第二节 正项级数及其审敛法.ppt

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1、第二节 正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 v正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 这是因为正项级数的部分和数列sn是单调增加的 而单调有界数列是有极限 v定理1(正项级数收敛的充要条件)铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理2(比较审敛法)推论 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室 解 v定理2(比较审敛法)设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛 若级数un发散 则级数vn发散 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校

2、理工学院理工学院 数学教研室数学教研室 设un和vn都是正项级数 且unkvn(k0 nN)若级数vn收敛 则级数un收敛 若级数un发散 则级数vn发散 vp级数的收敛性 证:v定理2(比较审敛法)例例2 证明级数 是发散的.因为 而级数发散 故所给级数发散 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理3(比较审敛法的极限形式)解 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室 解:v定理3(比较审敛法的极限形式)例例4 判别级数 的敛散性.因为 而级数 发散 故所给级数发散 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校

3、 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)解：收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 例5 用比值审敛法判定级数 的收敛性。级数的一般项为 因为 所以 根据比值审敛法可知所给级数发散 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室所以 根据比值审敛法可知所给级数收敛 解 ：v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 例6 用比值审敛法判定级数 的收敛性。因为铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室提示:所以 根据比值

4、审敛法可知所给级数收敛 解 v定理4(比值审敛法 达朗贝尔判别法)收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理5(根值审敛法 柯西判别法)所以 根据根值审敛法可知所给级数收敛 因为 解 收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 例8 用根值审敛法判定级数 的收敛性.铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理5(根值审敛法 柯西判别法)所以当ba时级数收敛 当ba时级数发散 因为 解:收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可能发散 例9 用根值审敛法判定级数 其中ana(n)an b a 均为正数 的收敛性.铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理6(极限审敛法)因为 解:根据极限审敛法 知所给级数收敛 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室v定理6(极限审敛法)因为 解:根据极限审敛法 知所给级数收敛 铁岭师范高等专科学校铁岭师范高等专科学校 理工学院理工学院 数学教研室数学教研室