时，时，y最小最小=hx=-k时，时，y最大最大=h向上向上向下向下yx0yx0a0a0)y=a(xk)2 (k0)3.二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质1.二次函数的概念二次函数的概念例例1.1.下列函数是二次函数的是下列函数是二次函数的是 ()()A.y=(x-3)2-x2 B.C.D.分析分析:C C是反比例函数是反比例函数,D,D中含有分式

4、中含有分式,而而A A化简化简后是一次函数后是一次函数,因而根据二次函数的定义可以因而根据二次函数的定义可以判断判断B B正确正确.误点剖析误点剖析:本题的易错点是将本题的易错点是将A A作为二次函数，作为二次函数，注意注意必须先化简必须先化简,然后根据定义做出判断然后根据定义做出判断.有的同学选有的同学选A A，你认为，你认为正确吗？正确吗？例例2.2.已知函数已知函数y(m2)x|m|是二次函数，则是二次函数，则 m 等于等于 2分析分析:根据二次函数的定义根据二次函数的定义,只要满足只要满足|m|=2且且m20就是二次函数就是二次函数.误点剖析误点剖析:本题的易错点是没有检验而直接得本题

5、的易错点是没有检验而直接得出出m=2.点评点评:判断一个函数是否是二次函数判断一个函数是否是二次函数,应根据应根据以下三条以下三条:1.1.函数关系式是整式函数关系式是整式;2.2.化简后自变量的最高次数是化简后自变量的最高次数是2;2;3.3.二次项的系数不为零二次项的系数不为零.1.1.下列函数中下列函数中,是二次函数的是是二次函数的是()()A.B.A.B.C.D.C.D.2.已知函数已知函数 y(m-3)x m-3m+2是二次函数，是二次函数，则则 m 等于等于 .2例例3.3.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c(a0),当当x=4时取时取得最小值得最小值-3,且它的图象与且

6、它的图象与x轴一个交点的横坐轴一个交点的横坐标为标为1，求此二次函数的关系式，求此二次函数的关系式.2.用待定系数法求二次函数的关系式用待定系数法求二次函数的关系式分析分析:因为二次函数当因为二次函数当x=4x=4时取得最小值时取得最小值-3,-3,所所以图象的顶点为以图象的顶点为(4,-3),(4,-3),对称轴为直线对称轴为直线x=4x=4，开，开口向上，图象与口向上，图象与x x轴一个交点为轴一个交点为(1,0),(1,0),根据对根据对称性知另一交点为称性知另一交点为(7,0).(7,0).顶点坐标是什么顶点坐标是什么?对称轴是什么对称轴是什么?图象与图象与x x轴的另一交点呢轴的另一

7、交点呢?图象经过点图象经过点(4,-3)、(1,0)和和(7,0)解一解一:设二次函数关系式为设二次函数关系式为y=ax2+bx+c(a0),16a+4b+c=-3 易得易得：a+b+c=0 49a+7b+c=0解二：解二：抛物线的顶点为抛物线的顶点为(4,-3)设其关系式为设其关系式为y=a(x-4)2-3.抛物线与抛物线与x轴一个交点为轴一个交点为(1,0),0=9a-3 a=即即 解三：解三：抛物线与抛物线与x轴的两个交点为轴的两个交点为(1,0)、(7,0)设二次函数关系式为设二次函数关系式为y=a(x-1)(x-7).又又抛物线经过点抛物线经过点(4,-3),-3=a(4-1)(4-

8、7)a=二次函数关系式为二次函数关系式为 即即 请同学们比较哪一种方法更简捷？请同学们比较哪一种方法更简捷？点评点评:用待定系数法求抛物线关系式时用待定系数法求抛物线关系式时,若已若已知条件是图象上的三个点知条件是图象上的三个点宜采用宜采用一般式一般式;误点剖析：误点剖析：不能根据题目中的条件灵活选择不能根据题目中的条件灵活选择二次函数关系式的形式二次函数关系式的形式,导致计算繁琐而出现导致计算繁琐而出现错误错误.若题目提供的条件含有顶点或对称轴或最大若题目提供的条件含有顶点或对称轴或最大(小小)值时值时,宜采用顶点式宜采用顶点式;若题目提供的条件和若题目提供的条件和x x轴的交点有关时轴的交

9、点有关时,宜采宜采用两根式用两根式.1.已知抛物线的顶点坐标是已知抛物线的顶点坐标是(-1,-2),且过点且过点(1,10),求此抛求此抛物线的关系式物线的关系式.2.已知抛物线过点已知抛物线过点(0,-2),(1,0),(2,3),求此抛物线的关系求此抛物线的关系式式.3.已知抛物线与已知抛物线与x轴交点的横坐标为轴交点的横坐标为-2和和1,且过点且过点(2,8),求此抛物线的关系式求此抛物线的关系式.4.请写出一个二次函数关系式请写出一个二次函数关系式,使其图象与使其图象与y轴的交轴的交 点坐标为点坐标为(0,2),且图象的对称轴在且图象的对称轴在y轴的右侧轴的右侧.3.二次函数的图象及性

10、质二次函数的图象及性质例例4.4.求抛物线求抛物线y=2x2-4x+5的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标.解法解法2:2:将一般式化为顶点式将一般式化为顶点式.y=2x2-4x+5=2(x2-2x+1-1)+5=2(x-1)2+3顶点坐标是顶点坐标是(1,3),对称轴是直线对称轴是直线x=1.解解:利用公式法利用公式法:a=2,b=-4,c=5顶点坐标是顶点坐标是(1,3),对称轴是直线对称轴是直线x=1.你还有其你还有其他方法吗他方法吗?点评点评:配方法是解二次函数问题中常用的配方法是解二次函数问题中常用的思想方法思想方法,利用配方法可将二次函数的一利用配方法可将二次函数的一般式化为顶点式

11、般式化为顶点式,从而为进一步利用二次从而为进一步利用二次函数的性质解题奠定基础函数的性质解题奠定基础.例例5 5.(x1,y1)、(x2,y2)是抛物线是抛物线y=2x2-4x-1上的两上的两点点,且且x2x10,那么那么,y1、y2的大小关系是的大小关系是 y1y2.分析分析:在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随随x的增大而减小的增大而减小,条件条件x2x10,显然显然,点点(x1,y1)(x2,y2)在对称在对称轴的左侧轴的左侧,所以容易判断所以容易判断y1与与y2的大小的大小.x=1点评点评:判断两函数值大小的方法：判断两函数值大小的方法：1.1.根据对称轴和开口方向判断函数的增减性根据对

12、称轴和开口方向判断函数的增减性;2.2.判断两个函数值对应点的位置判断两个函数值对应点的位置.误点剖析误点剖析:1.1.不能正确判断点在对称轴的哪一侧不能正确判断点在对称轴的哪一侧.2.2.没有理解函数的增减性与判断大小的联系没有理解函数的增减性与判断大小的联系.例例6.6.已知二次函数已知二次函数y=-x2+4x-3 求二次函数图象与坐标轴的交点坐标求二次函数图象与坐标轴的交点坐标.当当-1x0时时,求二次函数求二次函数y=-x2+4x-3的最大值的最大值和最小值和最小值.解解:令令x=0,得得y=-3;令令y=0由由-x2+4x-3=0,得得x1=1,x2=3,即函数图象与即函数图象与y轴

13、交于点轴交于点(0,-3),与与x轴轴交于点交于点(1,0),(3,0).y=-x2+4x-3=-(x2-4x+4-4)-3=-(x-2)2+1 抛物线顶点为抛物线顶点为(2,1),对称轴为直线对称轴为直线x=2,当当 -1x0时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.-1xy20当当x=-1时时,y最小最小=-(-1-2)2+1=-8,当当x=0时时,y最大最大=-(0-2)2+1=-3.(甲生甲生)解解:当当x=-1时时y=-8 y最小最小=-8,当当x=4时时y=-3y最大最大=-3(乙生乙生)解解:由于由于x=2在在-1x4的范围内的范围内,y最大最大=1 而而当当x=4时时y=-3,当

14、当x=-1时时y=-8y最小最小=-8.=-8.-1xy20?思考思考:当当-1x4时时,求二求二 次函数次函数y=-x2+4x-3的最大的最大值和最小值值和最小值.错误错误正确正确误点剖析误点剖析:确定二次函数的最值时确定二次函数的最值时,容易忽容易忽视自变量的取值范围即端点的位置从而导视自变量的取值范围即端点的位置从而导致错误致错误.求最值时求最值时,应应注意什么注意什么?3.将函数将函数y=-x2-2x化为化为y=a(x-h)2+k的形式为的形式为 .1.抛物线抛物线y=(x4)2的开口方向的开口方向 ,对称轴是对称轴是 ，顶点坐标为顶点坐标为 ;在对称轴左侧，即在对称轴左侧，即x 时，

15、时，y随随x增大而增大而 ；在对称轴右侧，即；在对称轴右侧，即x 时，时，y随随x增大增大而而 ;当当x=时，时，y有最有最 值为值为 .2.抛物线抛物线y=x22x3的开口的开口_，顶点坐标为，顶点坐标为_，对称轴为直线，对称轴为直线_，与，与x轴的交点轴的交点坐标为坐标为_，与，与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_，4.抛物线抛物线y=x2+kx+k1，若它经过原点，则，若它经过原点，则k=_；若它的顶点在若它的顶点在y轴上，则轴上，则k=_.5.抛物线抛物线y=x2-bx+2的顶点在的顶点在x轴的负半轴上，则轴的负半轴上，则 b=_.6.已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与与

16、x轴分别交于轴分别交于 (l，0)、(5，0)两点两点,当自变量当自变量x=1时时,函数值为函数值为y1;当当x=3时时,函数值为函数值为y2.则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ()A.y1 y2 B.y1 y2 C.y1 y2 D.不能确定不能确定例例7.抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图如图1所示，试确定所示，试确定a、b、c、b2-4ac的符号：的符号：xyoa0、b0、c0、b2-4ac 0.a0、b 0、c=0、b2-4ac 0.xyo例例7.抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、b2-4ac的符号：的符号：a0、b0、c0、b2-4ac0

17、.a0、b0、c0、b2-4ac 0.通过学习，你知道如何通过学习，你知道如何结合图象判断结合图象判断a,b,c及及b2-4ac的符号吗？的符号吗？点评点评:结合草图判断结合草图判断a、b、c、b2-4ac符号的依据分符号的依据分别是别是:1.a决定抛物线的决定抛物线的开口方向开口方向及大小及大小.2.a,b决定决定对称轴对称轴的位置的位置.3.c决定抛物线与决定抛物线与y轴交点轴交点的位置的位置.4.b2-4ac决定抛物线与决定抛物线与x轴交点轴交点的个数的个数.1=yxO-1分析分析:同例同例7 7容易得出容易得出abc0,0,由于由于对称轴为对称轴为x=-1,可以判断可以判断2a-b=0

18、;当当x=1时时，y0，所以所以a+b+c0.当当x=-1时时，y0，所以所以a-b+c0.例例8.8.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各请判断下列各式的符号：式的符号：abc 0 、2ab 0 a+b+c 0 、ab+c 0点评点评:此题是图象题此题是图象题,不仅考查了不仅考查了a、b、c的含的含义义,还结合图象上特殊点提供的信息判断代数还结合图象上特殊点提供的信息判断代数式的符号式的符号,充分体现了数形结合的思想充分体现了数形结合的思想.你有何你有何 收获收获?例例9 9在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中,一次函数一次函数y=ax+b 和二次函数和二次函数

19、的图象可能为的图象可能为 ()()Dxy0 xy0ABxy0 xy0CD解该类题目时解该类题目时,一般分别根据图象求出两关系一般分别根据图象求出两关系式中系数的符号式中系数的符号,然后看是否一致然后看是否一致.例例10.已知函数已知函数y=2x2的图象是抛物线的图象是抛物线,若抛物线不动若抛物线不动,把把x轴、轴、y轴分别向上、向右平移轴分别向上、向右平移2个单位长度个单位长度,那么在那么在新坐标下抛物线的关系式是新坐标下抛物线的关系式是 ()A.y=2(x-2)2+2 B.y=2(x+2)2-2 C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+2)2+2xy0 x y00B解抛物线的平移问题时应

20、该注意什么？解抛物线的平移问题时应该注意什么？1、注意平移的规律：左加右减，上加下减、注意平移的规律：左加右减，上加下减.2、若对称轴移动，实际上可以看作对称轴不动、若对称轴移动，实际上可以看作对称轴不动而抛物线向相反方向移动而抛物线向相反方向移动.例例11.已知已知,二次函数图象的顶点为二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点且过点B(3,0).求该二次函数的关系式求该二次函数的关系式.将该二次函数图象向右平移几个单位长度将该二次函数图象向右平移几个单位长度,可使平可使平移后所得图象经过坐标原点移后所得图象经过坐标原点?请直接写出平移后所得请直接写出平移后所得图象与图象与x轴的另一个交点的

21、坐标轴的另一个交点的坐标.解解:设二次函数关系式为设二次函数关系式为 y=a(x-1)2-4二次函数图象二次函数图象 过点过点B(3,0),0=4a-4,得得a=1.二次函数关系式为二次函数关系式为y=(x-1)2-4 即即y=x2-2x-3.xy0-13点评点评:这是一个平移的变形题这是一个平移的变形题,求出已知抛物线与求出已知抛物线与x x轴轴的交点坐标的交点坐标,再将其中在原点左侧的交点平移到原点再将其中在原点左侧的交点平移到原点即可即可.这样的题目最好的解决办法是画出草图这样的题目最好的解决办法是画出草图,利用图利用图象解决象解决,既快有准既快有准.令令y=0,得得x2-2x-3=0,

22、解得解得x1=3,x2=-1.图象与图象与x 轴的两个交点坐标分别为轴的两个交点坐标分别为(3,0)(-1,0)二次函数图象向右平二次函数图象向右平 移移1个单位长度后经过坐标原个单位长度后经过坐标原 点，点，平移后所得图象与平移后所得图象与x轴的轴的 另一另一个交点坐标为个交点坐标为(4,0).xy0-13 42.将抛物线将抛物线y=x2向向_平移平移_个单位，再向个单位，再向_平平移移_个单位，就可得个单位，就可得y=x24x-4.1.函数函数y=3(x2)24的图象可由函数的图象可由函数y=3x2的图象沿的图象沿x轴向轴向 平移平移 个单位，再沿个单位，再沿y轴向轴向 平移平移 个单个单位得到位得到.3.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则的图像如图所示，则 ()A.a0,b0 B.b0,c0 C.a0,c0 D.a,b,c都小于都小于0 xy04.已知二次函数已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，有下列的图像如图所示，有下列结论：结论：(1)a+b+c0；(3)abc0；(4)b=2a 其中正确的结论有其中正确的结论有 ()(A)4个个 (B)3个个 (C)2个个 (D)1个个xy01-1