1.1探索勾股定理（2）.ppt

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1、 勾股定理勾股定理abcabc学习目标：学习目标：知识与技能目标知识与技能目标掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题，定理解决一些实际问题，过程与方法目标过程与方法目标经历勾股定理的验证过程，体会数形结经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想合的思想和从特殊到一般的思想.情感与态度目标情感与态度目标培养探究能力；培养应用数学的意识培养探究能力；培养应用数学的意识.通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感。增强爱国情感。cmab求长方形的面积求长方形的面积 方法（方法（1）

2、：）：m（a+b+c）方法（方法（2）：）：m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mcmambmc温故而知新温故而知新用不同的方法表示所拼图的面积用不同的方法表示所拼图的面积mnmabnba方法（方法（1 1）：）：(m+b)(n+a)mn+ma+bn+ba=方法（方法（2 2）：）：（m+b)(n+a）mn+ma+bn+babaabbba-baabba-ba-b计算阴影的面积计算阴影的面积方法（方法（1）：）：方法（方法（2）：）：（a+b)(a-b）请同学们画四个与右图全等的直角三角形，请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。并把它剪下来。a ab bc c用这四个三角

3、形拼一拼、摆一摆，看看是否用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边得到一个含有以斜边c c为边长的正方形，你为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。ABCcabcabcaba2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2+4ab/2证法一证法一cba证法二：证法二：（毕达哥拉斯证法）（毕达哥拉斯证法）如图，两个全等的正方形，双方都去如图，两个全等的正方形，双方都去掉四个全等带阴影的直角三角形后，两正掉四个全等带阴影的直角三角形后，两正

4、方形中剩下的部分面积应相等。方形中剩下的部分面积应相等。即：即：ABC证法三：证法三：（赵爽证法）（赵爽证法）ABCD正方形正方形ABCD的面积为的面积为方法（方法（2）：四个三角形：四个三角形与一个小正方形的和，与一个小正方形的和，即即 方法（方法（1）：）：在在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景的美景他走着走着，突然发现附近的一个小他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而

5、小声探讨由于好奇心驱使时而大声争论，时而小声探讨由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在在干什么只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形地上画着一个直角三角形勾股定理的勾股定理的 于是这位中年人不再散步，立即回家，于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。并给出了简洁的证明方法。18761876年年4 4月月1 1

6、日，他在日，他在新英格兰教育日新英格兰教育日志志上发表了他对勾股定理的这一证法。上发表了他对勾股定理的这一证法。18811881年，这位中年人年，这位中年人伽菲尔德就任美伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为就把这一证法称为“总统总统”证法。证法。证法四：证法四：（伽菲尔德证法（伽菲尔德证法1876年）年）ABCDE 如图，如图，RtABE RtECD，可知可知AED=90；梯形梯形ABCD的面积的面积梯形梯形ABCD的面积的面积abcabc例：我方侦

7、查员小王在距离东西向公路例：我方侦查员小王在距离东西向公路400400米米处侦查处侦查,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外线测距仪他赶紧拿出红外线测距仪,测得汽车与他相测得汽车与他相距距400400米米,1010秒后秒后,汽车与他相距汽车与他相距500500米米,你能你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？帮小王计算敌方汽车的速度吗？如图，学校有一块长方形花圃，有极少如图，学校有一块长方形花圃，有极少数同学为了避开拐角走数同学为了避开拐角走“捷径捷径”，在花，在花圃内走出了一条圃内走出了一条“路路”，他们仅仅少走，他们仅仅少走了（了（）米，却踩伤了花草）米，却踩伤

8、了花草.ccbbaa观观察察图图，用用数数格格子子的的方方法法判判断断图图中中三三角角形形的的三边长是否满足三边长是否满足a+b=c。议一议议一议3.3.如图在如图在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90，CDABCDAB，D D为垂足，为垂足，AC=3,BC=4.AC=3,BC=4.求斜边求斜边ABAB上的高上的高CDCD的长。的长。D DA AB BC C我最大的收获；我最大的收获；我表现较好的方面；我表现较好的方面；我学会了哪些知识；我学会了哪些知识；我还有哪些疑惑我还有哪些疑惑结束寄语结束寄语悟性的高低取决于有无悟悟性的高低取决于有无悟“心心”,其实其实,人与人的差别就在于你是人

9、与人的差别就在于你是否去思考否去思考,去发现去发现.下课了!练习练习 1如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是5000万元万元/km，该沿江高速的造价预计是多少？，该沿江高速的造价预计是多少？M MP PN NO OQ Q30km30km40km40km50km50km120km120km实践应用二：探索情境实践应用二：探索情境1 1、如图，一棵大树在一次强烈台风中于离、如图，一棵大树在一次强烈台风中于离地面

10、地面9 9米处折断倒下，树顶落在离树根米处折断倒下，树顶落在离树根1212米米处。大树在折断之前高多少？处。大树在折断之前高多少？2、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，求这个三角形的面积求这个三角形的面积.解：设三角形解：设三角形ABC的高为的高为AD，设，设BD为为X，则，则AB为（为（16-X），），由勾股定理得：由勾股定理得：X2+82=(16-X)2即即X2+64=256-32X+X2 X=6 SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48英国业余数学家佩里哥尔的证法英国业余数学家佩里哥尔的证法毕达哥拉斯的证法毕达哥拉斯的证法美国第二十任总统伽菲尔德的

11、证法美国第二十任总统伽菲尔德的证法赵爽的弦图以及印度婆什伽罗的证法我我国国魏魏晋晋时时期期数数学学家家刘刘徽徽的的证证法法我我国国清清代代数数学学家家梅梅文文鼎鼎的的证证法法我国清代数学家华华蘅蘅芳芳的证法无字证明无字证明青出青出朱朱方方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出青青朱朱出入图出入图abcABCDEFO方方方方法法法法三三三三:意意意意大大大大利利利利文文文文艺艺艺艺复复复复兴兴兴兴时时时时代代代代的的的的著著著著名名名名画画画画家家家家达达达达芬芬芬芬奇奇奇奇对对对对勾勾勾勾股股股股定定定定理理理理进行了研究。进行了研究。进行了研究。进行了研究。第三种类型：第三

12、种类型：第三种类型：第三种类型：AaBCbDEFOABCDEF第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表表，运运运运用用用用欧欧欧欧氏氏氏氏几几几几何何何何的的的的基基基基本本本本定定定定理理理理进进进进行行行行证证证证明明明明，反映了勾股定理的几何意义。反映了勾股定理的几何意义。反映了勾股定理的几何意义。反映了勾股定理的几何意义。如图，过如图，过如图，过如图，过 A A 点画一直线点画一直线点画一直线点画一直线 AL AL 使其垂直于使其垂直于使其垂直于使其垂直于 DEDE，并交并交并交并交

13、 DE DE 于于于于 L L，交交交交 BC BC 于于于于 MM。通过证通过证通过证通过证明明明明BCFBCFBDABDA，利用三利用三利用三利用三角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关角形面积与长方形面积的关系，得到正方形系，得到正方形系，得到正方形系，得到正方形ABFGABFG与矩与矩与矩与矩形形形形BDLMBDLM等积，同理正方形等积，同理正方形等积，同理正方形等积，同理正方形ACKHACKH与与与与 矩形矩形矩形矩形MLECMLEC也等积，也等积，也等积，也等积，于是推得于是推得于是推得于是推得第第第第二二二二种种种种类类类类型型型型：以以以以欧欧

14、欧欧几几几几里里里里得得得得的的的的证证证证明明明明方方方方法法法法为为为为代代代代表表表表，运运运运用用用用欧欧欧欧氏氏氏氏几几几几何何何何的的的的基基基基本本本本定定定定理理理理进进进进行行行行证证证证明明明明，反反反反映映映映了了了了勾勾勾勾股定理的几何意义。股定理的几何意义。股定理的几何意义。股定理的几何意义。DABC比比谁算得快比比谁算得快:蚂蚁沿图中的折线从蚂蚁沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为为1 1厘米）厘米）GFE1、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面

15、积15厘米厘米17厘米厘米解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为x厘米厘米,则则 x2=172-152 x2=64答：正方形的面积是答：正方形的面积是64平方厘米。平方厘米。练一练练一练补充练习：补充练习：1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是是40米米/分，小红用分，小红用15分钟到家，小颖用分钟到家，小颖用20分钟到家，分钟到家，小红和小颖家的距离为小红和小颖家的距离为 （）A、600米；米；B、800米；米；C、1000米；米；D、不能确定、

16、不能确定2、直角三角形两直角边分别为、直角三角形两直角边分别为5厘米、厘米、12厘米，那么厘米，那么斜边上的高是斜边上的高是 （）A、6厘米；厘米；B、8厘米；厘米；C、80/13厘米；厘米；D、60/13厘米；厘米；CD 课堂练习：课堂练习：一、判断题一、判断题.1.ABC的两边的两边AB=5,AC=12,则则BC=13()2.ABC的的a=6,b=8,则则c=10()二填空题二填空题 1.在在 ABC中中,C=90,(1)若若c=10,a:b=3:4,则则a=_,b=_.(2)若若a=9,b=40,则则c=_.2.在在 ABC中中,C=90,若若AC=6,CB=8,则则 ABC面积为面积为

17、_,斜边为上的高为斜边为上的高为_.6841 244.81.一轮船以一轮船以16海里海里/小时的速度离小时的速度离A港向东北港向东北方向航行，另一艘轮船同时以方向航行，另一艘轮船同时以12海里海里/小时的小时的速度离速度离A港向西北方向航行，港向西北方向航行，2小时后，两船小时后，两船相距多少海里？相距多少海里？1.1.如图，折叠矩形纸片如图，折叠矩形纸片ABCDABCD，先折出折痕，先折出折痕BDBD，再折叠使再折叠使ADAD边与对角线边与对角线BDBD重合，得折痕重合，得折痕DGDG，若若AB=8AB=8，AD=6AD=6，求，求AGAG的长的长A将矩形纸片将矩形纸片ABCD沿对角线沿对角

18、线AC折叠，使点折叠，使点B落在点落在点E处处,与与AD交于点交于点F，若，若AB=4,BC=8,求求AFC的面积。的面积。5.已知，如图，在已知，如图，在RtABC中，中，C=90，1=2，CD=1.5,BD=2.5,求求AC的长的长.提示：作辅助线提示：作辅助线DEAB，利用平，利用平分线的性质和勾股定理。分线的性质和勾股定理。解：解：过过D点做点做DE ABDACB12E1=2,C=90 DE=CD=1.5在在Rt DEB中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2在在Rt ACD和和Rt AED中中,CD=DE,AD=ADRt ACDRt

19、 AED AC=AE令令AC=x,则则AB=x+2在在Rt ABC中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得AC2+BC2=AB2即即:x2+42=(x+2)2 x=3x4.如图，铁路上如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为为 两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上上 建一个土特产品收购站建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到 E站的距离相等站的距离相等.(1)E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？(2)求两村与土特产品收购站围成的三角形的面积求两村与土特产品收购站围成的三角形

20、的面积二、练习（一）、选择题（一）、选择题1已知一个已知一个Rt的两边长分别为的两边长分别为3和和4，则第三，则第三 边长的平方是（）边长的平方是（）A、25 B、14C、7D、7或或252下列各组数中，以下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是为边的三角形不是 Rt的是（）的是（）A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5DA3若线段若线段a，b，c组成组成Rt，则它们的比为（），则它们的比为（）A、2 3 4 B、3 4 6C、5 12 13D、4 6 7C1、在、在RtABC中，中，C=90，若若a=5，b=

21、12，则，则c=_；若若a=15，c=25，则，则b=_；若若c=61，b=60，则，则a=_；若若a b=3 4，c=10则则SRtABC=_。（二）、填空题（二）、填空题2、直角三角形两直角边长分别为、直角三角形两直角边长分别为5和和12，则它，则它 斜边上的高为斜边上的高为_。13201124探究与思考探究与思考1.在直角三角形中在直角三角形中,斜边长为斜边长为13cm,一直角一直角边长为边长为12cm,求这个直角三角形的面积和求这个直角三角形的面积和周长周长.2.在直角三角形中在直角三角形中,斜边长为斜边长为26cm,一直角一直角边长为另一直角边长的边长为另一直角边长的2.4倍求这个直角倍求这个直角三角形的面积和周长三角形的面积和周长.例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了米处，过了20秒，飞机距离这个男孩秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时米，飞机每小时飞行多少千米？飞行多少千米？4000500050004000CBA