2023年高数证明（精选多篇）.docx

《2023年高数证明（精选多篇）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年高数证明（精选多篇）.docx（82页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2023年高数证明（精选多篇） 推荐第1篇：高数证明1+1=2 1+1为什么等于2？这个问题看似简单却又奇妙无比。 在现代的精密科学中，特别在数学和数理逻辑中，广泛地运用着公理法。什么叫公理法呢？从某一科学的许多原理中，分出一部分最基本的概念和命题，对这些基本概念不下定义，而这一学科的所有其它概念都必须直接或间接由它们下定义；对这些基本命题（也叫公理）也不给予论证，而这一学科中的所有其它命题却必须直接或间接由它们中推出。这样构成的理论体系就叫公理体系，构成这种公理体系的方法就叫公理法。 1+1=2就是数学当中的公理，在数学中是不需要证明的。又因为1+1=2是一切数学定理的基础，所以它也是无法用

2、数学的方法证明的。 至于“1+1为什么等于2？”作为一个问题，没要求大家必须用数学的方法证明，其实只要说明为什么1+1=2就可以了，可以说这是定义，也可以说这是公理。不过用反证法还是可以证明的：假设1+1不等于2，则数学就是一锅粥，凡是用到数学的地方都是一锅粥，人类社会就乱了套了，所以1+1必须等于2。 1+1=2看似简单，却对于人类认识世界有非同寻常的意义。 人类认识世界的过程就像一个小孩滚雪球的过程：第一步，小孩先要用双手捧一捧雪，这一捧雪就相当于人类对世界的感性认识。第二步，小孩把手里的雪捏紧，成为一个小雪球，这个小雪球就相当于人类对感性认识进行加工，形成了概念。于是就有了1。第三步，小

3、孩把雪球放在地上，发现雪球可以粘地上的雪，这就相当于人类的理性认识。雪可以粘雪，相当于1+1=2。第四步，小孩把粘了雪的雪球在雪地上滚一下，发现雪球粘雪后越来越大，这就相当于人类认识世界的高级阶段，可以进入良性循环了。相当于2+1=3。1，2，3可以排成一个最简单的数列，但是可以演绎至无穷。 有了1只是有了概念，有了1+1=2才有了数学，有了2+1=3才开始了数学的无穷变化。 物理学与1+1=2的关系 人类认识世界的过程是一个由感性到理性，有已知到未知的过程。 在数学当中已知 1、 2、3，则可以至于无穷，什么是物理学当中的 1、 2、3呢？我认为：质量、长度、时间等基本物理概念相当于1，它们

4、是组成物理学宏伟大厦的砖和瓦；牛顿运动定律相当于2，它使我们有了真正的物理学和科学的物理分析方法；力学的相对性原理相当于3，使牛顿运动定律可以广泛应用。在经典物理学中一切都是确定无疑的，有了已知条件，我们就可以推出未知。 等到相对论的出现，一切都变了。现在相对论已经深入人心，即便是那些反对相对论的人，也基本上是认可相对论的结论的，什么时间可变、长度可变、质量可变、时空弯曲经典物理学认为光速对于不同的观测者是不同的（虽然牛顿是个唯心主义者）。相对论则认为光速对于不同的观测者是不变的（虽然我们是唯物主义者）。我们丢掉了经典物理学所有不变的东西，换来的是相对论唯一不变的东西-光速。我觉得就象是用许多

5、西瓜换来了一个芝麻一样，而且这个芝麻是很抽象的，它在真空中，速度最快，让你根本捉不到、摸不到。 我认为牛顿三条运动定律是真理，是完美的，是不容置疑的。质疑牛顿运动定律的人开口闭口说不存在绝对静止的物体，也不存在绝对不受外力的物体，却忘了上学时用的物理教材，开头都有绪论，绪论中都说：一切物质都在永恒不息地运动着，自然界一切现象就是物质运动的表现。运动是物质的存在形式、物质的固有属性还提到：抽象方法是根据问题的内容和性质，抓住主要因素，撇开次要的、局部的和偶然的因素，建立一个与实际情况差距不大的理想模型来研究。例如，“质点”和“刚体”都是物体的理想模型。把物体看作质点时，质量和点是主要因素，物体的

6、形状和大小时可以忽略不计的次要因素。把物体看作刚体形状和大小保持不变的物体时，物体的形状、大小和质量分布时主要因素，物体的变形是可以忽略不计的次要因素。在物理学研究中，这种理想模型是十分必要的。研究机械 运动的规律时，就是从质点运动的规律入手，再研究刚体运动的规律而逐步深入的。有人在故意混淆视听，有人在人云亦云，但听的人自己要想一想，牛顿用抽象的方法来分析问题，是符合马克思主义分析问题抓主要矛盾的指导思想的，否定了牛顿运动定律，我们拿什么来分析相对静止状态、匀速直线运动、自由落体运动？ 看来相对论不但搞乱了我们的基本概念，还搞乱了我们的分析方法，这才是最危险的，长此以往，物理学将不再是物理学，

7、而是一锅粥，一锅发霉的粥！ 我认为物理学发展的正确思路是先要从质量、长度、时间、能量、速度等基本物理概念的理解上着手，在物理学界开展一场正名运动，然后讨论牛顿运动定律是否错了，错的话错在哪里，最后相对论的对错也就不言自明了，也容易接受了。 推荐第2篇：考研高数：不等式证明的方法 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构 2023考研高数：不等式证明的方法 不等式证明是考研数学试卷中的中上等难度题目，下面凯程网考研频道简单讲一下不等式的几种证明方法，希望考生能够详细地去做题验证，灵活把握。 利用微分中值定理：微分中值定理在高数的证明题中是非常大的，在等式和不等式的证明中都会用到。当不等式或其适当

8、变形中有函数值之差时，一般可考虑用拉格朗日中值定理证明。柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，当不等式或其适当变形中有两个函数在两点的函数值之差的比值时，可考虑用柯西中值定理证明。 利用定积分中值定理：该定理是在处理含有定积分的不等式证明中经常要用到的理论，一般只要求被积函数具有连续性即可。基本思路是通过定积分中值定理消去不等式中的积分号，从而与其他项作大小的比较，进而得出证明。 除此之外，最常用的方法是左右两边相减构造辅助函数，若函数的最小值为0或为常数，则该函数就是大于零的，从而不等式得以证明。 其实看看凯程考研怎么样，最简单的一个办法，看看他们有没有成功的学生，最直观的办法是到凯程网

9、站，上面有大量学员经验谈视频，这些都是凯程扎扎实实的辅导案例，其他机构网站几乎没有考上学生的视频，这就是凯程和其他机构的优势，凯程是扎实辅导、严格管理、规范教学取得如此优秀的成绩。 辨别凯程和其他机构谁靠谱的办法。 凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构 任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 2 页 共 2 页

10、 推荐第3篇：考研高数证明题的解题方法 分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。 构造法是微积分学，代数学自身的方法。 分析法尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。 一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如 已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。 （见讲座（9）基本推理先记熟。） 已知条件“f（x）在点x0可导，且f (x

11、0) 0 ” 的推理。 （这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，等的关键。 见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。） 已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。 （见讲座（42）矩阵乘法很惬意。） 已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。计算参数。”的推理。 （见讲座（48）中心定理路简明。） “已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = (x) 或U =(x ，y) ”的推理计算 （见讲座（78）分布函数是核心。） 一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了

12、吗？！ 综合法 由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。 最典型的范例是考研数学题目“证明有点，满足某个含有函数及其导数的关系式”。 例设函数f (x)在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点 ，使得 f () f (1) = f () f (1) 分析（综合法）即要证明 f () f (1) fb() f (1) = 0 点是运用某个定理而得到的客观存在。用x替换，就得到刚运用了定理，还没有把点代入前的表达式。即 f (x) f (1x) f(x) f (1x) = 0 （在点 x = 成立） 联想到积函数求导公

13、式 ，即（f (x) f (1x)）= 0 （在点 x = 成立） 这就表明应该作辅助函数F (x) = f (x)，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。 易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 a, b 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。反证法 。 这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用。粗糙地说，这就是 “A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在 （或不连续，或连续不可导）= ？” 随便选一说法

14、用反证法，比如 如果，“连续A + 不连续B = 连续C” 则“ 连续C-连续A = 不连续B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。不过要注意，证明是在“同一个点”进行的。 作为简单逻辑结论，自然类似有： （同一过程中）A极限存在 + B极限不存在 = C极限一定不存在 （同一个点处）A可导 + B连续不可导 = C一定连续不可导 还可以在级数部份有： 收敛 + 发散 = 发散， 绝敛 + 条敛 = 条敛 对于乘法，由于分母为0时逆运算除法不能进行，必须首先限定以确保用反证法获得结论。比如 “若f（x）在点x0可导，且f（x0） 0，g（x）在点x0 连续不可导，

15、则 积函数y = f（x）g（x）在点x0一定连续不可导。” （见讲座（8）求导熟练过大关。） 对于积函数y = f（x）g（x）求极限，我们由此得到了一个小技术。即 “非零极限因式可以先求极限。”（见讲座（16）计算极限小总结。） （画外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要极限非0，就先给出极限，再“骑驴看唱本”。）构造法 （难以“言传”，请多意会。） 老老实实地写，实实在在地描述，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法 “构造法”。但是在构造法思维过程中，往往也综合运用着分析法，综合法，反证法。 “证明有界性”，也许最能显示“构造”手段，即把变量的“界”给构造出来。*例 已知函数 f（x

16、）在 xa 时连续，且当x + 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界。 分析本题即证，f（x） C 讨论有界性，我们只学了一个定理，在闭区间上连续的函数有界。本题中如何“管住”那个无穷的尾巴呢？那就看你能否体验条件“x + 时f（x）有极限A” ，即 “我们一定可以取充分大的一点x0，使得x x0时，总有f（x）A+1 ” 把半直线xa分成 a，x0 与 x x0两部分，就能“构造”得f（x） C （祥见讲座（9）基本推理先记熟。） 在讲座（11）“洛尔定理做游戏”中讲的“垒宝塔”游戏，在讲座（13）“图形特征看单调”中讲的“逐阶说单调”，都是构造法的讨论方式。 每完成一个题目，不妨想想用的

17、什么方法。你也许提高得更快。 推荐第4篇：高数中需要掌握证明过程的定理 高数中的重要定理与公式及其证明 （一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或

18、是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 ln(1+x)1-cosx1ex-1ax-1(1+x)a-1lim=1，lim= lim=1，lim=lna，lim=a，x0x0x0x0x0xx22xxx【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 +x)=e与过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限lim(1x01xsinx=1的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技x0x巧。 证明： lim1ln(1+x)

19、ln(1+x)lim=1：由极限lim(1+x)x=e两边同时取对数即得lim=1。 x0x0x0xx ln(1+x)ex-1=1中，令ln(1+x)=t，则x=et-1。由于极限lim=1：在等式limx0x0xx过程是x0，此时也有t0，因此有limt0t=1。极限的值与取极限的符号et-1ex-1=1。 是无关的，因此我们可以吧式中的t换成x，再取倒数即得limx0x ax-1ax-1exlna-1lim=lna：=lim利用对数恒等式得lim，再利用第二个极限可x0x0x0xxxexlna-1exlna-1ax-1=lnalim=lna。因此有lim=lna。 得limx0x0xlna

20、x0xx (1+x)a-1lim=a：利用对数恒等式得 x0x(1+x)a-1ealn(1+x)-1ealn(1+x)-1ln(1+x)ealn(1+x)-1ln(1+x)lim=lim=alim=alimlim=ax0x0x0x0x0xxaln(1+x)xaln(1+x)x上式中同时用到了第一个和第二个极限。 xx2sinsin1-cosx1-cosx12=1lim2=1。lim=limlim=：利用倍角公式得 x222x0x0x0x0xx22x22222）导数与微分的四则运算法则 (uv)=uv, d(uv)=dudv(uv)=uv+uv, d(uv)=vdu+udv uvu-uvuvdu

21、-udv()=, d()=(v0)22vvvv【点评】：这几个求导公式大家用得也很多，它们的证明需要用到导数的定义。而导数的证明也恰恰是很多考生的薄弱点，通过这几个公式可以强化相关的概念，避免到复习后期成为自己的知识漏洞。具体的证明过程教材上有，这里就不赘述了。 3）链式法则 设y=f(u),u=j(x)，如果j(x)在x处可导，且f(u)在对应的u=j(x)处可导，则复合函数y=f(j(x)在x处可导可导，且有： f(j(x)=【点评】：同上。 4）反函数求导法则 f(u)j(x)或dydydu= dxdudx设函数y=f(x)在点x的某领域内连续，在点x0处可导且f(x)0，并令其反函数为

22、x=g(y)，且x0所对应的y的值为y0，则有： 11dx1 =或=dyf(x0)f(g(y0)dydx【点评】：同上。 g(y0)=5）常见函数的导数 (x)=axaa-1， (sinx)=cosx，(cosx)=-sinx， (lnx)x=11，(logax)=， xxlnax(e)=e，(ax)=exlna 【点评】：这些求导公式大家都很熟悉，但很少有人想过它们的由来。实际上，掌握这几个公式的证明过程，不但可以帮助我们强化导数的定义这个薄弱点，对极限的计算也是很好的练习。现选取其中典型予以证明。 证明： f(x+Dx)-f(x)a，代入该公式得 (x)=axa-1：导数的定义是f(x)=

23、Dlimx0DxDxaDxa(1+)-1(1+)-1aa(x+Dx)-xaaa-1xx=x=xlim=axa-1。最后一(x)=Dlimx0Dx0DxDxDxx(1+x)a-1=a。注意，这里的推导过程仅适用于x0的情形。步用到了极限limx0xx=0的情形需要另行推导，这种情况很简单，留给大家。 sin(x+Dx)-sinxlim，由和差化积公式得(sinx)=cosx：利用导数定义(sinx)=Dx0DxDxDx2cos(x+)sinsin(x+Dx)-sinx22=cosx。(cosx)=-sinx的证明类lim=limDx0Dx0DxDx似。 Dxln(1+)1ln(x+Dx)-lnx

24、x=1。lim=lim(lnx)=：利用导数定义(lnx)=Dx0Dx0xDxDxx1lnx的证明类似（利用换底公式logax=）。 (logax)=xlnalna (e)=exx：利用导数定义(ex)Dxe(x+Dx)-ex-1xxex=lim=lime=e。a=exlna的()Dx0Dx0DxDx证明类似（利用对数恒等式ax=exlna）。 6）定积分比较定理 如果在区间a,b上恒有f(x)0，则有f(x)dx0 ab推论：如果在区间a,b上恒有f(x)g(x)，则有f(x)dxg(x)dx； aabb设M和m是函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值，则有：m(b-a)f(x)dxM(

25、b-a) ab【点评】：定积分比较定理在解题时应用比较广，定积分中值定理也是它的推论。掌握其证明过程，对理解及应用该定理很有帮助。具体的证明过程教材上有。 7）定积分中值定理 设函数f(x)在区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点x使得下式成立： baf(x)dx=f(x)(b-a) 【点评】：微积分的两大中值定理之一，定积分比较定理和闭区间上连续函数的推论，在证明题中有重要的作用。考研真题中更是有直接用到该定理证明方法的题目，重要性不严而喻。具体证明过程见教材。 8）变上限积分求导定理 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上限的函数F(x)=f(x)dx在a,b上 ax可导

26、，并且它的导数是 dxF(x)=f(x)dx=f(x),axb dxa设函数F(x)=u(x)v(x)f(t)dt，则有F(x)=f(u(x)u(x)-f(v(x)v(x)。 【点评】：不说了，考试直接就考过该定理的证明。具体证明过程见教材。 9）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则有f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是 abf(x)的原函数。 【点评】：微积分中最核心的定理，计算定积分的基础，变上限积分求导定理的推论。具体证明过程见教材。 10）费马引理： 设函数f(x)在点x0的某领域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的xU(x0)，有f(x

27、0)f(x)或f(x0)f(x)，那么f(x0)=0 【点评】：费马引理是罗尔定理的基础，其证明过程中用到了极限的保号性，是很重要的思想方法。具体证明过程见教材。 11）罗尔定理： 如果函数f(x)满足 （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)上可导 （3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b) 那么在(a,b)内至少存在一点x(axb)，使得f(x)=0。 【点评】：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脉相承的三大定理；它们从形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但实际上却是相互蕴含，可以相互推导的。这几个定理的证明方法也就是与中值有关的证明题主要的

28、证明方法。中值定理的证明是高数中的难点，一定要多加注意。具体证明过程见教材。 12）拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)满足 （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)上可导 那么在(a,b)内至少存在一点x(axb)，使得f(x)=【点评】：同上。 13）柯西中值定理： 如果函数f(x)和g(x)满足 （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间(a,b)上可导 f(b)-f(a)。 b-af(x)f(b)-f(a)那么在(a,b)内至少存在一点x(ax0，那么函数f(x)在a,b上单调递增。 如果在(a,b)上有f(x)0的情形，f(x)x2 则利用拉个朗日中值定理可得，$x(

29、x2,x2)使得f(x1)-f(x2)=f(x)(x1-x2)。 由于f(x)0，因此f(x1)-f(x2)0。 由x1,x2的任意性，可知函数f(x)在a,b上单调递增。 14）(极值第一充分条件) 设函数f(x)在x0处连续，并在x0的某去心邻域U(x0,d)内可导。 ）若x(x0-d,x0)时，f(x)0,而x(x0,x0+d)时，f(x)0,则f(x)在x0处取得极大值 ）若x(x0-d,x0)时，f(x)0,则f(x)在x0处取得极小值； ）若xU(x0,d)时，f(x)符号保持不变，则f(x)在x0处没有极值； 【点评】：单调性定理的推论，具体证明过程见教材。 oo15）(极值第二

30、充分条件) 设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f(x0)=0，那么 ）若f(x0)0,则f(x)在x0处取得极小值； ）若f(x0)0,的情形，f(x0)0，0，22(x-x0)2ox-x()0f(x0)0。 因此在x0的某领域内成立+22(x-x0)2ox-x()02f(x0)fx。 进一步，我们有f(x0)+(x-x0)+(0)22(x-x0)也即，在x0的某领域内成立f(x)f(x0)。 由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。 16）洛必达法则 f(x)设函数f(x),g(x)在x=a的空心邻域内可导，g(x)0，且lim=A xag(x)则有limxaf(x)=A，其中A可以

31、是有限数，也可以是+,-。 g(x)【点评】：洛必达法则是计算极限时最常用的方法，但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论，证明过程比较简单，也是一个潜在的考点，需要引起注意。具体证明过程见教材。 推荐第5篇：苏科院高数下应用、证明解析 四、应用 x 218、求曲面S:+y+ z 4 =1到平面 p:2x+2y+z+5=0的最短距离。 分析：令L=(2x+2y+z+5) Lx由Ly LzLl =0=0=0=0 xz2 +l+y+-1（4分） 42 得y= 12 ,x=z=1故最短距离d= 1 3x2+y2+z2-3x=0 19、求曲线在点(1,1,1)处的切线和法平面方程。

32、 2x-3y+5z-4=0 分析：两边对x dydz 2x+2y+2z-3=0求导得dxdx dydz2-3+5=0 dxdx 故梯度为(16,9,-1) （4分） 经计算知，过点(1,1,1)切线方程为 五、证明 x-116 = y-19 = z-1-1 法平面方程为16x+9y-z-24=0 20、设f的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明：曲面f(ax-bz,ay-cz)=0上任意一点处的切平面都与直线 xb=yc=za 平行，其中a2+b2+c20。 证明：令F(x,y,z)=f(ax-bz,ay-cz)（2分）则Fx=af1,Fy=af2,Fz=-bf1-cf2（4分） (F x ,F

33、y,Fz)(b,c,a)=0（曲面切平面的法向量与直线方向向量数量积为0） 推荐第6篇：高数总结 高数总结 公式总结： 1.函数 定义域 值域 Y=arcsinx -1,1 -/2, /2 Y=arccosx -1,1 0, Y=arctanx (-，+) （-/2, /2） Y=arccotx (-，+) (0, ) Y=shx (-，+) (-，+)奇函数，递增 Y=chx (-，+) 1, +)偶函数，(-，0)递减 Y=thx (-，+) (-1,1)奇函数，递增 Y=arshx (-，+) (-，+)奇函数，递增 Y=archx 1，+) 0，+)递增 Y=arthx (-1,1)

34、奇函数，递增 2.双曲函数和反双曲函数： shx = (ex - e(-x)/2, sh(x+y)=shxchy+chxshy (shx) =chx sh(x-y)=shxchy-chxshy chx = (ex + e(-x)/2 ch(x+y)=chxchy+shxshy , (chx) =shx ch(x-y)=chxchy-shxshy thx = shx / chx, (chx)2-(shx)2=1 (thx) = 1/(chx)2 sh2x=2shxchx arsh x = ln x+ (x2+1)(1/2) ch2x=(chx)2+(shx)2 , (arsh x) = 1/ (

35、x2+1)(1/2) arch x = ln x+ (x2-1)(1/2) , (arch x) = 1/ (x2-1)(1/2) arth x =(1/2) ln(1+x)/(1-x) , (arth x) = 1/(1-x2) 我只记得考了几个这里的公式，不过不记得是哪次考试了，所以就给你们写上咯 3.对于x趋近于，f(x)/g(x)的极限，f(x)和g(x)均为多项式时，分子分母同时除以其中x的最高次项，利用x趋近于时，由1/(xk)的极限为0（k0）,可以求得结果。 4.极限存在准则： 夹逼准则:证明极限存在并求得极限 单调有界准则：仅用于证明极限存在，对于有递推式的数列比较常用。一般

36、都是先根据单调有界准则证明极限存在 P54例3 P55例5 5.两个重要极限： （1）当x趋近于0时，sinx/x的极限等于1 （2）当x趋近于时，（1+1/x）x的极限为e,也可以说当x趋近于0时，(1+x)(1/x)的极限为e,但是不能说当x趋近于0时，（1+1/x）x的极限为e.要求（1+在x趋近于或0时，该部分极限为0），指数部分为 6.无穷小的比较： b/a的极限为0，则称b是比a高阶的无穷小，b=o(a) b/a的极限为，则称b是比a低阶的无穷小 b/a的极限为常数，则为同阶无穷小，常数为1，为等价无穷小，记作ab b/ak的极限为常数（k0）,则称b是a的k阶无穷小 7.等价无穷

37、小： Sinxx tanxx arcsinxx arctanxx 1-cosx(1/2)x2 ln(1+x)x ex-1x ax-1xlna (1+x)a-1ax (1+ax)b-1abx tanx-x(1/3)x3 x-sinx(1/6)x3 loga(x+1)x/lna 加减运算时不能用等价无穷小，乘除的时候可以。如P61例5 8.函数的连续与间断： 函数f(x)在某点连续的充要条件为f(x)在该点处既左连续又右连续。 函数的各种间断点以及间断点的条件要记住。 我们上一年有考这种题。P64-P68 9.函数在某点可导的充要条件为函数在该点的左右导数均存在且相等。 如果函数在某点可导，则它在

38、该点处连续。逆命题不成立。 10.熟记函数的求导法则： P96-97初等函数的求导法则。 反函数的导数等于直接函数导数的倒数。 会求复合函数的导数。 11.n阶导： X ln(1+x)的n阶导=(-1)(n-1)(n-1)!/(1+x)n sinkx =(kn)sin(kx+n/2) coskx =(kn)cos(kx+n/2) 1/x =(-1)nn!/x(n+1) xa =a(a-1)(a-n+1)x(a-n) ax =ax(lna)n ex =ex lnx =(-1)(n-1)(n-1)!/xn 1/(ax+b) =(-1)nn!an/(ax+b)(n+1) u(ax+b) =an(ax

39、+b)u(n) u(n)为u的n阶导 cu(x) =cu(x)(n) u(x)(n)为u(x)的n阶导 u(x)+-v(x) =u(x)(n)+-v(x)(n) v(x)(n)为v(x)的n阶导 xn =n! xn的（n+1）阶导为0 至于莱布尼茨公式，我也不知道考不考，要是不放心还是背会吧，同情你们 。 12.隐函数的导数： 求隐函数的导数时，只需将确定隐函数的方程两边对自变量x求导。 （1） 对数求导法：注意x=e(lnx)的化简 （2） 参数方程表示的函数的导数：一阶导和二阶导的公式都要记住。 （3） 极坐标表示的函数的导数：同参数都需把公式记住或者自己会推导。 （4） 相关变化率：以应

40、用题的形式出现，看一下书上的例题P111-112。 13.函数的微分：重要 熟记基本初等函数的微分公式，考试会考，而且同求导法则一样，在下学期的高数中可能会有用。P117 应用题中，可用微分 dA近似代替A。 复合函数的微分：dy=f(u)du 14.函数的线性化： L(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)称为f(x)在点x0处的线性化。近似式f(x)L(x)称为f(x)在点x0处的标准线性近似，点x0称为该近似的中心。 常用函数在x=0处的标准线性近似公式： （1+x）(1/n)1+x/n sinxx(x为弧度) tanxx(x为弧度) ex1+x ln (1+x)x 常用于估计某式的近似值。 15,误差计算： P123表格 16.费马引理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。这些定理的条件以及结论均需记住，会考。 17.洛必达法则： 0/0型：当x趋近于a时，函数f(x)及g(x)都趋于0 在点a的某去心领域