随机信号处理教程 第3章 随机过程的功率谱密度.ppt

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1、随机信号处理教程献给进入信息领域学习的你！随机信号处理教程随机信号处理教程v第第1章章 概率论基础概率论基础v第第2章章 随机过程随机过程v第第3章章 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度v第第4章章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统v第第5章章 窄带系统和窄带随机信号窄带系统和窄带随机信号v第第6章章 随机信号通过非线性系统随机信号通过非线性系统v第第7章章 马尔可夫过程马尔可夫过程第第3章章 随机过程的功率谱密随机过程的功率谱密度度123456功率谱密度函数平稳随机过程功率谱密度的性质 维纳-辛钦定理 平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 联合平稳随机过程的互功率谱密度 白

2、噪声与色噪声 3.1功率谱密度函数功率谱密度函数v如果一个确知信号如果一个确知信号 ，在，在 满足狄氏条件，且满足狄氏条件，且绝对可积，即满足绝对可积，即满足 那么那么 的傅里叶变换存在，的傅里叶变换存在，也称为确知信号也称为确知信号 的频谱。的频谱。根据巴塞伐根据巴塞伐(ParsevalParseval)定理，有定理，有 其中。其中。式式(3.1.5)(3.1.5)左端表示信号左端表示信号 的总能量。因此，等式右端的总能量。因此，等式右端积分中的被积函数积分中的被积函数 相应地称为的相应地称为的 的能量谱密的能量谱密度度 3.1功率谱密度函数功率谱密度函数v一个随机过程的样本函数一个随机过程

3、的样本函数 ，尽管它的总能量是无限的，尽管它的总能量是无限的，但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究但它的平均功率却是有限的。因此，对于这类函数，研究它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。它的能量谱没有意义的、研究其平均功率谱才有意义。v首先我们把随机过程的一个样本函数首先我们把随机过程的一个样本函数 任意截取一段，任意截取一段，长度为长度为2 2T T并记为并记为 。称。称 为为 的截短函数，如图的截短函数，如图3.13.1所所示。于是有示。于是有v(3.1.6)(3.1.6)v对于持续时间有限的对于持续时间有限的 而言，傅立叶变换是存在的，为而言，傅立叶变换是存在的，

4、为 vv (3.1.7)(3.1.7)v(3.1.8)(3.1.8)v根据巴塞伐定理，有根据巴塞伐定理，有v (3.1.9)(3.1.9)v上式两端除上式两端除2T2T，得，得v 3.1功率谱密度函数功率谱密度函数v表示随机过程表示随机过程 在单位频带内在单位电阻上消耗的平均在单位频带内在单位电阻上消耗的平均功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随功率，即随机过程的平均功率沿频率轴的分布，称之为随机过程机过程 的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为的功率谱密度函数，简称为功率谱密度，记为v (3.1.13)(3.1.13)v功率谱密度功率谱密度 是从频率角度描述随机过程是从频率角度

5、描述随机过程 的统计特的统计特性的最主要的数字特征。性的最主要的数字特征。v当随机过程当随机过程 为宽平稳时，此时为宽平稳时，此时 的均方值为常数，的均方值为常数，则有则有v上式说明：平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，上式说明：平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，它可以由随机过程的功率谱密度在全频域上的积分得到。它可以由随机过程的功率谱密度在全频域上的积分得到。3.2平稳随机过程功率谱密度的性质平稳随机过程功率谱密度的性质1234功率谱密度为非负函数功率谱密度为 的实函数 功率谱密度为 的偶函数 功率谱密度为可积函数 3.3 维纳维纳-辛钦定理辛钦定理v维纳维纳-辛钦定理：平稳随

6、机过程的自相关函辛钦定理：平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。数和功率谱密度函数是一傅立叶变换对。即即v (3.3.1)(3.3.1)v (3.3.2)(3.3.2)v它揭示了从时间角度描述随机过程它揭示了从时间角度描述随机过程 的统的统计规律和从频率角度描述计规律和从频率角度描述 的统计规律之的统计规律之间的联系。间的联系。3.3 维纳维纳-辛钦定理辛钦定理v由于随机过程的自相关函数由于随机过程的自相关函数 是是 的偶函数，从的偶函数，从 的定义也可看出的定义也可看出它也是它也是 的偶函数，于是式的偶函数，于是式(3.3.10)(3.3.10)和和(3.3.11)(3.

7、3.11)又可写成又可写成v (3.3.12)(3.3.12)v(3.3.13)(3.3.13)v根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的根据前面我们对确知信号的讨论，对照现在的 的定义，可知的定义，可知 是随机过程是随机过程 的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统的功率谱密度，它是从频率这个角度描述随机过程统计特性的重要的数字特征。计特性的重要的数字特征。v当当 时，式时，式(3.3.10)(3.3.10)成为成为v (3.3.14)(3.3.14)v式式(3.3.14)(3.3.14)是随机过程是随机过程 的平均功率，那么，式的平均功率，那么，式(3.3.14)(3.3.14)右边

8、的被右边的被积函数积函数 当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实当然也就是功率谱密度函数了。这又从另一个角度证实了了 的物理意义。的物理意义。v根据以上的讨论，根据以上的讨论，应分布在应分布在-到到+的频率范围内，这种对正、的频率范围内，这种对正、负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。负频率都有意义的谱密度叫做双边谱密度。3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽 图3.3 和 的样本函数曲线00图3.4 和 的自相关函数3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽v图图3.33.3表示二个平稳随机

9、过程表示二个平稳随机过程 及及 实现的记录，设它实现的记录，设它们具有相同的数学期望和相同的均方值，即们具有相同的数学期望和相同的均方值，即 但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度但是二者有一个显然的区别，那就是二者的起伏频繁程度不同，不同，起伏频繁程度低，而起伏频繁程度低，而 起伏较频繁。这个区别，起伏较频繁。这个区别，揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间揭示了二者的自相关性不同，也就是说，二者在后继时间上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波上的取值受先行时间上的取值的波及关系不一样。所谓波及，就是随机过程在先行点上的取值有尾迹及，就是随机过程在先行点上

10、的取值有尾迹(由于系统惯由于系统惯性影响性影响)，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行，它波及后继点，使得后继点上的取值要受先行时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函时间点上取值的影响。这种波及的大小，表现在自相关函数数 上，如图上，如图3.43.4所示。所示。3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽v为了定量描述随机过程所占的宽窄，我们定义等效功率谱为了定量描述随机过程所占的宽窄，我们定义等效功率谱带宽带宽(简称等效带宽简称等效带宽)为为v(3.4.2)(3.4.2)v它的概念，可见图它的概念，可见图3.53.5，图中有一虚线方框

11、，其高为，图中有一虚线方框，其高为 ，宽为宽为 （），定义式），定义式(3.4.2)(3.4.2)规定这个方框面积等规定这个方框面积等于曲线于曲线 下的面积。下的面积。图3.5 和 的功率谱密度函数3.4平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽平稳随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽v综上所述，对随机过程综上所述，对随机过程 和和 ，如果，如果 的起伏频繁程的起伏频繁程度低，变化缓慢，而度低，变化缓慢，而 变化较快，这就使得变化较快，这就使得 ，而，而 ，即，即 的自相关性强于的自相关性强于 ，但，但 的低频成分多，占有的低频成分多，占有频带窄，而频带窄，而 高频成分多，占有较宽的频带。总的来

12、说，高频成分多，占有较宽的频带。总的来说，一个随机过程的自相关性的强弱与它所占有频带是成反比一个随机过程的自相关性的强弱与它所占有频带是成反比关系的，这是关系的，这是 与与 为傅立叶变换对的当然结果。这从为傅立叶变换对的当然结果。这从下面的关系式也可看出。下面的关系式也可看出。(3.4.3)(3.4.3)v式式(3.4.3)(3.4.3)告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关告诉我们，无论怎样的随机过程，它的自相关时间与等效带宽的乘积恒为时间与等效带宽的乘积恒为 。3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度联合平稳随机过程的互功率谱密度v设设 、为两个平稳随机过程，仿照为两个平稳随机过程，仿照3

13、.13.1中的方法，对中的方法，对 、的样本函数的样本函数 、分别取截短函数分别取截短函数 、为为v (3.5.1)(3.5.1)v (3.5.2)(3.5.2)v则则 、的傅立叶变换存在，所以有为的傅立叶变换存在，所以有为v两个随机过程的样本函数在两个随机过程的样本函数在(-T,T)(-T,T)内的互功率为内的互功率为 v (3.5.3)(3.5.3)v根据巴塞伐定理，有根据巴塞伐定理，有v (3.5.4)(3.5.4)v由式由式(3.5.3)(3.5.3)和式和式(3.5.4)(3.5.4)得得v (3.5.5)(3.5.5)3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度联合平稳随机过程的互功率谱

14、密度v为了求出两个随机过程为了求出两个随机过程 、的互功率，须将式的互功率，须将式(3.5.5)(3.5.5)扩展为对所有样本取统计平均，得扩展为对所有样本取统计平均，得v (3.5.6)(3.5.6)v式式(3.5.6)(3.5.6)两边取极限（令两边取极限（令TT），得），得v (3.5.7)(3.5.7)v式式(3.5.7)(3.5.7)的左边即是随机过程的左边即是随机过程 、的互功率的互功率 (3.5.8)(3.5.8)v因此，定义两个随机过程因此，定义两个随机过程 、的互功率谱密度的互功率谱密度(简称简称为互谱密度为互谱密度)为为v (3.5.9)(3.5.9)v于是有于是有v (3

15、.5.10)(3.5.10)3.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度联合平稳随机过程的互功率谱密度1234若随机过程 和 正交，则有 若随机过程 和 不相关，且 和 的均值分别为常数 、，则 3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v随机过程如果按它的功率谱密度函数的形状来进行分类，随机过程如果按它的功率谱密度函数的形状来进行分类，可以分成白噪声和有色噪声两大类。如果一个随机过程的可以分成白噪声和有色噪声两大类。如果一个随机过程的功率增密度是常数，无沦是什么分布，都称它为白噪声。功率增密度是常数，无沦是什么分布，都称它为白噪声。白噪声的白噪声的“白白”字的来由是借用光学中的白光，白光在它字的来由是借

16、用光学中的白光，白光在它的频谱上包含了所有可见光的频率。而色噪声的功率谱密的频谱上包含了所有可见光的频率。而色噪声的功率谱密度中各种频率分量的大小是不同的。具有均匀功率谱的白度中各种频率分量的大小是不同的。具有均匀功率谱的白噪声是一种普通存在的最为重要的噪声。噪声是一种普通存在的最为重要的噪声。v如果平稳随机过程如果平稳随机过程 的数学期望为零，并且在整个频率的数学期望为零，并且在整个频率范围内，其功率谱密度为非零常数，即范围内，其功率谱密度为非零常数，即v (3.6.1)(3.6.1)v则称随机过程则称随机过程 为理想白噪声，常简称为白噪声或白色为理想白噪声，常简称为白噪声或白色过程。过程。

17、3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v上式说明，理想白噪声在任何两个相邻时刻上式说明，理想白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个不管这两个时刻多么邻近时刻多么邻近)的取值都是不相关的，所以理想白噪声又的取值都是不相关的，所以理想白噪声又称为不自相关的随机过程。称为不自相关的随机过程。v由于理想白噪声的不自相关性质，其组成一定是大量无限由于理想白噪声的不自相关性质，其组成一定是大量无限窄的彼此独立的脉冲的随机组合。图窄的彼此独立的脉冲的随机组合。图3.73.7给出了理想白噪给出了理想白噪声组成示意图。声组成示意图。图3.7 理想白噪声的组成示意图3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v若一个零均值的

18、平稳随机过程若一个零均值的平稳随机过程 在某个有限频带范围内在某个有限频带范围内具有非零的常数功率谱，而在此频率范围之外为零，则称具有非零的常数功率谱，而在此频率范围之外为零，则称此过程为带限白噪声。带限白噪声可分为低通型和带通型此过程为带限白噪声。带限白噪声可分为低通型和带通型两种。两种。v 若带限白噪声的功率谱密度为若带限白噪声的功率谱密度为v (3.6.6)(3.6.6)v则称此过程为低通型带限白噪声。其自相关函数为则称此过程为低通型带限白噪声。其自相关函数为v v (3.6.7)(3.6.7)3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v低通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形如图低通型

19、带限白噪声的功率谱密度和自相关函数的图形如图3.83.8所示。所示。0图 3.8 低通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v若带限白噪声的功率谱密度为若带限白噪声的功率谱密度为v (3.6.8)(3.6.8)v则称此过程为带通型带限白噪声。则称此过程为带通型带限白噪声。03.9 带通型带限白噪声的功率谱密度和自相关函数3.6 白噪声与色噪声白噪声与色噪声v按功率谱密度函数的形式来区分随机过程，我们将把除了按功率谱密度函数的形式来区分随机过程，我们将把除了白噪声以外的所有随机过程都称为有色噪声，简称色噪声，白噪声以外的所有随机过程都称为有色噪声，简称色噪声，其功率谱密度函数必为频率的函数。其功率谱密度函数必为频率的函数。0图3.10 色噪声 的自相关函数和功率谱密度