第四节函数的幂级数展开式.ppt

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1、第四节第四节函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式一、泰勒级数一、泰勒级数上节告诉我们：上节告诉我们：幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来幂级数在其收敛域内有一个和函数，把这句话反过来说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。说，就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数。我们的问题是：任意给定的函数我们的问题是：任意给定的函数f(x)2.如果能展开如果能展开,是什么是什么?3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?证明证明（定理（定理1回答了问题回答了问题2和问题和问题3）泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次逐项求导

2、任意次,得得泰勒系数泰勒系数定义定义只要函数只要函数f(x)在在已知点任意阶可导，已知点任意阶可导，f(x)在该点的泰勒级数总是可以写出的，那在该点的泰勒级数总是可以写出的，那末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定末这个泰勒级数在收敛区间内是否一定收敛于收敛于f(x)呢呢?不一定不一定.即即问题：问题：可见可见在在x=0点任意可导点任意可导,比如比如证明证明必要性必要性充分性充分性二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数1.1.直接法直接法(泰勒级数法泰勒级数法)步骤步骤:如条件满足，如条件满足，(2)(2)判定判定 是否成立？是否成立？例例1解解例例2解解例例3解解:注意注意:有如下牛顿二项式展

3、开式（展开过程略）有如下牛顿二项式展开式（展开过程略）双阶乘双阶乘2.2.间接法间接法根据唯一性根据唯一性,利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方等方法法,求展开式求展开式.例如例如例例4解解常用函数的幂级数展开式：常用函数的幂级数展开式：（3 3）（1）（2）（4）（5）（6）（7）本章要掌握的主要内容本章要掌握的主要内容二。求幂级数的收敛半径与收敛区间二。求幂级数的收敛半径与收敛区间三。求幂级数的和函数（经常要通过逐项微分和逐项积分三。求幂级数的和函数（经常要通过逐项微分和逐项积分来处理，幂级数通过

4、逐项微分和逐项积分以后收敛半径不来处理，幂级数通过逐项微分和逐项积分以后收敛半径不变，但端点的收敛性可能改变），求常数项级数的和函数，变，但端点的收敛性可能改变），求常数项级数的和函数，要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡。要通过一个恰当的幂级数的和函数作过渡。四。将函数展开成幂级数四。将函数展开成幂级数（要写出展开式与收敛区间）（要写出展开式与收敛区间）应掌握应掌握 展开条件和两种方法。直接法要记住六个基本公式，展开条件和两种方法。直接法要记住六个基本公式，实际处理问题时一般用间接法。实际处理问题时一般用间接法。一。常数项级数（正项级数，交错级数，任意项级数）的收一。常数项级数（正项级数，交错级数，任意项级数）的收敛性的判定敛性的判定